Giao của 3 đường trung tuyến gọi là gì
|
Trong hình học,đường trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến. Show
Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau. Trong hình học không gian, khái niệm tương tự là mặt trung tuyến trong tứ diện. Tính chất đường trung tuyến[sửa | sửa mã nguồn]Đồng quy tại 1 điểm[sửa | sửa mã nguồn]3 đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó. Chia ra diện tích của các tam giác bằng nhau[sửa | sửa mã nguồn]Mỗi trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau. Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]Xem xét tam giác ABC (hình bên), cho D là trung điểm của , E là trung điểm của , F là trung điểm của , và O là trọng tâm. Theo định nghĩa, . Do đó và , trong đó là diện tích của ; điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy (mở rộng), và diện tích của tam giác thì bằng một phần hai đáy nhân đường cao. Chúng ta có:
Do đó, và Do , do đó, . Sử dụng cùng phương pháp này, ta có thể chứng minh . Công thức liên quan tới độ dài của đường trung tuyến[sửa | sửa mã nguồn]Độ dài của trung tuyến có tính được bằng định lý Apollonius như sau:
trong đó a, b và c là các cạnh của tam giác với các trung tuyến tương ứng ma, mb, và mc từ trung điểm Bài này sẽ giúp các em biết được tính chất của ba đường trung tuyến và trọng tâm của tam giác, đồng thời đưa ra các bài tập trắc nghiệm giúp các em ghi nhớ tốt kiến thức.TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC (PHẦN 1) I/ Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác + Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác đầu kia là trung điểm của cạnh đội diện với đỉnh đó. + Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến. 2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó. Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Ví dụ: Với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) (hình vẽ) ta có: \(AG = \frac{2}{3}AD\,\,;\,\,BG = \frac{2}{3}BE\,\,;\,\,CG = \frac{2}{3}CF\) 3. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp: Chú ý đến vị trí trọng tâm của tam giác. Với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(AB,BE,CF\) là ba đường trung tuyến ta có: \(AG = \frac{2}{3}AD\,\,;\,\,BG = \frac{2}{3}BE\,\,;\,\,CG = \frac{2}{3}CF\) Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông) Phương pháp: Chú ý trong tam giác cân (hoặc tam giác đều) đường trung tuyến ứng với cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau. II/ Bài tập vận dụng 1. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Chọn câu sai:
Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức về ba đường trung tuyến của tam giác: “Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.” Lời giải: Một tam giác chỉa có 1 trọng tâm nên đáp án D sai. Chọn D. Câu 2: Điền số thích hợp và chỗ chấm: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.”
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác. Lời giải: Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Vậy số cần điền là \(\frac{2}{3}.\) Chọn A. Câu 3: Cho hình vẽ sau: Điền số thích hợp và chỗ chấm: \(BG = ...BE.\)
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Lời giải: Ta có \(AD,BE,CF\) là ba đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) và chúng cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC.\) Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có: \(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BE.\) Vậy số thích hợp điền và chỗ chấm là \(\frac{2}{3}.\) Chọn C. Câu 4: Sử dụng hình vẽ ở câu 3 điền số thích hợp và chỗ chấm: \(AG = ...GD.\)
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Lời giải: Theo câu 3, ta có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC.\) Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có: \(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AG}}{{GD}} = 2 \Rightarrow AG = 2GD.\) Vậy số thích hợp điền và chỗ chấm là \(2.\) Chọn D. Câu 5: Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là:
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác. Lời giải: \(AD = DE = EM = \frac{1}{3}AM \Rightarrow AE = \frac{2}{3}AM\) Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó mà \(AE = \frac{2}{3}AM\) \( \Rightarrow E\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Chọn B. Câu 6: Cho tam giác ABC, trên đường trung tuyến AD. Gọi G là điểm nằm giữa A và D sao cho \(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3}.\) Tia BG cắt AC tại E, tia CG cắt AB tại F. Khẳng định nào sau đây sai?
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất trọng tâm và tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Lời giải: Do \(AD\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) mà \(\frac{{AG}}{{AD}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Mặt khác, \(BG\) cắt \(AC\) tại \(E,\,\,CG\) cắt \(AB\) tại \(F\) \( \Rightarrow BE,CF\) lần lượt là hai đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow E,F\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AC,AB.\) Theo tính chất của ba đường trung tuyến ta có: \(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{BG}}{{EG}} = 2\,\,;\,\,\frac{{CG}}{{CF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{CG}}{{FG}} = 2 \Rightarrow \frac{{FG}}{{CG}} = \frac{1}{2}\) Do đó đáp án B sai. Chọn B. Câu 7: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến BD, CE, AM. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất tam giác bằng nhau và các tính chất của tam giác cân, tam giác đều. Lời giải: + Nếu tam giác ABC cân tại A suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC \Rightarrow AE = AD\\\angle ABC = \angle ACB\end{array} \right.\) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ABD\) ta có: \(\begin{array}{l}AE = AD\\AC = AB\\\angle A\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ACE = \Delta ABD\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\) \( \Rightarrow CE = BD \Rightarrow \) đáp án A đúng. + Nếu BD = CE. Gọi giao điểm của BD và CE là G, vậy G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra: GE = GD ; GB = GC. Xét \(\Delta EGB\) và \(\Delta DGC\) có: \(\begin{array}{l}GE = GD\\GB = GC\\\angle BGE = \angle CGD\,\,\,\left( {2\,\,goc\,\,doi\,\,dinh} \right)\\ \Rightarrow \Delta EGB = \Delta DGC\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\\ \Rightarrow EB = DC \Rightarrow AB = AC\end{array}\) Suy ra tam giác ABC cân tại A nên đáp án B đúng. + Nếu tam giác ABC đều thì nó cân tại A và B, từ đó ta chứng minh được 3 đường trung tuyến bằng nhau. Do đó đáp án C đúng. Vậy cả 3 đáp án đều đúng. Chọn D. Câu 8: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Gọi G là điểm thuộc tia AM sao cho AG = 2AM. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất trọng tâm và tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Lời giải: Do \(AG = 2AM\) nên \(AG = \frac{2}{3}AM.\) Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. Do M là trung điểm của BC nên \({S_{\Delta AMB}} = {S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}.\) Do \(AG = \frac{2}{3}AM\) nên \({S_{\Delta GAB}} = \frac{2}{3}{S_{\Delta ABM}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\) Tương tự ta có: \({S_{\Delta GBC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}\,\,;\,\,{S_{\Delta GAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.\) Giao điểm của 3 đường trung tuyến gọi là gì?Mỗi đường trung tuyến là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Các đường trung tuyến này giao nhau tại một điểm duy nhất, được gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm của tam giác là tâm điểm của hình tam giác và là giao điểm của ba đường trung tuyến. 3 đường trung trực cắt nhau tại 1 điểm gọi là gì?Đường trung trực của mỗi cạnh của tam giác gọi là đường trung trực của tam giác. Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Trong tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền. Giao điểm của 3 đường trung trực có tính chất gì?Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Tam giác có 3 đường trung tuyến bằng nhau là tam giác gì?Mỗi tam giác đều có ba đường trung tuyến. Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau. |
