Đường tròn noi tiếp tam giác là gì
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là gì? Lý thuyết và cách giải các dạng toán về tâm đường tròn nội tiếp tam giác như nào? Cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề này qua bài viết dưới đây nhé! Show
Mục lục
Lý thuyết tâm đường tròn nội tiếp tam giácTổng quát tâm đường tròn nội tiếp tam giácTrong hình học, đường tròn nội tiếp của một tam giác là đường tròn lớn nhất nằm trong tam giác; nó tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giácCách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C
Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau: \(\left\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB}\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} \end{matrix}\right.\) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giácCho tam giác ABC Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB Đặt \(p = \frac{a + b + c}{2}\) , ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp: \(r = \frac{2S}{a + b + c} = \frac{S}{p} = (p – a)\tan \frac{A}{2} = (p – b)\tan \frac{B}{2} = (p – c)\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(p – a)(p – b)(p – c)}{p}}\) Phương trình đường tròn nội tiếp tam giácCho tam giác ABC có \(A(x_{A};y_{A}), B(x_{B}; y_{B}), C(x_{C}; y_{C})\) Cách 1:
Cách 2:
Bài tập về đường tròn nội tiếp tam giácDạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnhVí dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm I của đương tròn nội tiếp tam giác ABC . Giải: Ta có \(AB= 5\sqrt{5}, AC=3\sqrt{5} BC=4\sqrt{5}\) Do đó: \(\left\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB} = \frac{4\sqrt{5}.1 + 3\sqrt{5}.(-4)+5\sqrt{5}.4}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}} = 1\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} = \frac{4\sqrt{5}.5 + 3\sqrt{5}.(-5)+5\sqrt{5}.(-1)}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}}=0\end{matrix}\right.\) Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0) Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giácVí dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải: Ta có, \(AB=5\sqrt{5} , AC= 3\sqrt{5}, BC= 4\sqrt{5}\) \(p=\frac{AB+AC+BC}{2} = \frac{5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5}}{2} = 6\sqrt{5}\) Do đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(r = \sqrt{\frac{(p – a)(p – b)(p – c)}{p}} = \sqrt{\frac{(6\sqrt{5} – 5\sqrt{5})(6\sqrt{5}-3\sqrt{5})(6\sqrt{5}-4\sqrt{5})}{6\sqrt{5}}} = \sqrt{5}\) Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnhVí dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Giải: Ta có phương trình cạnh BC: 7x-24y+55=0 Phương trình đường phân giác góc A: \(7x+y-70=0\) Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{matrix} 7x+y-70=0\\ 7x-24y+55=0\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{65}{7}\\ y=5 \end{matrix}\right. \Rightarrow D\left ( \frac{65}{7}; 5 \right )\) Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: \(\underset{IA}{\rightarrow} = (11-a;-7-b), \underset{ID}{\rightarrow} = (\frac{65}{7}-a; 5-b), BA = 20, BD= \frac{100}{7}\) \(\underset{ID}{\rightarrow} = -\frac{BD}{BA}\underset{IA}{\rightarrow} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{65}{7}-a = -\frac{5}{7}(11-a)\\ 5-b = -\frac{5}{7}(-7-b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=10\\ b=0 \end{matrix}\right.\) Vậy tọa độ I(10,0) Bán kính đường tròn nội tiếp: \(r=d(I,AB)=5\) Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC: \((x-10)^2+y^2=25\) Trên đây là những lý thuyết và bài tập ví dụ tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Hy vọng đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ cho quá trình tìm hiểu của bản thân. Chúc bạn luôn học tập tốt! |