A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
♦ Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của hàm số f trên tập xác định D, ta cần chứng tỏ :
a] f[x] ≤ M,
b] ∃x0 ∈ D để f[x0] = M.
♦ Để chứng minh m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập xác định D, ta cần chứng tỏ :
a] f[x] ≥ m, x ∈ D ;
b] ∃x0 ∈ D để f[x0] = m.
2. Phương pháp tổng quát
để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập xác định D
là lập bảng biến thiên của hàm số f với đầy đủ các giá trị đặc biệt của y, từ đó ta sẽ suy ra được:
Ghi chú:
1. f[x] là biểu thức lượng giác.
- Ta biến đổi để trong biểu thức chỉ còn chứa y = sin[ax + b] hay y = cos[ax + b]
và áp dụng : -1 ≤ sin[ ax + b]≤ 1, x ∈ R
-1 ≤ cos[ ax + b]≤ 1, x ∈ R
Trường hợp f[x] chứa sin[ax + b], cos[ax + b] và ta biến đổi được về dạng: Asin[ax + b] + Bcos[ax + b] = C thì áp dụng điều kiện phương trình có nghiệm : A2 + B2 ≥ C2.
2. Trường hợp y = f[x] liên tục trên đoạn [a ; b], ta tiến hành các bước:
- Tìm các giá trị của x sao cho f'[x] = 0 hay f'[x] không xác định trên đoạn [a ; b], giả sử các giá trị đó là x1, x2, x3.....
- Tính các giá trị của hàm số tại các điểm có giá trị x nói trên là f[x1], f[x2], f[x3],.........
- Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút là f[a], f[b].
- So sánh các giá trị f[a], f[b], f[x1], f[x2], f[x3], ta suy ra giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f[x] trên đoạn
[a ; b]
3. Nếu trong miền D có f[x] → +∞ thì hàm số không có giá trị lớn nhất trong D. Nếu trong miền D có f[x] → -∞ thì hàm số khônq có giá trị nhỏ nhất trong D.
4. Nếu hàm số f liên tục và đạt cực trị duy nhất trong khoảng [a ; b] tại x0 thì:
| max f[x] = f[x0] nếu cực trị trên là cực đại ; [a ; b] |
| min f[x] = f[x0] nếu cực trị trên là cực tiểu. [a ; b] |
Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 1 trên đoạn [- 2 ; 4] lần lượt là[A] -1 ; -19 ; [B] 6 ; -26 ;
[C] 4 ; -19 ; [D]10;-26.
Giải
Hàm số liên tục trên đoạn [-2 ; 4] và có đạo hàm y’ = 3x2 - 6x - 9.
So sánh các giá trị vừa tính được của hàm số, ta suy ra
| max f[x] = 6; [-2 ; 4] |
min f[x] = -26 [-2 ; 4] |
Chọn phương án [B]
Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì
Suy luận nào sau đây đúng?
Cho \[a,\,\,b,\,\,c\] dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho \[a > b > 0.\] Mệnh đề nào dưới đây sai?
Cho hàm số y = f[x] xác định trên tập D.
Giá trị lớn nhất của hàm số
Số M là giá trị lớn nhất [GTLN] của hàm số f trên D
⇔f[x]≤M,∀x∈D
∃x0∈D sao cho f[x0]=M
Kí hiệu : M=maxD f[x].
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Số m là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số f trên D
⇔f[x]≥m,∀x∈D
∃x0∈D sao cho f[x0]=m
Kí hiệu: m=minD f[x].
II. Cách tính giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Định lí
Hàm số liên tục trên một đoạn thì có GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f[x] liên tục trên đoạn [a ; b]
- Tìm các điểm xi ∈ [a ; b][i = 1, 2, . . . , n] mà tại đó f'[xi] = 0 hoặc f'[xi] không xác định.
- Tính f[a], f[b], f[xi] [i = 1, 2, . . . , n] .
- Khi đó: max [a;b] f[x]=max {f[a];f[b];f[xi]}
min [a;b] f[x]=min {f[a];f[b];f[xi]}
III. Chú ý
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f[x] xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
Bài tập giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
Bài 1 : Tính giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất
Lời giải A
Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = x² trên đoạn [-3; 0];
Lời giải chi tiết:
y’ = 2x ≤ 0 trên đoạn [-3; 0].
Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn [-3,0].
Khi đó trên đoạn [-3,0]: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = -3 và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 và giá trị nhỏ nhất = 0.
Lời giải B
y=x+1x−1y=x+1x−1 trên đoạn [3; 5].
Lời giải chi tiết:
y′=−2[x−1]2