Đề bài
Phần I. Trắc nghiệm [6 điểm]
Câu 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau:\[\dfrac{{1 - x}}{{{x^2} + 1}} > \dfrac{1}{{x + 1}}\].
A.\[\forall x \in \mathbb{R}\] B.\[x \ne \pm 1\]
C.\[x \ne 1\] D.\[x \ne - 1\]
Câu 2. Bảng xét dấu sau là của nhị thức nào trong các nhị thức đã cho?
A.\[f[x] = 3x + 6\]
B.\[f[x] = 4 - 2x\]
C.\[f[x] = - 2x - 4\]
D.\[f[x] = 6 - 3x\]
Câu 3. Cho tam thức bậc hai \[f[x] = a{x^2} + bx + c,a \ne 0,\]\[\Delta = {b^2} - 4ac\]. Mệnh đề nào sau đâyđúng?
A. Tam thức luôn cùng dấu với \[a\] khi \[\Delta = 0\].
B. Tam thức luôn cùng dấu với \[a\]khi \[\Delta < 0\].
C. Tam thức luôn cùng dấu với \[a\]khi \[\Delta \le 0\].
D. Tam thức luôn cùng dấu với \[a\] khi \[\Delta > 0\].
Câu 4.Trên đường tròn lượng giác điểm M biểu diễn cung \[\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z\]. M ở góc phần tư nào ?
A.I.B. II.
C. III.D.IV.
Câu 5.Trong các công thức sau công thức nàosai?
A.\[\sin [a - b] = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\]
B.\[\sin [a + b] = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\]
C.\[\cos [a + b] = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\]
C.\[\cos [a - b] = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\]
Câu 6.Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \[2x - y + 3 = 0\]?
A.\[\overrightarrow u [ - 2;1]\]. B.\[\overrightarrow n [2;1]\]
C.\[\overrightarrow a [1; - 2]\] D.\[\overrightarrow b [ - 1;2]\]
Câu 7. Đường thẳng \[\Delta \] có véc tơ chỉ phương \[\overrightarrow u [2; - 3]\]. Mệnh đề nào sau đâyđúng?
A.\[m = \dfrac{{ - 2}}{3}\] là hệ số góc của \[\Delta \]
B. \[\overrightarrow b [3;2]\] là một véc tơ pháp tuyến của\[\Delta \]
C.\[m = \dfrac{3}{2}\] là hệ số góc của \[\Delta \]
D. \[\overrightarrow n [2;3]\] là một véc tơ pháp tuyến của \[\Delta \]
Câu 8. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\end{array} \right.\]
A.\[A[2;3]\] B.\[B[3;1]\]
C.\[C[1; - 2]\] D.\[A[0;3]\]
Câu 9.Tính khoảng cách từ điểm \[A[ - 2;3]\] đến đường thẳng \[4x - 3y - 3 = 0\] ta được kết quả.
A.\[d = 2\] B.\[d = 4\]
C.\[d = - 5\] D.\[d = \dfrac{{20}}{{\sqrt {13} }}\]
Câu 10.Xác định tọa độ tâm I của đường tròn có phương trình:\[{x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 1 = 0\].
A.\[I[ - 2;3]\] B.\[I[4; - 6]\]
C.\[I[2; - 3]\] D.\[I[ - 4;6]\]
Câu 11. Tam thức bậc hai \[f[x] = {x^2} - 3x\] nhận giá trị âm trên khoảng nào?
A.\[[ - \infty ;0]\] B.\[[ - 1;3]\]
C.\[[1;3]\] D.\[[3; + \infty ]\]
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình \[\dfrac{{x - 1}}{{3 - x}} \ge 0\]là.
A.\[[1;3]\] B.\[[1;3]\]
C.\[[1;3]\] D.\[[1;3]\]
Câu 13.Tính\[\sin a\] biết \[\cos a = - \dfrac{1}{3}\]và \[\dfrac{\pi }{2} < a < \pi \]
A.\[\sin a = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\]
B.\[\sin a = - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\]
C.\[\sin a = - \dfrac{{\sqrt {10} }}{3}\]
D.\[\sin a = \dfrac{{\sqrt {10} }}{3}\]
Câu 14.Cho\[\tan a = 2\] tính giá trị \[A = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}} + \dfrac{{\cos a + \sin a}}{{\cos a - \sin a}} - 5\]
A. \[A = 5\] B.\[A = 4\]
C.\[A = - 3\] D.\[A = - 2\]
Câu 15.Biến tổng sau thành tích \[B = \sin a + \cos 2a - \sin 3a\] được kết quả
A.\[\cos 2a[1 - 2\cos a]\]
B.\[\cos 2a[1 + 2\sin a]\]
C.\[ - \cos 2a[2\cos a + 1]\]
D.\[\cos 2a[1 - 2\sin a]\]
Câu 16.Phương trình tổng quát của đường thẳng\[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\] là:
A.\[x + y - 2 = 0\]
B.\[x - y + 2 = 0\]
C.\[x - y - 2 = 0\]
D.\[x + y + 2 = 0\]
Câu 17. Vị trí tương đối của hai đường thẳng \[{\Delta _1}:2x + y + 3 = 0;\]\[{\Delta _2}:x + 2y + 3 = 0\] là:
A.Vuông góc.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
C.Song song.
D.Trùng nhau .
Câu 18. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1}:x - y + 3 = 0;\]\[{\Delta _2}:3x + 4y + 3 = 0\]
A.\[\cos [{\Delta _1},{\Delta _2}] = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{{10}}\]
B.\[\cos [{\Delta _1},{\Delta _2}] = - \dfrac{{\sqrt 5 }}{{10}}\]
C.\[\cos [{\Delta _1},{\Delta _2}] = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{10}}\]
D.\[\cos [{\Delta _1},{\Delta _2}] = \dfrac{{\sqrt 5 }}{{10}}\]
Câu 19.Viết phương trình đường tròn tâm \[I[2; - 1]\] và tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta :4x - 3y - 1 = 0\].
A.\[{[x - 2]^2} + {[y + 1]^2} = 1\]
B.\[{[x + 2]^2} + {[y - 1]^2} = 1\]
C.\[{[x - 2]^2} + {[y + 1]^2} = 2\]
D.\[{[x - 2]^2} + {[y + 1]^2} = 4\]
Câu 20.Cho tam giác \[ABC\] mệnh đề nào sau đâysai?
A.\[\sin [A + B] = - \sin C\]
B.\[\cos [A + B] = - \cos C\]
C.\[\sin \dfrac{{A + B}}{2} = \cos \dfrac{C}{2}\]
D.\[\tan \dfrac{{A + B}}{2} = \cot \dfrac{C}{2}\]
Câu 21.Rút gọn biểu thức \[M = 2{\cos ^2}[\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{a}{2}] + \sqrt 2 \sin [\dfrac{\pi }{4} + a] - 1\]
A.\[M = \sin a\]
B.\[M = - \sin a\]
C.\[M = \cos a\]
D.\[M = - \cos a\]
Câu 22.Đường thẳng nào sau đây đi qua điểm \[M[0;2]\] và vuông góc với đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\].
A.\[\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\]
B.\[\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = t\end{array} \right.\]
C.\[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 - t\end{array} \right.\]
D.\[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\]
Câu 23.Có bao nhiêu số nguyên \[m\] để tam thức \[f[x] = - {x^2} + 2[m + 2]x + 9m - 4\] luôn âm trên \[\mathbb{R}\].
A.0B.13
C.12D. vô số
Câu 24.Tìm trên đường tròn\[{[x - 3]^2} + {[y - 3]^2} = 9\] điểm M sao cho M cách đường thẳng \[y = - 2\]khoảng lớn nhất.
A.\[M[0;3]\] B.\[M[3;6]\]
C.\[M[1;\sqrt 5 + 3]\] D.\[M[4;7]\]
Phần 2. Tự luận [4 điểm]
Bài 1.Giải bất phương trình: \[x + \sqrt {x - 1} > \sqrt {x - 1} - 2\]
Bài 2. Cho \[\sin a = - \dfrac{2}{3}\]. Tính \[9.\cos 2a\]
Bài 3.Cho hai điểm \[A[1;2],B[3;4]\].
a] Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và vuông góc với AB
b] Viết phương trình đường tròn đường kính AB
Bài 4.Tìm \[m\]để phương trình \[m{x^2} + 2[m - 1]x - 4 = 0\] có hai nghiệm phân biệt
Bài 5. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu: \[\cot \dfrac{B}{2} = \dfrac{{a + c}}{b}\]
Lời giải chi tiết
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
PHẦN TRẮC NGHIỆM
1D |
2C |
3B |
4B |
5C |
6A |
7B |
8D |
9B |
10A |
11C |
12B |
13A |
14C |
15D |
16B |
17B |
18C |
19D |
20A |
21A |
22D |
23C |
24B |
Câu 1 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng phân thức \[\dfrac{{A\left[ x \right]}}{{B\left[ x \right]}}\] xác định khi \[B\left[ x \right] \ne 0\]
Cách giải:
Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ne - 1\left[ {ld} \right]\\x \ne - 1\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow x \ne - 1\]
Chọn D
Câu 2 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng qui tắc xét dấu của nhị thức \[f\left[ x \right] = ax + b\] \[\left[ {a \ne 0} \right]\]
+] \[a.f\left[ x \right] > 0\] với \[x > \dfrac{{ - b}}{a}\]
+] \[a.f\left[ x \right] < 0\] với \[x < - \dfrac{b}{a}\]
Cách giải:
Từ bảng xét dấu ta thấy nhị thức \[f\left[ x \right] = ax + b\] có nghiệm \[x = - 2\] và có hệ số \[a < 0\] nên trong các đáp án chỉ có đáp án C với \[f\left[ x \right] = - 2x - 4\] thỏa mãn [vì có hệ số \[a = - 2 < 0\] và \[ - 2x - 4 = 0\] \[ \Leftrightarrow x = - 2\]].
Chọn C
Câu 3 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng qui tắc xét dấu của tam thức bậc hai \[f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c\] \[\left[ {a \ne 0} \right]\]
Nếu \[\Delta < 0\] thì \[a.f\left[ x \right] > 0\]
Cách giải:
Tam thức luôn cùng dấu với \[a\]khi \[\Delta < 0\] là khẳng định đúng.
Chọn B
Câu 4 [NB]:
Phương pháp:
Với \[\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \] thì điểm M biểu diễn cung \[\alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] thuộc góc phần tư thứ hai
Cách giải:
Vì \[\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{5\pi }}{6} < \pi \] nên điểm M biểu diễn cung \[\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z\] thuộc góc phần tư thứ hai.
Chọn B
Câu 5 [NB]:
Phương pháp:
Sử dụng các công thức lượng giác:
\[\begin{array}{l}\sin \left[ {a \pm b} \right] = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\\\cos \left[ {a \pm b} \right] = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\end{array}\]
Cách giải:
Ta có: \[\cos \left[ {a + b} \right] = \cos a\cos b - \sin a\sin b\] nên C sai.
Chọn C
Câu 6 [NB]:
Phương pháp:
Đường thẳng \[ax + by + c = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\]
Cách giải:
Đường thẳng \[2x - y + 3 = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n = \left[ {2; - 1} \right]\]
Suy ra \[\overrightarrow u = \left[ { - 2;1} \right]\] cũng là 1 VTPT của đường thẳng \[2x - y + 3 = 0\].
Chọn A
Câu 7 [TH]:
Phương pháp:
Đường thẳng \[\Delta \] có VTCP là \[\overrightarrow u = \left[ {a;b} \right]\] \[\left[ {a;b \ne 0} \right]\] thì có hệ số góc \[k = \dfrac{b}{a}\] và có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ { - b;a} \right]\]
Cách giải:
Ta có: \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 3} \right]\] là VTCP của \[\Delta \] nên đường thẳng \[\Delta \] có hệ số góc \[k = - \dfrac{3}{2}\] và VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {3;2} \right]\]
Chọn B
Câu 8 [TH]:
Phương pháp:
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng để chọn ra điểm thuộc đường thẳng đó.
Cách giải:
+] Với \[A\left[ {2;3} \right]\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 + t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 1\end{array} \right.\] [vô lý] nên loại A
+] Với \[B\left[ {3;1} \right]\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}3 = 1 + t\\1 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 1\end{array} \right.\] [vô lý] nên loại B
+] Với \[C\left[ {1; - 2} \right]\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + t\\ - 2 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t = 4\end{array} \right.\] [vô lý] nên loại C
+] Với \[A\left[ {0;3} \right]\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 1\end{array} \right.\] [thỏa mãn] nên \[A\left[ {0;3} \right]\] thuộc đường thẳng đã cho
Chọn D
Câu 9 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] đến đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] là:
\[d\left[ {M;\Delta } \right] = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Cách giải:
Gọi đường thẳng \[\Delta :4x - 3y - 3 = 0\]
Khoảng cách cần tìm là: \[d\left[ {A;\Delta } \right] = \dfrac{{\left| {4.\left[ { - 2} \right] - 3.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2}} }} = 4\]
Chọn B
Câu 10 [TH]:
Phương pháp:
Đường tròn \[\left[ C \right]:{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\] có tâm \[I\left[ {a;b} \right]\]
Cách giải:
Tâm \[I\] của đường tròn có phương trình:\[{x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 1 = 0\] là \[I\left[ {\dfrac{4}{{ - 2}};\dfrac{{ - 6}}{{ - 2}}} \right]\] hay \[I\left[ { - 2;3} \right]\]
Chọn A
Câu 11 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai \[f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c\] có hai nghiệm \[{x_1} < {x_2}\]
Nếu \[{x_1} < x < {x_2}\] thì \[a.f\left[ x \right] < 0\]
Nếu \[\left[ \begin{array}{l}x < {x_1}\\x > {x_2}\end{array} \right.\] thì \[a.f\left[ x \right] > 0\]
Cách giải:
Đa thức \[f\left[ x \right] = {x^2} - 3x\] có hai nghiệm \[x = 0;x = 3\]
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có \[f\left[ x \right] < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3\]
Như vậy tam thức đã cho có giá trị âm trên khoảng \[\left[ {0;3} \right]\] nên nó có giá trị âm trên \[\left[ {1;3} \right]\]
Chọn C
Câu 12 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng \[\dfrac{{A\left[ x \right]}}{{B\left[ x \right]}} \ge 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A\left[ x \right] \ge 0\\B\left[ x \right] > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A\left[ x \right] \le 0\\B\left[ x \right] < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Cách giải:
Ta có: \[\dfrac{{x - 1}}{{3 - x}} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x > 3\end{array} \right.\left[ {VN} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow 1 \le x < 3\end{array}\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ {1;3} \right]\]
Chọn B
Câu 13 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
Cách giải:
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left[ { - \dfrac{1}{3}} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{8}{9}\end{array}\]
\[ \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\] [do \[\dfrac{\pi }{2} < a < \pi \]]
Chọn A
Câu 14 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\]
Cách giải:
Vì \[\tan \alpha = 2 \Rightarrow \cos \alpha \ne 0\], ta có:
\[A = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}} + \dfrac{{\cos a + \sin a}}{{\cos a - \sin a}} - 5\]
\[ = 1 + {\tan ^2}\alpha + \dfrac{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} - 5\]
\[ = 1 + {\tan ^2}\alpha + \dfrac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }} - 5\]
\[ = 1 + {2^2} + \dfrac{{1 + 2}}{{1 - 2}} - 5 = - 3\]
Chọn C
Câu 14 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\]
Cách giải:
Ta có:
\[B = \sin a + \cos 2a - \sin 3a\]
\[\begin{array}{l} = \left[ {\sin a - \sin 3a} \right] + \cos 2a\\ = 2\cos \dfrac{{a + 3a}}{2}.\sin \dfrac{{a - 3a}}{2} + \cos 2a\\ = 2\cos 2a.\sin \left[ { - a} \right] + \cos 2a\\ = - 2\cos 2a\sin a + \cos 2a\\ = \cos 2a\left[ {1 - 2\sin a} \right]\end{array}\]
Chọn D
Câu 16 [TH]:
Phương pháp:
Rút \[t\] theo \[x;y\], từ đó suy ra phương trình tổng quát
Cách giải:
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x\\t = y - 2\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow x = y - 2 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\]
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng đã cho là \[x - y + 2 = 0\]
Chọn B
Câu 17 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng: Đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] và đường thẳng \[{\Delta _1}:a'x + b'y + c = 0\] cắt nhau \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\left[ {a';b' \ne 0} \right]\]
Cách giải:
Đường thẳng \[{\Delta _1}\] có VTPT \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {2;1} \right]\]
Đường thẳng \[{\Delta _2}\] có VTPT \[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {1;2} \right]\]
Vì \[\dfrac{2}{1} \ne \dfrac{1}{2}\] nên \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] cắt nhau.
Lại có \[\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \] \[ = 2.1 + 1.2 = 4 \ne 0\] nên \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] không vuông góc.
Chọn B
Câu 18 [TH]:
Phương pháp:
Góc giữa đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] và đường thẳng \[{\Delta _1}:a'x + b'y + c = 0\] là \[\alpha \] thỏa mãn \[\cos \alpha = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {a{'^2}} + b{'^2}}}\]
Cách giải:
Gọi góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1};{\Delta _2}\] là \[\alpha \], ta có:
\[\cos \alpha = \dfrac{{\left| {1.3 + \left[ { - 1} \right].4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\] \[ = \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{10}}\]
Chọn C
Câu 19 [TH]:
Phương pháp:
Đường tròn tâm \[I\left[ {a;b} \right]\] và bán kính \[R\] có phương trình \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} = {R^2}\]
Cách giải:
Bán kính đường tròn là \[R = d\left[ {I;\Delta } \right]\]\[ = \dfrac{{\left| {4.2 - 3.\left[ { - 1} \right] - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2}} }} = 2\]
Phương trình đường tròn tâm \[I\left[ {2; - 1} \right]\] và bán kính \[R = 2\] là: \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} = 4\]
Chọn D
Câu 20 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng: \[\sin \left[ {\pi - \alpha } \right] = \sin \alpha \] , \[\cos \left[ {\pi - \alpha } \right] = - \cos \alpha \]
\[\sin \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right] = \cos \alpha ,\] \[\tan \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right] = \cot \alpha \]
Cách giải:
Ta có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \] [tổng ba góc trong tam giác]
+] \[\sin \left[ {A + B} \right]\] \[ = \sin \left[ {\pi - C} \right] = \sin C\] nên A sai
+] \[\cos \left[ {A + B} \right] = \cos \left[ {\pi - C} \right]\] \[ = - \cos C\] nên B đúng
+] \[\sin \left[ {\dfrac{{A + B}}{2}} \right]\] \[ = \cos \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{A + B}}{2}} \right] = \cos \dfrac{C}{2}\] nên C đúng
+] \[\tan \dfrac{{A + B}}{2}\] \[ = \cot \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{A + B}}{2}} \right] = \cot \dfrac{C}{2}\] nên D đúng
Chọn A
Câu 21 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng \[{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\] và \[\sin \left[ {a + b} \right] = \sin a\cos b + \cos a\sin b\]
Cách giải:
Ta có:
\[M = 2{\cos ^2}[\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{a}{2}] + \sqrt 2 \sin [\dfrac{\pi }{4} + a] - 1\]
\[ = 2.\dfrac{{1 + \cos \left[ {\pi - a} \right]}}{2}\] \[ + \sqrt 2 \left[ {\sin a\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos a\sin \dfrac{\pi }{4}} \right] - 1\]
\[ = 1 + \cos \left[ {\pi - a} \right]\] \[ + \sqrt 2 .\left[ {\sin a.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos a.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] - 1\]
\[ = - \cos a + \sin a + \cos a\] \[ = \sin a\]
Chọn A
Câu 22 [TH]:
Phương pháp:
Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left[ {a;b} \right]\] có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\]
Cách giải:
Gọi đường thẳng cần tìm là \[d\]
Vì \[d \bot \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\end{array} \right.\] nên \[d\] nhận \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ { - 1;1} \right]\] làm VTPT
Suy ra \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {1;1} \right]\] là 1 VTCP của \[d\]
Phương trình đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\end{array} \right.\]
Chọn D
Câu 23 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng: Tam thức \[f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c < 0\] với \[\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
Ta có: \[f[x] = - {x^2} + 2[m + 2]x + 9m - 4 < 0\] \[\forall x \in \mathbb{R}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\left[ {ld} \right]\\{\left[ {m + 2} \right]^2} + 9m - 4 < 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow {m^2} + 13m < 0\] \[ \Leftrightarrow - 13 < m < 0\]
Mà \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11;...; - 1} \right\}\] nên có 12 giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Chọn C
Câu 24 [VD]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] đến đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] là:
\[d\left[ {M;\Delta } \right] = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Và vẽ hình, lập luận giá trị lớn nhất của khoảng cách.
Cách giải:
Đường tròn \[\left[ C \right]:{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} = 9\] có tâm \[I\left[ {3;3} \right]\] và bán kính \[R = 3.\]
Đường thẳng \[\Delta :y = - 2 \Leftrightarrow y + 2 = 0\]
Xét \[d\left[ {I;\Delta } \right] = \dfrac{{\left| {3 + 2} \right|}}{{\sqrt 1 }} = 5 > 3\] nên đường thẳng \[\Delta \] không cắt đường tròn \[\left[ C \right]\]
Khi đó khoảng cách lớn nhất từ \[M \in \left[ C \right]\] đến đường thẳng \[\Delta \] là \[MH\] với \[M\] là giao điểm của đường thẳng \[d\] đi qua \[I\] và vuông góc với \[\Delta \] với đường tròn \[\left[ C \right]\] .
Đường thẳng \[d \bot \Delta \] nên có VTCP \[\overrightarrow u = \left[ {0;1} \right]\], suy ra \[\overrightarrow n = \left[ {1;0} \right]\] là 1 VTPT của \[d\]
Phương trình đường thẳng \[d\]: \[x - 3 = 0\] \[ \Leftrightarrow x = 3\]
Tọa độ giao điểm của d và \[\left[ C \right]\] thỏa mãn hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} = 9\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\{\left[ {y - 3} \right]^2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]
Suy ra \[{M_1}\left[ {3;0} \right],{M_2}\left[ {3;6} \right]\]
Ta có \[d\left[ {{M_1};\Delta } \right] = \dfrac{{\left| 2 \right|}}{1} = 2\] và \[d\left[ {{M_2};\Delta } \right] = \dfrac{{\left| {6 + 2} \right|}}{1} = 8\]
Nên khoảng cách lớn nhất là \[8 \Leftrightarrow M \equiv {M_2}\left[ {3;6} \right]\]
Chọn B
PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1 [TH]:
Phương pháp:
Tìm điều kiện xác định rồi chuyển vế đổi dấu để giải bất phương trình
Cách giải:
Giải bất phương trình:\[x + \sqrt {x - 1} > \sqrt {x - 1} - 2\]
Điều kiện: \[x \ge 1\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}x + \sqrt {x - 1} > \sqrt {x - 1} - 2\\ \Leftrightarrow x > - 2\end{array}\]
Kết hợp điều kiện ta có \[x \ge 1\]
Bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ {1; + \infty } \right]\]
Bài 2 [TH]:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\]
Cách giải:
Cho\[\sin a = - \dfrac{2}{3}\]. Tính\[9.\cos 2a\]
Ta có: \[9.\cos 2a = 9.\left[ {1 - 2{{\sin }^2}a} \right]\] \[ = 9 - 18{\sin ^2}a\] \[ = 9 - 18.{\left[ { - \dfrac{2}{3}} \right]^2}\] \[ = 1\]
Bài 3 [VD]:
Phương pháp:
a] Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] và có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {a;b} \right]\] có phương trình \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] = 0\]
b] Đường tròn tâm \[I\left[ {a;b} \right]\] và bán kính \[R\] có phương trình \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} = {R^2}\]
Cách giải:
Cho hai điểm\[A[1;2],B[3;4]\].
a] Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và vuông góc với AB
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left[ {2;2} \right]\]
Đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB nên nhận \[\overrightarrow {AB} = \left[ {2;2} \right]\] làm VTPT
Phương trình đường thẳng cần tìm là: \[2\left[ {x - 1} \right] + 2\left[ {y - 2} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 2x - 2y - 6 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\]
b] Viết phương trình đường tròn đường kính AB
Ta có: \[AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \] và trung điểm của \[AB\] là \[I\left[ {\dfrac{{1 + 3}}{2};\dfrac{{2 + 4}}{2}} \right]\] hay \[I\left[ {2;3} \right]\]
Đường tròn có đường kính \[AB\] nên có bán kính \[R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 2 \] và có tâm là trung điểm \[I\left[ {2;3} \right]\] của đoạn \[AB.\]
Phương trình đường tròn là: \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} = 2\]
Bài 4 [VD]:
Phương pháp:
Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
Tìm\[m\]để phương trình\[m{x^2} + 2[m - 1]x - 4 = 0\]có hai nghiệm phân biệt
Phương trình \[m{x^2} + 2[m - 1]x - 4 = 0\] có hai nghiệm phân biệt khi:
\[\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {\left[ {m - 1} \right]^2} + 4m > 0\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} - 2m + 1 + 4m > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{m^2} + 2m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left[ {m + 1} \right]^2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 1\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy với \[m \ne 0\] và \[m \ne - 1\] thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Bài 5 [VDC]:
Phương pháp:
Sử dụng định lý hàm số sin cho tam giác \[ABC\] : \[\dfrac{{AB}}{{\sin C}} = \dfrac{{AC}}{{\sin B}} = \dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\]
Cách giải:
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu:\[\cot \dfrac{B}{2} = \dfrac{{a + c}}{b}\]
Áp dụng định lý hàm số sin ta có:\[\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}\]\[ = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\] với \[R\] là bán kính đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2R\sin A\\b = 2R\sin B\\c = 2R\sin C\end{array} \right.\]
Khi đó: \[\cot \dfrac{B}{2} = \dfrac{{a + c}}{b}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{2R\sin A + 2R\sin C}}{{2R\sin B}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \dfrac{{\sin A + \sin C}}{{\sin B}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin B.\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}} = \sin A + \sin C\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sin \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2}}}{{\sin \dfrac{B}{2}}}\] \[ = \sin A + \sin C\]
\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\dfrac{B}{2} = 2\sin \dfrac{{A + C}}{2}\cos \dfrac{{A - C}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\dfrac{B}{2} = \cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{{A - C}}{2}\] [vì \[\dfrac{{A + C}}{2} + \dfrac{B}{2} = \dfrac{\pi }{2}\] nên \[\sin \dfrac{{A + C}}{2} = \cos \dfrac{B}{2}\]]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \dfrac{B}{2} = \cos \dfrac{{A - C}}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{B}{2} = \dfrac{{A - C}}{2}\\ \Leftrightarrow B = A - C\\ \Leftrightarrow B + C = A\end{array}\]
Mà \[A + B + C = {180^0}\] [tổng ba góc trong tam giác]
Nên \[\widehat A = {90^0}\] hay \[\Delta ABC\] vuông tại A.