Cực trị hàm số bậc 3 là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán 12 và thi THPT Quốc Gia. Vậy cực trị hàm số bậc 3 là gì? Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3? Lý thuyết và Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!
Cực trị của hàm số là gì?
Cho hàm số \[ y= f[x] \] liên tục và xác định trên khoảng \[ [a;b] \] và điểm \[ x_0 \in [a;b] \]
- Hàm số \[ f[x] \] đạt cực đại tại \[ x_0 \] nếu tồn tại số \[ h>0 \] sao cho \[ f[x] < f[x_0] \] với mọi \[ x \in [x_0-h;x_0+h] \] và \[x \neq x_0\]
- Hàm số \[ f[x] \] đạt cực tiểu tại \[ x_0 \] nếu tồn tại số \[ h>0 \] sao cho \[ f[x] > f[x_0] \] với mọi \[ x \in [x_0-h;x_0+h] \] và \[x \neq x_0\]
Định lý:
Cho hàm số \[ y=f[x] \] liên tục, xác định và có đạo hàm cấp 2 trên khoảng \[ [a;b] \]. Khi đó
- Nếu \[\left\{\begin{matrix} f'[x_0]=0\\ f”[x_0]>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow\] \[ x_0 \] là điểm cực tiểu của hàm số \[ f \]
- Nếu \[\left\{\begin{matrix} f'[x_0]=0\\ f”[x_0]>> Cực trị của hàm số là gì? Cực trị của một số hàm số
Cực trị của hàm số bậc 3 là gì?
Cho hàm số bậc 3 \[ y=f[x] = ax^3+bx^2+cx+d \]
Đạo hàm \[ y’=f’[x] = 3ax^2+2bx+c \]
- Hàm số \[ f[x] \] có cực trị \[\Leftrightarrow f[x] \] có cực đại và cực tiểu
\[\Leftrightarrow f'[x]=0\] có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\]
- Hàm số \[ f[x] \] không có cực trị \[ \Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac \leq 0\]
Bài tập về cực trị hàm đa thức bậc 3
Dạng 1: Tìm điểm cực trị hàm số bậc 3
Đây là dạng bài cơ bản nhất, chỉ cần sử dụng Định lý ở mục trên là có thể tìm được cực đại, cực tiểu của hàm số.
Ví dụ:
Tìm cực trị của hàm số : \[ f[x] =x^3-3x^2-2 \]
Cách giải:
Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]
Ta có :
\[ f’[x] = 3x^2-6x =3x[x-2] \]
Vậy \[f'[x]=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array}\right.\]
Mặt khác :
\[ f’’[x] =6x-6 \]
\[ \Rightarrow f’’[0] =-60 \Rightarrow \] hàm số đạt cực đại tại điểm \[ [2;-6] \]
Dạng 2: Tìm \[ m \] để hàm số bậc 3 có 2 cực trị
Bài toán: Tìm \[ m \] để hàm số \[ y=f[x;m] =ax^3+bx^2+cx+d \] có \[ 2 \] điểm cực trị với \[ a,b,c,d \] là các hệ chứa \[ m \]
Cách làm:
- Bước 1: Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]. Tính đạo hàm \[ y’ = 3ax^2+2bx+c \]
- Bước 2: Hàm số có \[ 2 \] cực trị \[\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\]
- Bước 3: Giải bất phương trình trên, tìm ra điều kiện của \[ m \]
Ví dụ:
Tìm \[ m \] đề hàm số \[ f[x] = y=2x^{3}+3[m-1]x^{2}+6[m-2]x – 1 \] có hai điểm cực trị
Cách giải:
Xét \[ y=2x^{3}+3[m-1]x^{2}+6[m-2]x – 1 \] có tập xác định \[ D=\mathbb {R} \]
Ta có :
\[ y’=6x^2+6[m-1]x+6[m-2] \]
Để hàm số có hai cực trị thì \[ y’=0 \] có hai nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow x^2+[m-1]x+[m-2]=0\] có hai nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow \Delta = [m-1]^2-4[m-2]>0\]
\[\Leftrightarrow m^2-6m+9=[m-3]^2>0\]
\[\Leftrightarrow m \neq 3\]
Dạng 3: Tìm \[ m \] để hai cực trị thỏa mãn điều kiện
Bài toán: Tìm \[ m \] để hàm số \[ y=f[x;m] =ax^3+bx^2+cx+d \] có \[ 2 \] điểm cực trị \[ x_1;x_2 \] thỏa mãn điều kiện \[ K \] với \[ a,b,c,d \] là các hệ chứa \[ m \]
Cách làm:
- Bước 1: Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]. Tính đạo hàm \[ y’ = 3ax^2+2bx+c \]
- Bước 2: Hàm số có \[ 2 \] cực trị \[\Leftrightarrow \Delta ‘ =b^2-3ac >0\]. Giải bất phương trình này tìm được \[ m \in D_1 \]
- Bước 3: Gọi \[ x_1;x_2 \] là hai nghiệm của phương trình \[ y’=0 \]. Theo Vi-ét ta có :
\[\left\{\begin{matrix} S=x_1+x_2=\frac{-b}{3a}\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{3a} \end{matrix}\right.\]
- Bước 4: Biến đổi điều kiện yêu cầu của đề bài về dạng \[ S \] và \[ P \]. Từ đó giải ra tìm được \[ m \in D_2 \]
- Bước 5: Kết luận các giá trị của \[ m \] thỏa mãn \[m=D_1\cap D_2\]
Ví dụ:
Cho hàm số \[ y= 4x^3+mx^2-3x \]. Tìm \[ m \] để hàm số đã cho có hai điểm cực trị \[ x_1; x_2 \] thỏa mãn \[ x_1=-4x_2 \]
Cách giải:
Tập xác định \[D=\mathbb{R}\]
Đạo hàm : \[ y’=12x^2+2mx-3 \]
Để hàm số có hai cực trị thì phương trình \[ y’=0 \] có hai nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow \Delta’=m^2+36 >0\]
Điều này luôn đúng với mọi \[m \in \mathbb{R}\]
Vậy \[ y \] luôn có hai điểm cực trị có hoành độ \[ x_1;x_2 \] thỏa mãn
\[\left\{\begin{matrix} x_1+x_2 = \frac{-m}{6}\\ x_1x_2=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.\] [ theo Vi-ét]
Vì \[ x_1=-4x_2 \] nên thay vào hệ trên ta có :
\[\left\{\begin{matrix} -3x_2 = \frac{-m}{6}\\ -4x_2^2=\frac{-1}{4} \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=18x_2\\ x_2^2=\frac{1}{16} \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{1}{4}\\ m=\frac{9}{2} \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{-1}{4}\\ m=-\frac{9}{2} \end{matrix}\right. \end{array}\right.\]
Vậy \[m=\frac{9}{2}\] hoặc \[m=-\frac{9}{2}\]
Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3
Đây là một số công thức giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách nhanh chóng mà không cần phải tính toán phức tạp.
Cho hàm số \[ y= ax^3+bx^2+cx+d \] có hai điểm cực trị phân biệt là \[ A,B \] . Khi đó:
- Phương trình đường thẳng \[ AB \] :
\[\frac{2}{3}[c-\frac{b^2}{3a}]x+[d-\frac{bc}{9a}]\]
Xem chi tiết >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị hàm số bậc 3
- Độ dài đoạn thẳng \[ AB \] :
\[AB=\sqrt{\frac{4e[4e^2+1]}{a}}\] với \[e=\frac{b^2-3ac}{9a}\]
Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chuyên đề cực trị hàm số bậc 3 cũng như các phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề cực trị hàm số bậc 3. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập
Please follow and like us:
Bài toán tổng quát:
Cho hàm số $y=f\left[ x;m \right]=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $K$ cho trước?
Phương pháp:
- Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
- Đạo hàm: ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c=A{{x}^{2}}+Bx+C$
Hàm số có cực trị [hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu]
$\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt và${y}'$đổi dấu qua 2 nghiệm đó
$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 3a \ne 0\\ {\Delta _{y'}} = {B^2} - 4AC = 4{b^2} - 12ac > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ {b^2} - 3ac > 0
\end{array} \right. \Rightarrow m \in {D_1}.$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${y}'=0.$
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} = - \frac{{2b}}{{3a}}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} = \frac{c}{{3a}}
\end{array} \right..$
Biến đổi điều kiện $K$ về dạng tổng $S$ và tích $P$. Từ đó giải ra tìm được $m\in {{D}_{2}}.$
Kết luận các giá trị m thỏa mãn: $m={{D}_{1}}\cap {{D}_{2}}.$
* Chú ý: Hàm số bậc ba:$\text{ }y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left[ a\ne 0 \right].$
Ta có: $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$
Điều kiện
Kết luận
${{b}^{2}}-3ac\le 0$
Hàm số không có cực trị.
${{b}^{2}}-3ac>0$
Hàm số có hai điểm cực trị.
- Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
- Hàm số có 2 cực trị trái dấu
$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu
$\Leftrightarrow A.C=3ac 0\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$
- Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương
$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm dương phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{y'}} > 0\\ S = {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} > 0\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$
- Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm
$\Leftrightarrow $ phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm âm phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{y'}} > 0\\ S = {x_1} + {x_2} = - \frac{B}{A} < 0\\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{C}{A} > 0
\end{array} \right.$
- Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn:
$\left\langle \begin{array}{l} {x_1} < \alpha < {x_2}\\ {x_1} < {x_2} < \alpha \\ \alpha < {x_1} < {x_2}
\end{array} \right.$
- Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}