Toán 9 cung cấp cho em học sinh các kiến thức cơ bản và nâng cao về phương trình và hệ phương trình. Trong nội dung bài học hôm nay, Toppy sẽ hướng dẫn các em giải phương trình bằng phương pháp thế hiệu quả nhé. Cùng bắt tay vào học ngay thôi.
Phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp giải hệ pt bằng phương pháp thế là một phương pháp áp dụng cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Thế nên, chúng ta cần hiểu qua về khái niệm chung của hệ phương trình, phương trình bậc nhất hai ẩn là thế nào đã nhé.
Phương trình bậc nhất hai ẩn
Biểu thức của phương trình bậc nhất hai ẩn được viết như sau: ax + by = c với a,b,c ⊂ R [a2+b2 # 0]. Trong phương trình bậc nhất hai ẩn, tập nghiệm của nó luôn là có vô số nghiệm. Tập nghiệm được biểu thị bằng đường thẳng [d]: ax + by = c.
Chúng ta cũng có 3 trường hợp sau:
- Nếu a # 0 và b # 0: đường thẳng d có đồ thị hàm số là y = – a/b + c/b
- Nếu a # 0 và b = 0, phương trình hiển nhiên sẽ trở thành ax + 0 = c, tức là ax = 0 hay x = c/a và lúc này, đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung.
- Nếu a = 0 và b # 0, thì phương trình bậc nhất hai ẩn trở thành 0 + by = c, tức là by = c, suy ra c = b/y. Lúc này, đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục hoành.
Đó là ba trường hợp biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn mà các em cần lưu ý. Mỗi trường hợp sẽ có cách minh họa tập nghiệm của phương trình khác nhau.
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Chúng ta đã hiểu phương trình bậc nhất một ẩn được viết như thế nào rồi, thì ở đây sẽ có công thức như sau:
Trong đó, a, b, c, a’, b’, c’ ⊂ R.
Khác với việc minh họa tập nghiệm của phương trình, hệ phương trình được minh họa như sau. Chúng ta sẽ có 2 đường thẳng [d] và [d’] cho 2 phương trình bậc nhất ax + by = c và a’x + b’y = c. Lúc này, cũng có 3 trường hợp xảy ra:
- [d] // [d’] thì hệ vô nghiệm
- [d] cắt [d’] thì hệ có một nghiệm duy nhất
- [d] trùng [d’] thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm
Nếu các hệ phương trình có cùng tập hợp nghiệm thì lúc này chúng ta có hệ phương trình tương đương. Việc phương trình tương đương cũng chính tỏ các hệ phương trình đó có cùng tập hợp nghiệm. Đây là kết quả 2 chiều.
Cách giải phương trình bằng phương pháp thế
Có 2 cách giải hệ phương trình phổ biến, chính là dùng phương pháp thế và phương pháp cộng. Trong nội dung bài học hôm nay, chúng ta chỉ tập trung đi chuyên sâu về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế lớp 9 các em nhé.
Các quy tắc và bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Quy tắc thế
Các em cần nắm rõ quy tắc này để áp dụng vào từng bài thực hành cụ thể. Quy tắc thế chính là dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương.
Để làm được, chúng ta thực hiện qua 2 bước sau:
- Bước 1: Với hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ 2 để cho ra một hệ phương trình mới. Lúc này, hệ phương trình sau khi thế đã chỉ còn 1 ẩn.
- Bước 2: Sau khi đã có hệ phương trình 1 ẩn, chúng ta sử dụng nó để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình. Phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước làm đầu tiên.
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Toán 9 giải hệ phương trình bằng phương pháp thế với các bước cơ bản sau:
- Bước 1: Sử dụng quy tắc thế đã nêu ở trên để biến đổi phương trình bài toán đã cho thành một phương trình mới, trong đó, lưu ý là phương trình này có một phương trình một ẩn.
- Bước 2: Giải hệ phương trình một ẩn vừa có. Cách giải các em đã được học ở bài học trước rồi. Sau đó, chúng ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho. Kết quả tìm nghiệm chính là đáp án của bài toán giải hệ pt bằng phương pháp thế.
Các em cần lưu ý là trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp này, ta thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của cả hai ẩn đều bằng 0, thì hệ phương trình đã cho có thể xảy ra hai trường hợp: 1 là vô nghiệm và 2 là vô số nghiệm.
Bài tập giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Như vậy, chúng ta vừa học xong bài giải phương trình bằng phương pháp thế. ở bài này, các em đặc biệt lưu ý đến quy tắc thế cũng như các bước giải bài toán nhé. Các em cũng đừng quên một số trường hợp đặc biệt có thể xảy ra. Việc nhớ các quy tắc, cách giải sẽ giúp các em vận dụng dễ dàng trong các bài tập tương tự.. Chúc các em làm bài tốt và áp dụng được trong các bài thi, bài chuyển cấp. Hãy nhớ, dạng bài toán này sẽ có thể xuất hiện ở bài thi vào lớp 10, nên khi ôn luyện đừng bỏ qua nội dung bài học.
Xem thêm:
Có thể tìm nghiệm của một hệ phương trình mà không vẽ hình được không? Để giải đáp câu hỏi này, Tech12h xin chia sẻ với các bạn bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Với lý thuyết và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học tập tốt hơn.
NỘI DUNG TRẮC NGHIỆM
Nội dung bài viết gồm 2 phần:
- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
1. Quy tắc thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
Quy tắc thế gồm hai bước sau:
- Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho [coi là phương trình thứ nhất], ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới [chỉ còn một ẩn]
- Bước 2: Dùng phương trình mới để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ [phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1].
2. Áp dụng
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}2x-y=3 & \\ x+2y=4 & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}y=2x-3 [1]& \\ x+2y=4[2] & \end{matrix}\right.$
Giải: Thế phương trình [1] vào phương trình [2] ta được
$x+2[2x-3]=4$
$\Leftrightarrow x+4x-6=4$
$\Leftrightarrow 5x-6=4$
$\Leftrightarrow 5x=4+6$
$\Leftrightarrow 5x=10$
$\Leftrightarrow x=2$
Thế x = 2 vào phương trình [1] ta được:
$y=2.2-3$
$\Leftrightarrow y=1$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là [2;1]
Chú ý: Nếu trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thế có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
1. Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
2. Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Câu 12: trang 15 sgk toán lớp 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
a. $\left\{\begin{matrix}x-y=3 & \\ 3x-4y=2 & \end{matrix}\right.$
b. $\left\{\begin{matrix}7x-3y=5 & \\ 4x+y=2 & \end{matrix}\right.$
c. $\left\{\begin{matrix}x+3y=-2 & \\ 5x-4y=11 & \end{matrix}\right.$
Câu 13: trang 15 sgk toán lớp 9 tập 1
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a. $\left\{\begin{matrix}3x-2y=11 & \\ 4x-5y=3 & \end{matrix}\right.$
b. $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1 & \\ 5x-8y=3 & \end{matrix}\right.$
Câu 14: trang 15 sgk toán lớp 9 tập 1
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a. $\left\{\begin{matrix}x+y\sqrt{5}=0 & \\ x\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5} & \end{matrix}\right.$
b. $\left\{\begin{matrix}[2-\sqrt{3}]x-3y=2+5\sqrt{3} & \\ 4x+y=4-2\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$
Câu 15: trang 15 sgk toán lớp 9 tập 2
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ [a^{2}+1]x+6y=2a & \end{matrix}\right.$[1]
trong mỗi trường hợp sau:
a. $a=-1$
b. $a=0$
c. $a=1$
Câu 16: trang 16 sgk toán lớp 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a. $\left\{\begin{matrix}3x-y=5 & \\ 5x+2y=23 & \end{matrix}\right.$
b. $\left\{\begin{matrix}3x+5y=1 & \\ 2x-y=-8 & \end{matrix}\right.$
c. $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{y}=\frac{2}{3} & \\ x+y-10=0 & \end{matrix}\right.$
Câu 17: trang 16 sgk toán lớp 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a. $\left\{\begin{matrix}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1 & \\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$
b. $\left\{\begin{matrix}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5} & \\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10} & \end{matrix}\right.$
c. $\left\{\begin{matrix}[\sqrt{2}-1]x-y=\sqrt{2} & \\ x+[\sqrt{2}+1]y=1 & \end{matrix}\right.$
Câu 18: trang 16 sgk toán lớp 9 tập 2
a. Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x+by=-4 & \\ bx-ay=-5 & \end{matrix}\right.$
có nghiệm là: $[1;-2]$
b. Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là $[\sqrt{2}-1;\sqrt{2}]$
Câu 19: trang 16 sgk toán lớp 9 tập 1
Biết rằng: Đa thức P[x] chia hết cho đa thức x - a khi và chỉ khi P[a] = 0.
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x - 3:
$P[x]=mx^{3}+[m-2]x^{2}-[3n-5]x-4n$
=> Trắc nghiệm Toán 9 bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế [P2]