Hàm số 4f x có bao nhiêu điểm cực trị
|
Show Đã gửi 23-06-2021 - 23:35 Tantran2510 Binh nhất
Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới, đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Hỏi hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có bao nhiêu điểm cực trị ?
Ngoài ra, mọi người có thể giúp mình tìm ra đa thức của đồ thị f(x) được không ạ ? Mình cảm ơn. Đã gửi 24-06-2021 - 11:17 Dark Repulsor Sĩ quan
Hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị ($y'=0$) tại $x=-1$, $x=1$, $x=2$ $y'=2xf'(x^{2}-1)f'\left(f(x^{2}-1)\right)=0$ $x=0$ $f'(x^{2}-1)=0 \Leftrightarrow x^{2}-1\in$ {$-1;1;2$} $\Leftrightarrow x\in$ {$0;\pm\sqrt{2};\pm\sqrt{3}$} $f'\left(f(x^{2}-1)\right)=0 \Rightarrow f(x^{2}-1)\in$ {$-1;1;2$} $f(x^{2}-1)=-1 \rightarrow 2$ nghiệm $f(x^{2}-1)=1 \rightarrow 4$ nghiệm $f((x^{2}-1)=2 \Leftrightarrow x^{2}-1=2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}$ Vậy hàm số $y=f\left(f(x^{2}-1)\right)$ có $11$ điểm cực trị P/s: Bạn nhớ lập luận đạo hàm đổi dấu qua các điểm cực trị Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 24-06-2021 - 11:18 Đã gửi 02-07-2021 - 11:34 chanhquocnghiem Thiếu tá
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$. $y=f(f(x^2-1))\Rightarrow y'=2xf'(x^2-1)f'(f(x^2-1))$ Đặt $u(x)=f'(x^2-1)$ ; $v(x)=f'(f(x^2-1))$ $\Rightarrow y'=2x.u(x).v(x)$ $u(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-1=-1\\x^2-1=1\\x^2-1=2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt3 \end{array}\right.$ Gọi giao điểm của đường thẳng $y=-1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $A,B,C$ ($x_A< -1< x_B< x_C=2$) giao điểm của đường thẳng $y=1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $D,E,F,G$ ($x_D< -1< x_E< x_F giao điểm của đường thẳng $y=2$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $H,I,K$ ($x_H< -1< x_I=1< x_K$) Đặt $x_A+1=a$ ; $x_B+1=b$ ; $x_C+1=c$ ; ... Ta có $y'=2x.u(x).v(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt b\\x=\pm \sqrt{e}\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt f\\x=\pm \sqrt 3\\x=\pm \sqrt g\\x=\pm \sqrt k \end{array}\right.$ (tất cả là $15$ giá trị của $x$) Chú ý rằng mỗi khi $x$ đi qua bất kỳ giá trị nào trong $15$ giá trị kể trên thì chỉ có $x$ hoặc $u(x)$ hoặc $v(x)$ (một trong ba) đổi dấu mà thôi. Suy ra hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có đúng $15$ điểm cực trị. --------- Tìm đa thức $f(x)$ ? (Theo đồ thị, đa thức $f(x)$ là bậc chẵn) Giả sử đa thức là bậc $6$, tức là $f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx$ (vì $f(0)=0$) và $f'(x)=6ax^5+5bx^4+4cx^3+3dx^2+2ex+f$ Ta có $\left\{\begin{matrix}f(1)=2\\f(2)=-1\\f'(1)=0\\f'(-1)=0\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b+c+d+e+f=2\\64a+32b+16c+8d+4e+2f=-1\\6a+5b+4c+3d+2e+f=0\\-6a+5b-4c+3d-2e+f=0\\192a+80b+32c+12d+4e+f=0 \end{matrix}\right.$ Hệ này có vô số nghiệm. Nếu chọn $b=0$, ta có $f(x)=\frac{29}{148}\ x^6-\frac{93}{74}\ x^4-\frac{21}{37}\ x^3+\frac{285}{148}\ x^2+\frac{63}{37}\ x$. |
