Giải bài tập phương trình tuyến tính cấp 1 năm 2024

1. TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN §1: Các khái niệm cơ bản về PTVP BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
2. cơ bản về PTVP Xét các phương trình: 1. x2 + 3x -4 =0 PT đại số 2. x - e2x = 0 PT đại số 3. y’ = x2 + y2 với y=y(x) PT vi phân cấp 1 4. xdy – y2dx = 0 với y=y(x) PT vi phân cấp 1 5. y’’’+2xy’=lnx với y=y(x) PT vi phân cấp 3 6. với u=u(x,y) PT vi phân đạo hàm riêng 7. với u=u(x,y) PT vi phân đạo hàm riêng ' ' x y u u 0   [email protected] 4/2022 2 2 2 2 u u 0,... x y      
3. cơ bản về PTVP Định nghĩa 1: Một phương trình mà đối tượng phải tìm là một hàm số và hàm số phải tìm có mặt trong phương trình dưới dạng đạo hàm hoặc vi phân các cấp được gọi là phương trình vi phân.  Phương trình vi phân được chia làm hai loại: PTVP thường là PTVP với hàm số phải tìm là hàm số một biến số. VD: y’ = x2 + y2; xdy – y2dx = 0, … PTVP đạo hàm riêng là PTVP với hàm số phải tìm là hàm số nhiều biến số. VD: 2 2 2 2 u u u u x y u; 0,... x y x y             [email protected] 4/2022
4. cơ bản về PTVP Định nghĩa 2: Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số phải tìm có mặt trong PTVP đó.  Định nghĩa 3: Dạng tổng quát của PTVP cấp n như sau: F(x, y, y’, y”,…,y(n)) = 0 (*)  Định nghĩa 4: Nghiệm của PTVP (*) là hàm số y = (x) mà khi thay vào pt (*) ta được đồng nhất thức đúng, tức là: F(x, (x), ’(x), ”(x),…, (n)(x))  0  Định nghĩa 5: Giải PTVP nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của PTVP đó. Nghiệm của một PTVP bao gồm các nghiệm có chung dạng tổng quát và các nghiệm riêng không thuộc dạng tổng quát đó (nghiệm kì dị). [email protected] 4/2022
5. phương trình vi phân cấp 1  Dạng tổng quát của ptvp cấp 1 như sau: F(x, y, y’) = 0 (1)  Dạng đã giải theo đạo hàm: y’ = f(x, y) (2)  Dạng đối xứng: M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 (3)  Nghiệm của ptvp cấp 1 có dạng tổng quát như sau: y = (x, C) (Nếu nghiệm tổng quát viết dưới dạng (x, y, C) = 0 thì được gọi là tích phân tổng quát của PTVP. Nếu nghiệm tổng quát gán cho C một giá trị cụ thể gọi là nghiệm riêng. Nếu nghiệm không thuộc nghiệm tổng quát thì gọi là nghiệm kì dị của PTVP)  Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm của ptvp: y’ = f(x,y) hay F(x, y, y’) = 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu: y = y0 khi x = x0
6. phương trình vi phân cấp 1  Ví dụ:  Họ hàm y = C .ex là nghiệm tổng quát của PT : y ′ = y.  Hàm y =1/x là một nghiệm riêng của PT: xdy + ydx = 0.  Hàm ẩn xác định bởi phương trình: là tích phân tổng quát của PTVP:  Hàm y = ex là nghiệm của bài toán Cauchy: y ′ = y thỏa mãn y(0)=1. 0   ydy xdx 2 2   x y C [email protected] 4/2022
7. TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN §2: Cách giải một số PTVP thường cấp 1 BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
8. tính cấp 1 1. Định nghĩa: là ptvp có dạng tổng quát như sau: y’ + p(x).y = q(x) (1)  Khi q(x)  0 thì ptvp (1) có dạng: y’ + p(x).y = 0 (2) được gọi là ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất liên kết với (1).  Ptvp (2) có nghiệm tổng quát: y = C.e-p(x)dx (C là hằng số bất kỳ).  Ví dụ: Giải PTVP: y’+2xy=0, nghiệm TQ là Định lý: Nếu y0(x) là nghiệm riêng của ptvp (1) và y(x) là nghiệm tổng quát của ptvp liên kết (2) thì y0(x) + y(x) là nghiệm tổng quát của ptvp (1). [email protected] 4/2022 2 x y Ce 
9. tính cấp 1 2. Phương pháp giải (Phương pháp biến thiên hằng số) y’ + p(x).y = q(x) (1) Bước 1: Giải ptvp thuần nhất liên kết: y’ + p(x).y = 0 ta được nghiệm tổng quát: y = C.e-p(x)dx = C.y0(x) (C là hằng số bất kỳ) Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của ptvp (1) dưới dạng y = C(x).y0(x); với C(x) là hàm số của x Tính y' và thay vào (1) ta tìm được biểu thức C’(x) = q(x).y0 -1(x) Kết luận: Nghiệm tổng quát của (1) có dạng: 1 0 0 y q(x).y (x)dx C .y (x)         [email protected] 4/2022
10. tính cấp 1 3. Sử dụng công thức nghiệm Công thức nghiệm tổng quát của PTVP tuyến tính cấp 1 không thuần nhất y’ + p(x).y = q(x) (1) là: Ví dụ: Giải PTVP tuyến tính cấp 1 ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx y e q x e dx C            [email protected] 4/2022 ) ' 2   x a y y e 2 ) ( 0) dy y b x x dx x   
11. tính cấp 1  [email protected] 4/2022
12. biến 1. Định nghĩa: PTVP tách biến (Ptvp biến số phân ly) có dạng: M(x)dx + N(y)dy = 0 (1) Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được: 2. Một số PTVP đưa được về dạng PTVP tách biến Dạng 1: M1(x).M2(y).dx + N1(x).N2(y).dy = 0 (2) Cách giải: Trường hợp 1: N1(x).M2(y) = 0 để tìm các nghiệm riêng của PT(1). Trường hợp 2: N1(x).M2(y) ≠ 0 : Biến đổi ptvp (1) về dạng: Lấy tích phân hai vế ta được: Dạng 2: y’ = f1(x).f2(y) (4)  dy/dx= f1(x).f2(y) Cách giải: Biến đổi tương tự dạng 1 1 2 1 2 M (x) N (y) dx dy 0 (3) N (x) M (y)   1 2 1 2 M (x) N (y) dx dy C N (x) M (y)     M(x)dx N(y)dy C    
13. biến Ví dụ: Giải PTVP 2 a. 2xdx 3y dy 0   [email protected] 4/2022 b. ydx xdy 0   2 c. y(x 1)dx x(y 1)dy 0    
14. Bernoulli (đọc thêm)  Ptvp Bernoulli là ptvp có dạng tổng quát: y’ + p(x).y = q(x).y với  là hằng số thực khác 0 và 1 Cách giải:  Ptvp Bernoulli có nghiệm riêng y = 0.  Chia hai vế của pt cho y ta được pt: y- .y’ + p(x).y1-  = q(x)  Đặt z = y1-  thì z’ = (1 - ) y- .y’; ta quy về ptvp tuyến tính cấp 1 của z đối với x: z’ + (1 - )p(x).z = (1 - )q(x) Ví dụ: Giải PTVP [email protected] 4/2022 2 4/3 2 3   dy y x y dx x
15. phần (đọc thêm) 1. Ptvp toàn phần  Ptvp được gọi là ptvp toàn phần nếu tồn tại hàm (x,y) sao cho:  Khi đó (1) có tích phân tổng quát là: Định lý: Nếu thì (1) là ptvp toàn phần. Khi đó: với (x0;y0) là điểm bất kỳ thuộc MXĐ của M(x,y) và N(x,y). M(x,y).dx N(x,y).dy 0 (1)      d (x, y) M(x, y)dx N(x, y)dy (x, y) C   M N y x      0 0 y x 0 x y (x,y) M(x,y).dx N(x ,y).dy      0 0 y x 0 x y (x,y) M(x,y ).dx N(x,y).dy      [email protected] 4/2022
16. phần (đọc thêm) 1. Ptvp toàn phần Ví dụ: Giải PTVP ( 1) 0 y y e dx xe dy    2 2 2 3 (3 6 ) (6 4 ) 0 x xy dx x y y dy     [email protected] 4/2022
17. phần (đọc thêm) 2. Phương pháp thừa số tích phân Cho ptvp: M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 (1) Nếu nhân hai vế của (1) với p = p(x,y) sao cho: p.M(x,y).dx + p.N(x,y).dy = 0 là ptvp toàn phần thì p(x,y) được gọi là thừa số tích phân Gợi ý tìm thừa số tích phân ( Chỉ phụ thuộc 1 biến) M N y x (x) N         M N y x (y) M         (x)dx tstp p(x) và p(x) e      (y)dy tstp q(y) và q(y) e      [email protected] 4/2022
18. TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN §3: Phương trình vi phân cấp 2 BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
19. phương trình vi phân cấp 2  Dạng tổng quát của PTVP cấp 2 như sau: F(x, y, y’, y”) = 0  Dạng đã giải ra theo y”: y” = f(x, y, y’)  Nghiệm của PTVP cấp 2 có dạng tổng quát như sau: y = (x, C1, C2) hoặc (x, y, C1, C2) = 0  Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm của PTVP cấp 2: F(x, y, y’, y”) = 0 thỏa mãn điều kiện ban đầu: y = y0 và y’ = y’0 khi x = x0 [email protected] 4/2022
20. PTVP cấp 2 có thể hạ cấp 1. PTVP dạng: y” = f(x) (khuyết y và y’) Lấy tích phân bất định 2 lần ta được nghiệm tổng quát. 2. PTVP dạng: y” = f(x, y’) (khuyết y) Đặt y’ = z ta có: y” = z’  phương trình quy về PTVP cấp 1: z’ = f(x, z) 3. PTVP dạng: y” = f(y, y’) (khuyết x) Đặt z = y’, ta có: y” = z’(x) = z’(y).y’(x) = z’(y).z PT có dạng PTVP cấp 1 với z là hàm số của y: z’(y).z = f(y, z) [email protected] 4/2022
21. tính cấp 2  Ptvp tuyến tính cấp 2 là ptvp có dạng tổng quát như sau: y” + p(x).y’ + q(x).y = f(x) (1)  Khi f(x)  0 thì PTVP (1) có dạng: y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 (2) được gọi là ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất liên kết với (1). Lưu ý:  Các phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 2 được tiếp cận tương tự như phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 1.  Giải ptvp tuyến tính cấp 2 cần vận dụng một số kiến thức cơ bản về tập hợp số phức. [email protected] 4/2022
22. lập, phụ thuộc tuyến tính  Các hàm số f1(x), f2(x), …, fm(x) xác định trên tập D được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực k1, k2, …, km trong đó có ít nhất một số khác 0 thỏa mãn: k1f1(x) +k2f2(x) + … + kmfm(x)  0  Các hàm số f1(x), f2(x), …, fm(x) xác định trên tập D được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức k1f1(x) +k2f2(x) + … + kmfm(x)  0 chỉ thỏa mãn khi k1 = k2 = … = km = 0. Ví dụ: Các cặp hàm số sau đây là độc lập tuyến tính trên R 1) eax và ebx (a  b) 2) eax và xeax 3) eaxcos bx và eaxsinbx [email protected] 4/2022
23. cơ bản về nghiệm Ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất: y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 (2) Định lý:  Nếu y(x) là một nghiệm của (2) thì C.y(x), với C là hằng số bất kỳ, cũng là nghiệm của (2).  Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của (2) thì y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm của (2).  Nếu y(x) = u(x) + iv(x) là một nghiệm phức của (2) thì u(x) và v(x) là các nghiệm thực của (2).  Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (2) thì C1y1(x) + C2y2(x) là nghiệm tổng quát của (2), trong đó C1 và C2 là các hằng số bất kỳ. [email protected] 4/2022
24. cơ bản về nghiệm Ptvp tuyến tính cấp 2 tổng quát: y” + p(x).y’ + q(x).y = f(x) (1) Ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất liên kết: y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 (2) Định lý: Nếu y*(x) là một nghiệm riêng của (1) và y1(x), y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất liên kết (2) thì nghiệm tổng quát của (1) có dạng: y = y*(x) + C1y1(x) + C2y2(x) C1 và C2 là các hằng số bất kỳ. [email protected] 4/2022
25. tính cấp 2 hệ số hằng 1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng y” + p.y’ + q.y = 0 (2), với p và q là hằng số Tìm nghiệm của (2) dưới dạng y = ekx, ta suy ra k thỏa mãn: k2 + p.k + q = 0 (*) gọi là PT đặc trưng của (2)  Nếu (*) có 2 nghiệm thực phân biệt k1=a, k2=b thì (2) có nghiệm tổng quát là y= C1eax + C2 ebx.  Nếu (*) có nghiệm thực kép k1 = k2 = k thì (2) có nghiệm tổng quát là y=(C1 + C2x)ekx.  Nếu (*) có 2 nghiệm phức liên hợp k =   i thì (2) có nghiệm tổng quát là y= ex (C1 cosx + C2 sinx) [email protected] 4/2022
26. tính cấp 2 hệ số hằng 1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng Ví dụ 1: Giải các phương trình vi phân cấp 2: a. y’’ + 7y’ + 10y = 0 b. y’’ - 6y’ + 9y = 0 c. y’’ + 4y’ + 13y = 0 [email protected] 4/2022
27. tính cấp 2 hệ số hằng 2. Phương pháp giải PTVP cấp 2 không thuần nhất y” + p.y’ + q.y = f(x) (1) Bước 1: Giải ptvp thuần nhất liên kết: y” + p.y’ + q.y = 0 (2) ta được nghiệm tổng quát: y0 (x)= C1y1(x) + C2y2(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ) Bước 2: Tìm nghiệm riêng y*(x) của (1) Bước 3: Nghiệm tổng quát của (1) có dạng: y = y*(x) + y0(x) = y*(x) + C1y1(x) + C2y2(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ) [email protected] 4/2022
28. tính cấp 2 hệ số hằng  [email protected] 4/2022
29. tính cấp 2 hệ số hằng  [email protected] 4/2022
30. tính cấp 2 hệ số hằng b) Cách giải PTVP dạng (đọc thêm) y” + p.y’ + q.y = eax[P1(x)cosbx + P2(x)sinbx] (1) Bước 1: Giải ptvp thuần nhất liên kết: y” + p.y’ + q.y = 0 (2) Phương trình đặc trưng: k2 +pk+q=0 (3)  nghiệm tổng quát của pt thuần nhất là: y0 (x) Bước 2: Tìm nghiệm riêng y*(x) của (1):  Nếu k = a  bi không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì pt (1) có nghiệm riêng dạng: y*(x) = eax[Q1(x)cosbx + Q2(x)sinbx] Q1(x) và Q2(x) là các đa thức có bậc là max{bậc P1(x), bậc P2(x)}  Nếu k = a  bi là nghiệm của phương trình đặc trưng thì pt (1) có nghiệm riêng dạng: y*(x) = xeax[Q1(x)cosbx + Q2(x)sinbx] Bước 3: Nghiệm tổng quát của (1) có dạng: y = y*(x) + y0(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ) [email protected] 4/2022
31. tính cấp 2 hệ số hằng c) Nguyên lý “chồng chất” nghiệm (đọc thêm) Xét các phương trình vi phân: y” + p.y’ + q.y = f(x) (1) y” + p.y’ + q.y = g(x) (2) trong đó, p và q là các số thực. Định lý: Nếu y1(x) là một nghiệm của (1) và y2(x) là một nghiệm của (2) thì tổng y1(x) + y2(x) là nghiệm của phương trình: y” + p.y’ + q.y = f(x) + g(x) [email protected] 4/2022
32. tính cấp 2 hệ số hằng 3. Phương pháp biến thiên hằng số (đọc thêm) Giải PTVP: y” + p.y’ + q.y = f(x) (1), f(x) khác dạng 2.a, 2.b Bước 1: Giải Ptvp thuần nhất liên kết được nghiệm tổng quát: y = C1.y1(x) + C2.y2(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ) Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của Ptvp (1) dưới dạng y = C1(x).y1(x) + C2(x).y2(x) (C1(x) và C1(x) là hàm số của x) C’1(x) và C’2(x) sẽ tìm được từ hệ pt: Tích phân C’1(x) và C’2(x) để tính C1(x) và C2(x). Từ đó có nghiệm tổng quát của (1) 1 1 2 2 1 1 2 2 y (x).C' (x) y (x).C' (x) 0 y '(x).C' (x) y '(x).C' (x) f(x)        [email protected] 4/2022
33. TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN §4: Phân tích động trong kinh tế (đọc thêm) BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
34. PTVP cấp 1 trong kinh tế  [email protected] 4/2022
35. PTVP cấp 1 trong kinh tế  ( ) dk s k k dt     ( ) ( ) dK I t sY t dt   ( 0) dL L dt     [email protected] 4/2022
36. PTVP cấp 1 trong kinh tế 3. Mô hình điều chỉnh giá thị trường  Giả sử lượng cung và cầu của một loại hàng hóa như sau:  Giá cân bằng là  Giả thiết tốc độ biến thiên của giá cả tỷ lệ thuận với lượng dư cầu:  Khi đó ta được PTVP:  Nghiệm của pt có dạng: ( ) ( ) dP b d P a c dt       ( ) ( ) [P(0)-P]e b d t P t P      ( ), 0 d s dP Q Q dt      ; d s Q a bP Q c dP      a c P b d    [email protected] 4/2022
37. PTVP cấp 2 trong kinh tế 1. Mô hình thị trường với kì vọng giá  Xét hàm cung và hàm cầu dưới dạng  Quỹ thời gian của giá thị trường  Giả sử xét mô hình tuyến tính  Giả sử chỉ có hàm cầu chứa kì vọng giá khi đó ta có PT  Trạng thái cân bằng là: ' '' ' '' d s Q a bP P P Q c dP P P                 a c P b d    '' ' b d a c P P P           [P(t),P'(t),P''(t)]=D[P(t),P'(t),P''(t)] S [P(t),P'(t),P''(t)]; Q =D[P(t),P'(t),P''(t)] st dt Q S  [email protected] 4/2022
38. PTVP cấp 2 trong kinh tế 2. Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hóa tồn đọng  Được biểu diễn dưới dạng PT:  Giả thiết hàm cung và hàm cầu có dạng:  Khi đó mô hình được đưa về PTVP cấp 2:  Trạng thái cân bằng ổn định động: 0 ( ) [ ( ) ( )] t d s d s dP Q Q Q x Q x dx dt        ; d s Q a bP Q c dP      2 2 ( ) ( ) ( ) d P dP b d b d P a c dt dt          a c P b d    [email protected] 4/2022
39. PTVP cấp 2 trong kinh tế 3. Mô hình ô nhiễm môi trường  Gọi y là lượng cacbon dioxit, hàm lượng đó tuân theo quy luật và PT:  Trong đó x là lượng cacbon dioxit do các xí nghiệp thải và tuân theo quy luật:  Khi đó mô hình là hệ 2 PTVP cấp 1 được đưa về PTVP cấp 2:  Giải PTVP cấp 2 tìm được y: dy x y dt    2 2 bt d y dy y ae dt dt      2 bt ae y b b      [email protected] 4/2022 bt dx ae y dt   
40. TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN §5: Phương trình sai phân (đọc thêm) BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
41. sai phân và PT sai phân  [email protected] 4/2022
42. sai phân và PT sai phân  2 ( , , , ,..., ) 0 n t t t t t y y y y      1 ( , , ,..., ) 0 t t t n F t y y y    1 1 ( , , ,..., ) t n t t t n y f t y y y      [email protected] 4/2022
43. sai phân và PT sai phân  1 2 ( , , ,..., ) t n y t C C C   [email protected] 4/2022
44. PT sai phân cấp 1  [email protected] 4/2022 Yt+1 -2Yt =7
45. PT sai phân cấp 1  [email protected] 4/2022
46. PT sai phân cấp 1 3. Một số mô hình PTSP tuyến tính cấp 1 trong kinh tế a. Mô hình Cobweb  Phương trình (1) là PTSP ôtônôm tuyến tính cấp 1. Ta tìm được nghiệm tổng quát là: , 1 , 1 , 1 1 1 , 1 1 ( 0, 0) (1) ( 0, 0) d t s t d t t t t s t t Q Q Q P P P Q P                                        0 ( ) , t t P P P P P                    [email protected] 4/2022
47. PT sai phân cấp 1 b. Mô hình thị trường có hàng hóa tồn đọng Các giả thiết của mô hình:  Lượng cung và cầu là hàm tuyến tính  Lượng điều chỉnh:  Với các giả thiết trên ta có PTSP:  Nghiệm của phương trình có dạng: 1 1 ( 0, 0) ( 0, 0) dt t st t Q P Q P                         0 ( ) 1 ( ) , t t P P P P P                1 ( ) (2) t t st dt P P Q Q       1 [1 ( )] ( ) t t P P             [email protected] 4/2022
48. PT sai phân cấp 1  (0 1) t t S sY s    0 t t a Y Y a s         1 ( ) ( 0) t t t I a Y Y a     1 0 t t a Y Y a s     [email protected] 4/2022
49. PT sai phân cấp 1  1 0 (0 1) t t C C cY c      1 0 0 t t Y cY C I     0 0 0 ( ) , 1 t t C I Y Y Y c Y Y c       [email protected] 4/2022

Giải bài tập phương trình tuyến tính cấp 1 năm 2024

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội