Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng hệ phương trình thường gặp trong chương trình Toán 9 và Toán 10. Vậy hệ phương trình đẳng cấp là gì? Khái niệm về hệ phương trình bậc 2? Cách giải hệ phương trình đẳng phương?…. Trong bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này!
Hệ phương trình có bậc là hệ gồm [2 ] phương trình [2 ] trong đó bậc của mỗi ẩn số bằng nhau trong mỗi phương trình:
[ left { begin {matrix} f [x; y] = a_1 \ g [x; y] = a_2 end {matrix} right. ] trong đó [f, g ] là các hàm số bậc của hai biến [x; y ] bằng nhau
Ví dụ:
[ left { begin {matrix} x ^ 2 + 3xy-2y ^ 2 = 3 \ x ^ 2-xy + y ^ 2 = 4 end {matrix} right. ]
Trong ví dụ trên, đây là một hệ phương trình bậc [2 ]
Vấn đề: Giải phương trình
[ left { begin {matrix} f [x; y] = a_1 \ g [x; y] = a_2 end {matrix} right. ] trong đó [f, g ] là các hàm số bậc của hai biến [x; y ] bằng nhau
Nói chung, để giải phương trình đẳng cấp, chúng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Nhân phương trình trên với [a_2 ] và phương trình dưới với [a_1 ] rồi trừ hai phương trình để mất hệ số tự do
- Bước 2: Đặt [x = ky ]. Thay vào phương trình ở bước 1 ta được phương trình có dạng:
- [y ^ n [Ak ^ 2 + Bk + C] = 0 ]
- Bước 3: Giải phương trình trên bằng cách chia hai trường hợp [ left[begin{array}{l}y=0\yneq0end{array}right]Inthecaseof[yneq0]thensolveto[k][begin{array}{l}y=0yneq0end{array}right]Vớitrườnghợp[yneq0]thìgiảira[k][begin{array}{l}y=0yneq0end{array}right]Inthecaseof[yneq0]thensolveto[k][begin{array}{l}y=0yneq0end{array}right]Vớitrườnghợp[yneq0]thìgiảira[k]
- Bước 4: Thay [x = ky ] vào một trong hai phương trình, giải cho [y ] rồi giải cho [x ]
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
[ left { begin {matrix} x ^ 2-y ^ 2 = 3 \ x ^ 2-2xy + y ^ 2 = 1 end {matrix} right. ]
Giải pháp:
Phương trình đã cho tương đương với:
[ left { begin {matrix} x ^ 2-y ^ 2 = 3 \ 3x ^ 2-6xy + 3y ^ 2 = 3 end {matrix} right. ]
Trừ cả hai vế của phương trình ta được:
[2x ^ 2 + 4y ^ 2-6xy = 0 ]
Đặt [x = ky ]. Thay vào phương trình trên ta được:
[2k ^ 2y ^ 2 + 4y ^ 2-6ky ^ 2 = 0 ]
[ Leftrightarrow 2y ^ 2 [k ^ 2-3k + 2] = 0 ; ; ; ; ; [1] ]
Thay thế vào hệ thống, chúng tôi nhận được:
[ left { begin {matrix} x ^ 2 = 3 \ x ^ 2 = 1 end {matrix} right. Rightarrow ] vô lý [đại loại là]
Từ phương trình [[1] Rightarrow k ^ 2 + 3k-2 = 0 ]
[ Leftrightarrow [k-1] [k-2] = 0 ]
[ Leftrightarrow left[begin{array}{l}k=1\k=2end{array}right][begin{array}{l}k=1k=2end{array}right][begin{array}{l}k=1k=2end{array}right][begin{array}{l}k=1k=2end{array}right]
Nếu [k = 1 ] thay vào hệ phương trình, ta được:
[ left { begin {matrix} 0 = 3 \ 0 = 1 end {matrix} right. Rightarrow ] vô nghĩa [loại]
Nếu thay thế [k = 2 ] vào hệ phương trình, ta được:
[ left { begin {matrix} 3y ^ 2 = 3 \ y ^ 2 = 1 end {matrix} right. Leftrightarrow y ^ 2 = 1 Leftrightarrow y = pm 1 ]
Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là [[x; y] = [2; 1]; [-2; -1] ]
Hệ phương trình bậc [2 ] là hệ phương trình có dạng:
[ left { begin {ma trận} a_1x ^ 2 + b_1xy + c_1y ^ 2 = d_1 \ a_2x ^ 2 + b_2xy + c_2y ^ 2 = d_2 end {matrix} right. ]
Đây là dạng toán thường gặp trong hệ phương trình lớp 9 ôn thi vào lớp 10 THPT. Để giải quyết vấn đề này, ngoài cách trên, chúng ta có thể sử dụng một cách khác như sau:
- Bước 1: Từ hai phương trình, nhân các hệ số thích hợp để hệ số của [x ^ 2 ] trong hai phương trình bằng nhau:
- Bước 2: Trừ cả hai vế của hai phương trình, ta được phương trình có dạng:
- [Ay ^ 2 + Bxy = C ]
- [ Rightarrow x = frac {C-Ay ^ 2} {By} ]
- Bước 3: Thay thế một trong hai phương trình và giải cho [x; y ]
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
[ left { begin {ma trận} 2x ^ 2-xy-y ^ 2 = 8 \ x ^ 2 + xy-3y ^ 2 = 3 end {matrix} right. ]
Giải pháp:
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
[ left { begin {matrix} 2x ^ 2-xy-y ^ 2 = 8 \ 2x ^ 2 + 2xy-6y ^ 2 = 6 end {matrix} right. ]
Trừ cả hai vế của phương trình ta được:
[5y ^ 2-3xy = 2 ]
- Nếu [y = 0 ] thay vào hệ phương trình đã cho, ta được:
[ left { begin {matrix} 2x ^ 2 = 8 \ x ^ 2 = 3 end {matrix} right. Rightarrow ] vớ vẩn [đại loại là]
- Nếu [y neq 0 ] thì chúng ta có:
[x = frac {5y ^ 2-2} {3y} ]
Thay vào phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được:
[2. [ Frac {5y ^ 2-2} {3y}] ^ 2-y. Frac {5y ^ 2-2} {3y} -y ^ 2 = 8 ]
[ Leftrightarrow 2 [25y ^ 4-20y ^ 2 + 4] -3y ^ 2 [5y ^ 2-2] -9y ^ 4 = 72y ^ 2 ]
[ Leftrightarrow 26y ^ 4 -106y ^ 2 + 8 = 0 ]
[ Leftrightarrow 2 [y ^ 2-4] [13y ^ 2-1] = 0 ]
[ Leftrightarrow left[begin{array}{l}y^2=4\y^2=frac{1}{13}end{array}right][begin{array}{l}y^2=4y^2=frac{1}{13}end{array}right][begin{array}{l}y^2=4y^2=frac{1}{13}end{array}right][begin{array}{l}y^2=4y^2=frac{1}{13}end{array}right]
Thay vào đó, ta nhận được: hệ phương trình đã cho có [4 ] cặp nghiệm:
[[x; y] = [3; 2]; [- 3; -2]; [- frac {111} {2197}; frac {1} {13}]; [ frac {111} { 2197}; – frac {1} {13}] ]
Trong chương trình toán 10, bài toán về hệ phương trình sẽ nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh phải có thêm một vài kỹ năng biến đổi để xử lý.
Trong các bài toán này, hệ phương trình ban đầu mà bài toán đưa ra sẽ không phải là phương trình đẳng áp. Nhưng chúng ta sẽ biến đổi, đặt thêm ẩn số để hệ đã cho trở thành hệ phương trình đẳng tích
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
[ left { begin {ma trận} x ^ 2-y ^ 2 + 2y = 9 \ x ^ 2 + xy + y ^ 2-x-2y = 12 end {matrix} right. ]
Giải pháp:
Ta sẽ biến đổi để đưa phương trình trên về dạng phương trình bậc hai
Phương trình đã cho tương đương với:
[ left { begin {ma trận} x ^ 2- [y ^ 2-2y + 1] = 8 \ x ^ 2 + x [y-1] + [y ^ 2-2y + 1] = 13 end {matrix} right. ]
[ Leftrightarrow left { begin {matrix} x ^ 2- [y-1] ^ 2 = 8 \ x ^ 2 + x [y-1] + [y-1] ^ 2 = 13 end {matrix} right. ]
Đặt [z = y + 1 ], phương trình đã cho trở thành:
[ Leftrightarrow left { begin {matrix} x ^ 2-z ^ 2 = 8 \ x ^ 2 + xz + z ^ 2 = 13 end {matrix} right. ; ; ; ;; [đầu tiên] ]
Đây là một phương trình phân cấp [2 ] với hai ẩn số [x; z ]
Hệ phương trình trên tương đương với:
[ Leftrightarrow left { begin {matrix} 13x ^ 2-13z ^ 2 = 104 \ 8x ^ 2 + 8xz + 8z ^ 2 = 104 end {matrix} right. ]
Trừ cả hai vế của hai phương trình ta được:
[5x ^ 2-8xz-21z ^ 2 = 0 ]
Đặt [x = tz ]. Thay vào đó, chúng tôi nhận được:
[z ^ 2 [5t ^ 2-8t-21] = 0 ]
Nếu [z = 0 ] thay thế hệ thống [[1] ], chúng ta nhận được:
[ left { begin {matrix} x ^ 2 = 8 \ x ^ 2 = 13 end {matrix} right. Rightarrow ] vô lý [đại loại]
Nếu [z neq 0 ] thì chúng ta có:
[5t ^ 2-8t-21 = 0 ]
[ Leftrightarrow [5t + 7] [t-3] = 0 ]
[ Leftrightarrow left[begin{array}{l}t=3\t=-frac{5}{7}end{array}right][begin{array}{l}t=3t=-frac{5}{7}end{array}right][begin{array}{l}t=3t=-frac{5}{7}end{array}right][begin{array}{l}t=3t=-frac{5}{7}end{array}right]
Nếu [t = 3 ], thay vào đó chúng ta nhận được:
[8z ^ 2 = 8 Mũi tên trái z = pm 1 ]
[ left[begin{array}{l}z=1Rightarrowx=3;y=2\z=-1Rightarrowx=-3;y=0end{array}right][begin{array}{l}z=1Rightarrowx=3;y=2z=-1Rightarrowx=-3;y=0end{array}right][begin{array}{l}z=1Rightarrowx=3;y=2z=-1Rightarrowx=-3;y=0end{array}right][begin{array}{l}z=1Rightarrowx=3;y=2z=-1Rightarrowx=-3;y=0end{array}right]
Nếu [t = – frac {5} {7} ] chúng ta nhận được:
[- frac {24} {49} z ^ 2 = 8 Leftrightarrow z ^ 2 = – frac {49} {3} Rightarrow ] vô lý [loại]
Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là [[x; y] = [3; 2]; [-3; 0] ]
Đây là các hệ phương trình trong đó có phương trình dạng [f [x; y] = 0 ] trong đó [f ] là phương trình gồm hai ẩn số [x; y ] có bậc bằng nhau.
Để giải quyết vấn đề này, từ phương trình đó, chúng ta đặt [x = ky ], giải cho [k ] rồi thay vào phương trình thứ hai, tìm [x; y ]
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
[ left { begin {matrix} x ^ 2-3xy + 2y ^ 2 = 0 \ sqrt {5x-y} -x = 1 end {matrix} right. ]
Giải pháp:
TCM: [y leq 5x ]
Dễ thấy rằng nếu [y = 0 ] thì hệ phương trình đã cho không có nghiệm. Vì vậy, [y neq 0 ]
Đặt [x = ky ]. Thay vào phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được:
[y ^ 2 [k ^ 2-3k + 2] = 0 ]
Vì [y neq 0 ] nên [ Mũi tên phải k ^ 2-3k + 2 = 0 ]
[ Leftrightarrow [k-1] [k-2] = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}k=1\k=2end{array}right][begin{mảng}{l}k=1k=2end{array}right][begin{array}{l}k=1k=2end{array}right][begin{array}{l}k=1k=2end{array}right]
Nếu thay thế [k = 1 ] vào phương trình dưới đây, chúng ta nhận được:
[2y-y = 1 Left rightarrow y = 1 ] và [x = 1 ]
Nếu [k = 2 ] thay thế phương trình dưới đây, chúng ta nhận được:
[3y-2y = 1 Left rightarrow y = 1 ] và [x = 2 ]
Vậy phương trình đã cho có hai cặp nghiệm [[x; y] = [1; 1]; [2; 1] ]
Đây là các hệ phương trình có dạng:
[ left { begin {matrix} f_1 [x; y] = f_2 [x; y] \ g_1 [x; y] = g_2 [x; y] end {matrix} right. ] với [f_1; f_2; g_1; g_2 ] là các hàm đẳng cấp thỏa mãn:
Mức độ [f_1.g_1 ] bằng với mức độ [f_2.g_2 ]
Để giải hệ phương trình này, ta nhân từng vế của hệ để được phương trình bậc:
[f_1 [x; y] .g_1 [x; y] = f_2 [x; y] .g_2 [x; y] ]
Ở đây chúng tôi đặt [x = ky ], thay vì giải [k ]. Sau đó thay [k ] vào hệ phương trình ban đầu để được [x; y ]
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
[ left { begin {ma trận} x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 3 \ x ^ 3 + 2y ^ 3-2x-y = 0 end {matrix} right. ]
Giải pháp:
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
[ left { begin {ma trận} x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 3 \ x ^ 3 + 2y ^ 3 = 2x + y end {ma trận} phải. ]
Nhân chéo cả hai vế của hệ phương trình, ta được:
[[2x + y] [x ^ 2 + xy + y ^ 2] = 3 [x ^ 3 + 2y ^ 3] ]
[ Mũi tên trái x ^ 3-3x ^ 2y-3xy ^ 2 + 5y ^ 3 = 0 ]
Dễ thấy rằng nếu [y = 0 ] thì hệ đã cho không có nghiệm. Vì vậy, [y neq 0 ]
Đặt [x = ky ]. Thay vào phương trình trên ta được:
[y ^ 3 [k ^ 3-3k ^ 2-3k + 5] = 0 ]
Vì [y neq 0 ] nên [k ^ 3-3k ^ 2-3k + 5 = 0 ]
[ Leftrightarrow [k-1] [k ^ 2-2k-5] = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}k=1\k=1-sqrt{6}\k=1+sqrt{6}end{array}right][begin{array}{l}k=1k=1-sqrt{6}k=1+sqrt{6}end{array}right][begin{array}{l}k=1k=1-sqrt{6}k=1+sqrt{6}end{array}right][begin{array}{l}k=1k=1-sqrt{6}k=1+sqrt{6}end{array}right]
- Nếu [k = 1 ] thay vào đó, chúng ta nhận được:
[3y ^ 2 = 3 Mũi tên trái sang phải y ^ 2 = 1 Mũi tên phải x = y = 1 ] hoặc [x = y = -1 ]
- Thay vào đó, nếu [k = 1- sqrt {6} ], chúng ta nhận được:
[y ^ 2 frac {3 sqrt {3}} { sqrt {2} + sqrt {3}} = 3 Leftrightarrow y ^ 2 = frac { sqrt {2} + sqrt {3} } { sqrt {3}} ]
Vì vậy, chúng tôi có hai cặp giải pháp:
[[x; y] = [ frac {1- sqrt {6}} { sqrt {3- sqrt {6}}}; frac {1} { sqrt {3- sqrt {6} }}]; [ frac { sqrt {6} -1} { sqrt {3- sqrt {6}}}; frac {-1} { sqrt {3- sqrt {6}}}] ]
- Thay vào đó, nếu [k = 1 + sqrt {6} ], chúng ta nhận được:
[y ^ 2 frac {3 sqrt {3}} { sqrt {3} – sqrt {2}} = 3 Leftrightarrow y ^ 2 = frac { sqrt {3} – sqrt {2} } { sqrt {3}} ]
Vì vậy, chúng tôi có hai cặp giải pháp:
[[x; y] = [ frac {1+ sqrt {6}} { sqrt {3+ sqrt {6}}}; frac {1} { sqrt {3- sqrt {6} }}]; [- frac {1+ sqrt {6}} { sqrt {3- sqrt {6}}}; – frac {1} { sqrt {3+ sqrt {6}}} ] ]
Vậy phương trình đã cho có 6 cặp nghiệm thỏa mãn:
[[x; y] = [1; 1]; [- 1; -1]; [ frac {1- sqrt {6}} { sqrt {3- sqrt {6}}}; frac {1} { sqrt {3- sqrt {6}}}]; [ frac { sqrt {6} -1} { sqrt {3- sqrt {6}}}; frac {-1} { sqrt {3- sqrt {6}}}]; [ frac {1+ sqrt {6}} { sqrt {3+ sqrt {6}}}; frac {1} { sqrt { 3- sqrt {6}}}]; [- frac {1+ sqrt {6}} { sqrt {3- sqrt {6}}}; – frac {1} { sqrt {3+ sqrt {6}}}] ]
Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp. Hi vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề hệ phương trình. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!.
Xem thêm:
- Phương trình chứa nghiệm nguyên: Lý thuyết, Lời giải và Bài tập
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Lý thuyết và Bài tập
- Hệ phương trình có hai ẩn số là gì? Bài tập và cách giải hệ phương trình có 2 ẩn số
Các khoa liên quan:
- giải phương trình lớp 9
- Phương trình lớp 2 cấp 10
- dấu hiệu nhận biết hệ phương trình đẳng cấp