Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 trường thcs & thpt nguyễn tất thành

Câu 1. Hàm số \[y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 3\] nghịch biến trên những khoảng nào?

A. \[\left[ {2; + \infty } \right].\]

B. \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và \[\left[ {2; + \infty } \right].\]

C. \[\left[ { - \infty ;1} \right].\]

D. \[\left[ {1;2} \right].\]

Câu 2. Cho số phức \[z = 2 - 5i.\] Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp \[\bar z\] là

A. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng \[5.\]

B. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng \[ - 5i.\]

C. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng \[5i.\]

D. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng \[ - 5.\]

Câu 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ \[Oxyz,\] khoảng cách từ điểm \[M[1;2; - 3]\] đến mặt phẳng \[[P]:x + 2y - 2z - 2 = 0\] là

A. \[d\left[ {M,[P]} \right] = 1.\]

B. \[d\left[ {M,[P]} \right] = \frac{1}{3}.\]

C. \[d\left[ {M,[P]} \right] = 3.\]

D. \[d\left[ {M,[P]} \right] = \frac{{11}}{3}.\]

Câu 4. Cho hàm số \[y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\] có đồ thị \[\left[ C \right].\] Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \[\left[ C \right]\] có tiệm cận ngang là \[y = - 1.\]

B. \[\left[ C \right]\] có tiệm cận ngang là \[y = - 2.\]

C. \[\left[ C \right]\] có hai tiệm cận

D. \[\left[ C \right]\] có tiệm cận đứng.

Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]:\[\,2x - y + 3z - 1 = 0.\] Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]

A. \[\vec n = \left[ {2;1;3} \right].\]

B. \[\vec n = \left[ { - 4;2; - 6} \right].\]

C. \[\vec n = \left[ {2;1; - 3} \right].\]

D. \[\vec n = \left[ { - 2;1;3} \right].\]

Câu 6. Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\], mặt bên \[\left[ {SAB} \right]\] là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp \[S.ABCD\] là:

A. \[{V_{S.ABCD}} = {a^3}\sqrt 3 .\]

B. \[{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.\]

C. \[{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\]

D. \[{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\].

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm \[M\left[ { - 3;2} \right]\] là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A. \[z = 3 + 2i.\]

B. \[z = - 3 + 2i.\]

C. \[z = - 3 - 2i.\]

D. \[z = 3 - 2i.\]

Câu 8. Đạo hàm của hàm số \[y = {2^{\sin x}}\] là:

A. \[y' = - \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.\]

B. \[y' = \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.\]

C. \[y' = {2^{\sin x}}.\ln 2.\]

D. \[y' = \frac{{\cos x{{.2}^{\sin x}}}}{{\ln 2}}.\]

Câu 9. Cho khối nón đỉnh \[S\] só độ dài đường sinh là \[a,\] góc giữa đường sinh và mặt đáy là \[60^\circ .\] Thể tích khối nón là

A. \[V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\]

B. \[V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{8}.\]

C. \[V = \frac{{\pi {a^3}}}{8}.\]

D. \[V = \frac{{3\pi {a^3}}}{8}.\]

Câu 10. Số nghiệm của phương trình \[{2^{{x^2} - 2x + 1}} = 1\] là:

A. \[0\]. B. 1.

C. 4. D. 2.

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho hai mặt phẳng \[\left[ P \right]:x - 2y - z + 2 = 0,\] \[\left[ Q \right]:2x - y + z + 1 = 0.\] Góc giữa \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\] là

A. \[60^\circ .\] B. \[90^\circ .\]

C. \[30^\circ .\] D. \[120^\circ .\]

Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _2}x < 0\] là

A. \[\left[ {0; + \infty } \right].\] B. \[\left[ {0;1} \right].\]

C. \[\left[ { - \infty ;1} \right].\] D. \[\left[ {1; + \infty } \right].\]

Câu 13.Cho hàm số \[F\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right]\] xác định trên khoảng \[K.\] Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. \[\int {f\left[ x \right]{\rm{d}}x} = F\left[ x \right] + C.\]

B. \[{\left[ {\int {f\left[ x \right]{\rm{d}}x} } \right]^\prime } = f\left[ x \right].\]

C. \[{\left[ {\int {f\left[ x \right]{\rm{d}}x} } \right]^\prime } = F'\left[ x \right].\]

D. \[{\left[ {x\int {f\left[ x \right]{\rm{d}}x} } \right]^\prime } = f'\left[ x \right].\]

Câu 14. Trên \[\mathbb{C}\] phương trình \[\frac{2}{{z - 1}} = 1 + i\] có nghiệm là:

A. \[z = 2 - i.\] B. \[z = 1 - 2i.\]

C. \[z = 1 + 2i.\] D. \[z = 2 + i.\]

Câu 15. Nguyên hàm \[\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - x} }}} \] bằng

A. \[\sqrt {1 - x} + C.\]

B. \[\frac{C}{{\sqrt {1 - x} }}\].

C. \[ - 2\sqrt {1 - x} + C.\]

D. \[\frac{2}{{\sqrt {1 - x} }} + C.\]

Câu 16. Phương trình đường thẳng \[\Delta \] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]:\,\,\,x + 2y + z - 1 = 0\] và \[\left[ \beta \right]:\,\,\,x - y - z + 2 = 0\] là:

A.\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.\]

B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2t\\z = - 1 - 3t.\end{array} \right.\]

C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.\]

D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3t\\y = 1 + 2t\\z = t.\end{array} \right.\]

Câu 17. Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và trên \[\left[ {0;\,1} \right]\] ta có \[f\left[ 1 \right] - f\left[ 0 \right] = 2.\] Tích phân \[I = \int\limits_0^1 {f'\left[ x \right]{\rm{d}}x} \] bằng

A. \[I = 0.\] B. \[I = 2.\]

C. \[I = - 1.\] D. \[I = 1.\]

Câu 18. Cho lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \[B,\] \[AB = a\sqrt 5 .\] Góc giữa đường thẳng \[A'B\] và mặt đáy là \[60^\circ .\] Thể tích lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] là:

A. \[15{a^3}\sqrt 5 .\] B. \[5{a^3}\sqrt 3 .\]

C. \[\frac{{5{a^3}\sqrt {15} }}{2}.\] D. \[15{a^3}\sqrt 3 .\]

Câu 19. Trong không gian tọa độ \[Oxyz,\] đường thẳng đi qua điểm \[A\left[ {3; - 2;4} \right]\] và có véctơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 1;6} \right]\] có phương trình

A. \[\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}\].

B. \[\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{6}\].

C. \[\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}\].

D. \[\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 6}}{4}\].

Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[I\left[ {2;3; - 6} \right]\] và bán kính \[R = 4\] có phương trình là

A. \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z + 6} \right]^2} = 4.\]

B. \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z + 6} \right]^2} = 16.\]

C. \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {z - 6} \right]^2} = 16.\]

D. \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {z - 6} \right]^2} = 4.\]

Câu 21. Nếu \[\int\limits_0^m {\left[ {2x - 1} \right]{\rm{d}}x} = 2\] thì \[m\] có giá trị là

A. \[\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2.\end{array} \right.\]

B. \[\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2.\end{array} \right.\]

C. \[\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2.\end{array} \right.\]

D. \[\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2.\end{array} \right.\]

Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho vật thể \[\left[ H \right]\] giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình \[x = a\] và \[x = b\]\[\left[ {a < b} \right]\]. Gọi \[S\left[ x \right]\] là diện tích thiết diện của \[\left[ H \right]\] bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\]tại điểm có hoành độ là \[x,\] với \[a \le x \le b\]. Giả sử hàm số \[y = S\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right].\] Khi đó, thể tích \[V\] của vật thể \[\left[ H \right]\] được cho bởi công thức:

A. \[V = \int\limits_a^b {S\left[ x \right]{\rm{d}}x} .\]

B. \[V = \pi \int\limits_a^b {S\left[ x \right]{\rm{d}}x} .\]

C. \[V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {S\left[ x \right]} \right]}^2}{\rm{d}}x} .\]

D. \[V = \int\limits_a^b {{{\left[ {S\left[ x \right]} \right]}^2}{\rm{d}}x} .\]

Câu 23. Một vật chuyển động với vận tốc \[v\left[ t \right]\left[ {m/s} \right]\] và có gia tốc \[a\left[ t \right] = \frac{3}{{t + 1}}\left[ {m/{s^2}} \right].\] Vận tốc ban đầu của vật là \[6\left[ {m/s} \right].\] Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu?

A. \[3\ln 11 - 6.\]

B. \[3\ln 6 + 6.\]

C. \[2\ln 11 + 6.\]

D. \[3\ln 11 + 6.\]

Câu 24. Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Khẳng nào sau đây đúng?

A. Nếu hàm số có giá trị cực đại là \[f\left[ {{x_0}} \right]\] với \[{x_0} \in \mathbb{R}\] thì \[f\left[ {{x_0}} \right] = \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left[ x \right].\]

B. Nếu hàm số có giá trị cực tiểu là \[f\left[ {{x_0}} \right]\] với \[{x_0} \in \mathbb{R}\] thì tồn tại \[{x_1} \in \mathbb{R}\] sao cho \[f\left[ {{x_0}} \right] < f\left[ {{x_1}} \right].\]

C. Nếu hàm số có giá trị cực đại là \[f\left[ {{x_0}} \right]\] với \[{x_0} \in \mathbb{R}\] thì \[f\left[ {{x_0}} \right] = \mathop {{\rm{Min}}}\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left[ x \right].\]

D. Nếu hàm số có giá trị cực tiểu là \[f\left[ {{x_0}} \right]\] với \[{x_0} \in \mathbb{R}\] và có giá trị cực đại là \[f\left[ {{x_1}} \right]\] với \[{x_1} \in \mathbb{R}\] thì \[f\left[ {{x_0}} \right] < f\left[ {{x_1}} \right].\]

Câu 25. Môđun của số phức \[z = \left[ {2 - 3i} \right]{\left[ {1 + i} \right]^4}\] là

A. \[\left| z \right| = 4\sqrt {13} .\]

B. \[\left| z \right| = \sqrt {31} .\]

C. \[\left| z \right| = 208.\]

D. \[\left| z \right| = \sqrt {13} .\]

Câu 26. Nguyên hàm \[F\left[ x \right]\] của hàm số \[f\left[ x \right] = {{\rm{e}}^{2x}}\] và thỏa mãn \[F\left[ 0 \right] = 1\] là

A. \[F\left[ x \right] = {{\rm{e}}^{2x}}.\]

B. \[F\left[ x \right] = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}\].

C. \[F\left[ x \right] = 2{{\rm{e}}^{2x}} - 1.\]

D. \[F\left[ x \right] = {{\rm{e}}^x}.\]

Câu 27. Cho hàm số \[y = \left[ {x - 2} \right]\left[ {{x^2} + 1} \right]\] có đồ thị \[\left[ C \right].\] Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \[\left[ C \right]\] cắt trục hoành tại một điểm.

B. \[\left[ C \right]\] cắt trục hoành tại ba điểm.

C. \[\left[ C \right]\] không cắt trục hoành.

D. \[\left[ C \right]\] cắt trục hoành tại hai điểm.

Câu 28. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\] là

A. Đường tròn có phương trình \[{x^2} + {y^2} = 4.\]

B. Đường thẳng có phương trình \[x + 2y + 1 = 0.\]

C. Đường thẳng có phương trình \[x - 2y - 3 = 0.\]

D. Đường elip có phương trình \[{x^2} + 4{y^2} = 4.\]

Câu 29. Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác \[ABC\] vuông tại \[C,\] \[AB = a\sqrt 5 ,\]\[AC = a.\] Cạnh bên \[SA = 3a\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\]. Thể tích khối chóp \[S.ABC\] là:

A. \[{a^3}.\] B. \[3{a^3}.\]

C. \[2{a^3}.\] D. \[\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}.\]

Câu 30. Cho hàm số \[y = - {x^3} + 3x - 2\] có đồ thị \[\left[ C \right].\] Phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại giao điểm của \[\left[ C \right]\] với trục tung là

A. \[y = - 3x - 2.\]

B. \[y = 2x + 1.\]

C. \[y = - 2x + 1.\]

D. \[y = 3x - 2.\]

Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho hai điểm \[A\left[ {1; 2; 2} \right]\] và \[B\left[ {3; 0; 2} \right].\] Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] có phương trình là:

A. \[x - y - z + 1 = 0.\]

B. \[x - y - 1 = 0.\]

C. \[x + y - z - 1 = 0.\]

D. \[x + y - 3 = 0.\]

Câu 32. Cho khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AB = a,\]\[AD = b,\]\[\,AA' = c\]. Thể tích của khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]bằng bao nhiêu?

A. \[abc.\] B. \[\frac{1}{2}abc.\]

C. \[\frac{1}{3}abc.\] D. \[3abc.\]

Câu 33. Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh bằng \[2a\sqrt 3 .\] Biết \[\widehat {BAD} = 120^\circ \] và hai mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right]\] và \[\left[ {SAD} \right]\] cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng \[\left[ {SBC} \right]\] và \[\left[ {ABCD} \right]\] bằng \[45^\circ .\] Khoảng cách \[h\] từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left[ {SBC} \right]\] là

A. \[h = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\]

B. \[h = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.\]

C. \[h = 2a\sqrt 2 .\]

D. \[h = a\sqrt 3 .\]

Câu 34. Giả sử ta có hệ thức \[{a^2} + 4{b^2} = 5ab{\rm{ }}\left[ {a,b > 0} \right].\] Hệ thức nào sau đây đúng?

A. \[2{\log _3}\left[ {a + 2b} \right] = {\log _3}a + {\log _3}b.\]

B. \[2{\log _3}\frac{{a + 2b}}{2} = {\log _3}a + 2{\log _3}b.\]

C. \[{\log _3}\frac{{a + 2b}}{3} = 2\left[ {{{\log }_3}a + {{\log }_3}b} \right].\]

D. \[2{\log _3}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _3}a + {\log _3}b.\]

Câu 35. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=4 và AD=3. Thể tích của khối trụ được tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB bằng

A.\[36\pi .\] B. \[12\pi .\]

C. \[24\pi .\] D. \[48\pi .\]

Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho điểm \[A\left[ {1;2;3} \right].\] Tọa độ điểm \[{A_1}\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên mặt phẳng \[\left[ {Oyz} \right]\] là

A. \[{A_1}\left[ {1;2;0} \right].\]

B. \[{A_1}\left[ {1;0;3} \right].\]

C. \[{A_1}\left[ {0;2;3} \right].\]

D. \[{A_1}\left[ {1;0;0} \right].\]

Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho hai điểm \[A\left[ {1; - 2;0} \right]\] và \[B\left[ {4;1;1} \right].\] Độ dài đường cao \[OH\] của tam giác \[OAB\] là

A. \[\sqrt {\frac{{86}}{{19}}} .\] B. \[\sqrt {\frac{{19}}{{86}}} .\]

C. \[\frac{1}{{\sqrt {19} }}.\] D. \[\frac{1}{2}\sqrt {\frac{{86}}{{19}}} .\]

Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] véctơ nào dưới đây vuông góc với cả hai véctơ \[\vec u = \left[ { - 1;0;2} \right],\] \[\vec v = \left[ {4;0; - 1} \right]\]?

A. \[\vec w = \left[ {1;7;1} \right].\]

B. \[\vec w = \left[ { - 1;7; - 1} \right].\]

C. \[\vec w = \left[ {0;7;1} \right].\]

D. \[\vec w = \left[ {0; - 1;0} \right].\]

Câu 39. Cho \[f\left[ x \right]\] là một hàm số có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và thỏa mãn \[f\left[ 1 \right] = 1\] và \[\int\limits_0^1 {f\left[ t \right]{\rm{dt}}} = \frac{1}{3}.\] Giá trị của tích phân \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left[ {\sin x} \right]{\rm{d}}x} \] bằng:

A. \[I = \frac{4}{3}\]. B. \[I = \frac{2}{3}\].

C. \[I = \frac{1}{3}\]. D. \[I = - \frac{2}{3}\].

Câu 40. Trong không gian với hệ trục toạ độ \[Oxyz,\] mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] cắt mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[I\left[ {1;\, - 3;\,3} \right]\] theo giao tuyến là đường tròn tâm \[H\left[ {2;\,0;\,1} \right],\] bán kính \[r = 2.\] Phương trình của mặt cầu \[\left[ S \right]\] là

A. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z + 3} \right]^2} = 4.\]

B. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 18.\]

C. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 4.\]

D. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z + 3} \right]^2} = 18.\]

Câu 41. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. \[y = {x^3} - 3x + 2.\]

B. \[y = - {x^4} + 2{x^2} - 1.\]

C. \[y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\]

D. \[y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\]

Câu 42. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho hai mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,\,3x - my - z + 7 = 0\] và \[\left[ Q \right]:\,\,\,6x + 5y - 2z - 4 = 0\]. Hai mặt phẳng \[\left[ P \right]\]và \[\left[ Q \right]\] song song với nhau khi \[m\] bằng

A. \[m = \frac{{ - 5}}{2}.\]

B. \[m = \frac{5}{2}.\]

C. \[m = - 30.\]

D. \[m = 4.\]

Câu 43. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường \[y = 4 - \left| x \right|\] và trục hoành là

A. \[0\]. B.\[16\].

C. \[8\]. D. \[4\].

Câu 44. Phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]:2x - 3y + z - 2 = 0\] và chứa đường thẳng \[d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\] là:

A. \[3x + y - z + 3 = 0.\]

B. \[x + y + z - 1 = 0.\]

C. \[x - y + z - 3 = 0.\]

D. \[2x + y - z + 3 = 0.\]

Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] đường thẳng đi qua điểm \[A\left[ { - 2;4;3} \right]\] và vuông góc với mặt phẳng \[2x - 3y + 6z + 19 = 0\] có phương trình là

A. \[\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z + 6}}{3}\]

B. \[\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}\].

C. \[\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 6}}{3}\].

D. \[\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{6}\].

Câu 46. Nếu \[\int\limits_2^3 {\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}{\rm{d}}x = a\ln 5 + b\ln 3 + 3\ln 2} \]\[\left[ {a,b \in \mathbb{Q}} \right]\] thì giá trị của \[P = 2a - b\] là

A. \[P = 7.\]

B. \[P = - \frac{{15}}{2}.\]

C. \[P = \frac{{15}}{2}.\]

D. \[P = 1.\]

Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho điểm \[M\left[ {0;\;2;\;0} \right]\] và đường thẳng \[d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z = - 1 + t.\end{array} \right.\] Đường thẳng đi qua \[M\] cắt và vuông góc với \[d\]có phương trình là

A. \[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{2}.\]

B. \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 2}}.\]

C. \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{2}\]

D. \[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{2}.\]

Câu 48. Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và thỏa mãn \[f\left[ x \right] > 0,\] \[\forall x \in \mathbb{R}.\] Cho biết \[f\left[ 0 \right] = 1\] và \[\frac{{f'\left[ x \right]}}{{f\left[ x \right]}} = 2 - 2x.\] Tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình \[f\left[ x \right] = m\] có hai nghiệm thực phân biệt là:

A. \[0 < m < e.\]

B. \[1 < m < e.\]

C. \[m > e.\]

D. \[0 < m \le 1.\]

Câu 49. Cho biết \[{x_1}\], \[{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[{\log _7}\left[ {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right] + 4{x^2} + 1 = 6x\] và giả sử \[x{{\kern 1pt} _1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left[ {a + \sqrt b } \right]\] với \[a,\] \[b\] là hai số nguyên dương. Khi đó \[a + b\] bằng

A. \[a + b = 14.\]

B. \[a + b = 13.\]

C. \[a + b = 16.\]

D. \[a + b = 11.\]

Câu 50. Cho \[f\left[ x \right] = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x\]. Gọi \[M = \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left[ x \right];m = \mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left[ x \right].\] Khi đó\[M-m\] bằng:

A. \[1\]. B. \[\frac{3}{5}.\]

C. \[\frac{7}{5}.\] D. \[\frac{9}{5}.\]

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM

Câu 1 [NB] Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

- Tính \[y'\].

- Giải bất phương trình \[y' < 0\] và suy ra các khoảng nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Ta có: \[y' = 6{x^2} - 18x + 12\].

\[\begin{array}{l}y' < 0\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < x < 2\end{array}\].

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \[\left[ {1;2} \right]\].

Chọn D.

Câu 2 [NB] Số phức

Phương pháp:

- Số phức \[z = a + bi\] có số phức liên hợp \[\bar z = a - bi\].

- Số phức \[z = a + bi\] có phần thực bằng \[a\], phần ảo bằng \[b\].

Cách giải:

\[z = 2 - 5i \Rightarrow \bar z = 2 + 5i\].

Vậy số phức \[\bar z\] có phần thực bằng 2, phần ảo bằng \[5.\]

Chọn A.

Câu 3 [NB] Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Khoảng cách từ điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là:

\[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].

Cách giải:

\[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.\left[ { - 3} \right] - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2}} }}\]\[ = \frac{9}{3} = 3\].

Chọn C.

Câu 4 [NB] Đường tiệm cận

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left[ {ad \ne bc} \right]\] có TCĐ \[x = - \frac{d}{c}\] và TCN \[y = \frac{a}{c}\].

Cách giải:

Ta có: \[y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}} = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\].

Đồ thị hàm số có TCĐ \[x = - 1\] và TCN \[y = - 2\].

Chọn A.

Câu 5 [NB] Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

- Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\].

- Mọi vectơ cùng phương với \[\overrightarrow n \] đều là 1 VTPT của \[\left[ \alpha \right]\].

Cách giải:

Mặt phẳng \[\,2x - y + 3z - 1 = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} = \left[ {2; - 1;3} \right]\].

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B, \[\vec n = \left[ { - 4;2; - 6} \right] = - 2\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} \].

Vậy \[\vec n = \left[ { - 4;2; - 6} \right]\] cũng là 1 VTPT của \[\left[ \alpha \right]\].

Chọn B.

Câu 6 [TH] Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

- Gọi \[H\] là trung điểm của \[AB\], chứng minh \[SH \bot \left[ {ABCD} \right]\].

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp đường cao \[h\], diện tích đáy \[B\] là \[V = \frac{1}{3}Bh\].

Cách giải:

Gọi \[H\] là trung điểm của \[AB\], do \[\Delta SAB\] đều cạnh \[AB = a\] nên \[SH \bot AB\] và \[SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SAB} \right] \bot \left[ {ABCD} \right] = AB\\SH \subset \left[ {SAB} \right],\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow SH \bot \left[ {ABCD} \right]\].

Vậy \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\]\[ = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\].

Chọn C.

Câu 7 [NB] Số phức

Phương pháp:

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm \[M\left[ {a;b} \right]\] là điểm biểu diễn của số phức \[z = a + bi\].

Cách giải:

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm \[M\left[ { - 3;2} \right]\] là điểm biểu diễn của số phức \[z = - 3 + 2i.\]

Chọn B.

Câu 8 [TH] Hàm số mũ

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \[\left[ {{a^u}} \right]' = u'.{a^u}.\ln a\].

Cách giải:

\[y = {2^{\sin x}}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \left[ {\sin x} \right]'{.2^{\sin x}}\ln 2\\ = \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.\end{array}\]

Chọn B.

Câu 9 [TH] Mặt nón

Phương pháp:

- Xác định góc giữa đường sinh và mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác tính chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

- Thể tích khối nón có chiều cao \[h\], bán kính đáy \[r\] là \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\].

Cách giải:

Gọi \[O\] là tâm đáy hình nón và \[SA\] là một đường sinh bất kì \[ \Rightarrow SA = l = a\].

Khi đó ta có góc giữa \[SA\] và mặt đáy là \[\angle SAO = {60^0}\].

Xét \[\Delta SAO\] có: \[SO = SA.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = h\], \[OA = SA.\cos {60^0} = \frac{a}{2} = r\].

Vậy thể tích khối nón là \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\]\[ = \frac{1}{3}\pi .{\left[ {\frac{a}{2}} \right]^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\].

Chọn A.

Câu 10 [TH] Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Phương pháp:

- Giải phương trình mũ: \[{a^{f\left[ x \right]}} = b \Leftrightarrow f\left[ x \right] = {a^b}\].

- Giải phương trình bậc hai và kết luận số nghiệm của phương trình.

Cách giải:

\[\begin{array}{l}{2^{{x^2} - 2x + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = {\log _2}1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\]

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Chọn B.

Câu 11 [TH] Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Góc giữa hai mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\] là \[\cos \angle \left[ {\left[ P \right];\left[ Q \right]} \right] = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\] với \[\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}} \] lần lượt là 1 VTPT của mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\].

Cách giải:

Mặt phẳng \[\left[ P \right]:x - 2y - z + 2 = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow {{n_P}} \left[ {1; - 2; - 1} \right]\].

Mặt phẳng \[\left[ Q \right]:x - 2y - z + 2 = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow {{n_Q}} \left[ {2; - 1;1} \right]\].

Khi đó ta có: \[\cos \angle \left[ {\left[ P \right];\left[ Q \right]} \right] = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\]\[ = \frac{{\left| {1.2 - 2.\left[ { - 1} \right] - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} + {1^2}} }}\]\[ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\].

Vậy \[\angle \left[ {\left[ P \right];\left[ Q \right]} \right] = {60^0}\].

Chọn A.

Câu 12 [NB] Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Phương pháp:

Giải bất phương trình logarit: \[{\log _a}x < b \Leftrightarrow x < {a^b}\,\,\left[ {a > 1} \right]\].

Cách giải:

ĐKXĐ: \[x > 0\].

Ta có: \[{\log _2}x < 0 \Leftrightarrow x < {2^0} = 1\].

Kết hợp điều kiện xác định ta có \[0 < x < 1\].

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\left[ {0;1} \right]\].

Chọn B.

Câu 13 [TH] Nguyên hàm

Phương pháp:

Nếu hàm số \[F\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right]\] xác định trên khoảng thì \[F\left[ x \right] + C = \int {f\left[ x \right]dx} \].

Cách giải:

Nếu hàm số \[F\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right]\] xác định trên khoảng thì \[F\left[ x \right] + C = \int {f\left[ x \right]dx} \]. Suy ra khẳng định A đúng.

Khi đó ta có \[F'\left[ x \right] = f\left[ x \right]\].

Ta lại có \[\left[ {\int {f\left[ x \right]dx} } \right]' = f\left[ x \right] = F'\left[ x \right]\]. Suy ra khẳng định B, C đúng.

Chọn D.

Câu 14 [TH] Phép chia số phức

Phương pháp:

Thực hiện phép chia số phức.

Cách giải:

\[\begin{array}{l}\frac{2}{{z - 1}} = 1 + i\\ \Leftrightarrow z - 1 = \frac{2}{{1 + i}}\\ \Leftrightarrow z - 1 = 1 - i\\ \Leftrightarrow z = 2 - i\end{array}\].

Chọn A.

Câu 15 [TH] Nguyên hàm

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: \[\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} }}} = \frac{2}{a}\sqrt {ax + b} + C\].

Cách giải:

\[\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - x} }}} = \frac{2}{{ - 1}}\sqrt {1 - x} + C\]\[ = - 2\sqrt {1 - x} + C\].

Chọn C.

Câu 16 [TH] Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

- Xác định hai điểm thỏa mãn hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.\].

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

- Phương trình đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\].

Cách giải:

Xét hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.\].

Cho \[z = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\x - y = - 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow A\left[ { - 1;1;0} \right] \in \Delta \].

Cho \[z = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = - 1\\x - y = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{3}\\y = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow B\left[ { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3};2} \right] \in \Delta \].

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ {\frac{2}{3}; - \frac{4}{3};2} \right]\] \[ \Rightarrow \overrightarrow u = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} = \left[ {1; - 2;3} \right]\] là 1 VTCP của \[\Delta \].

Vậy phương trình đường thẳng \[\Delta \] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.\].

Chọn A.

Câu 17 [TH] Tích phân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tích phân Newton-Leibniz: Nếu \[F\left[ x \right]\] là 1 nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right]\] thì \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = F\left[ b \right] - F\left[ a \right]\].

Cách giải:

Ta có \[f\left[ x \right]\] là 1 nguyên hàm của hàm số \[f'\left[ x \right]\] nên \[I = \int\limits_0^1 {f'\left[ x \right]{\rm{d}}x} \]\[ = f\left[ 1 \right] - f\left[ 0 \right] = 2\].

Chọn B.

Câu 18 [TH] Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng kia.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Khối lăng trụ có chiều cao \[h\], diện tích đáy \[B\] có thể tích \[V = Bh\].

Cách giải:

Ta có \[BB' \bot \left[ {A'B'C'} \right] \Rightarrow A'B'\] là hình chiếu của \[A'B\] lên \[\left[ {A'B'C'} \right]\].

\[ \Rightarrow \angle \left[ {A'B;\left[ {A'B'C'} \right]} \right]\]\[ = \angle \left[ {A'B;A'B'} \right] = \angle BA'B' = {60^0}\].

Xét \[{\Delta _v}A'BB'\] có: \[BB' = A'B'.\tan {60^0}\]\[ = a\sqrt 5 .\sqrt 3 = a\sqrt {15} \].

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\].

Vậy \[{V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}}\]\[ = a\sqrt {15} .\frac{{5{a^2}}}{2} = \frac{{5\sqrt {15} {a^3}}}{2}\].

Chọn C.

Câu 19 [NB] Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] có phương trình \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\].

Cách giải:

Trong không gian tọa độ \[Oxyz,\] đường thẳng đi qua điểm \[A\left[ {3; - 2;4} \right]\] và có véctơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 1;6} \right]\] có phương trình là: \[\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}\].

Chọn A.

Câu 20 [NB] Phương trình mặt cầu

Phương pháp:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R\] có phương trình là \[{\left[ {x - {x_0}} \right]^2} + {\left[ {y - {y_0}} \right]^2} + {\left[ {z - {z_0}} \right]^2} = {R^2}.\]

Cách giải:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[I\left[ {2;3; - 6} \right]\] và bán kính \[R = 4\] có phương trình là \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} + {\left[ {z + 6} \right]^2} = 16.\]

Chọn B.

Câu 21 [TH] Tích phân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left[ {n \ne - 1} \right]\].

Cách giải:

\[\begin{array}{l}\int\limits_0^m {\left[ {2x - 1} \right]{\rm{d}}x} = 2\\ \Leftrightarrow \left. {\left[ {{x^2} - x} \right]} \right|_0^m = 2\\ \Leftrightarrow {m^2} - m = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\end{array}\]

Chọn D.

Câu 22 [NB] Ứng dụng của tích phân trong hình học

Phương pháp:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho vật thể \[\left[ H \right]\] giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình \[x = a\] và \[x = b\]\[\left[ {a < b} \right]\]. Gọi \[S\left[ x \right]\] là diện tích thiết diện của \[\left[ H \right]\] bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\]tại điểm có hoành độ là \[x,\] với \[a \le x \le b\]. Giả sử hàm số \[y = S\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right].\] Khi đó, thể tích \[V\] của vật thể \[\left[ H \right]\] được cho bởi công thức: \[V = \int\limits_a^b {S\left[ x \right]{\rm{d}}x} .\].

Cách giải:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho vật thể \[\left[ H \right]\] giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình \[x = a\] và \[x = b\]\[\left[ {a < b} \right]\]. Gọi \[S\left[ x \right]\] là diện tích thiết diện của \[\left[ H \right]\] bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\]tại điểm có hoành độ là \[x,\] với \[a \le x \le b\]. Giả sử hàm số \[y = S\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right].\] Khi đó, thể tích \[V\] của vật thể \[\left[ H \right]\] được cho bởi công thức: \[V = \int\limits_a^b {S\left[ x \right]{\rm{d}}x} .\].

Chọn A.

Câu 23 [TH] Nguyên hàm

Phương pháp:

- Tính vận tốc của vật \[v = \int {a\left[ t \right]dt} \].

- Sử dụng giả thiết \[v\left[ 0 \right] = 6\] tìm \[C\].

- Tính \[v\left[ {10} \right]\].

Cách giải:

Ta có: \[v\left[ t \right] = \int {a\left[ t \right]dt} \]\[ = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\].

Theo bài ra ta có: \[v\left[ 0 \right] = 6\]\[ \Leftrightarrow 6\ln 1 + C = 6 \Leftrightarrow C = 6\].

Khi đó \[v = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\].

Vậy vận tốc của vật sau 10 giây là: \[v\left[ {10} \right] = 3\ln 11 + 6\,\,\left[ {m/s} \right]\].

Chọn D.

Câu 24 [TH] Cực trị của hàm số

Phương pháp:

Dựa vào lý thuyết cực trị của hàm số.

Cách giải:

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án B đúng: Nếu hàm số có giá trị cực tiểu là \[f\left[ {{x_0}} \right]\] với \[{x_0} \in \mathbb{R}\] thì tồn tại \[{x_1} \in \mathbb{R}\] sao cho \[f\left[ {{x_0}} \right] < f\left[ {{x_1}} \right].\]

Chọn B.

Câu 25 [TH] Cộng, trừ và nhân số phức

Phương pháp:

- Nhân các số phức, đưa số phức \[z\] về dạng \[z = a + bi\] .

- Sử dụng công thức tính môđun số phức \[z = a + bi\]\[ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].

Cách giải:

\[\begin{array}{l}z = \left[ {2 - 3i} \right]{\left[ {1 + i} \right]^4}\\z = \left[ {2 - 3i} \right]{\left[ {{{\left[ {1 + i} \right]}^2}} \right]^2}\\z = \left[ {2 - 3i} \right]{\left[ {1 + 2i + {i^2}} \right]^2}\\z = \left[ {2 - 3i} \right].{\left[ {2i} \right]^2}\\z = \left[ {2 - 3i} \right].\left[ { - 4} \right]\\z = - 8 + 12i\end{array}\]

Vậy \[\left| z \right| = \sqrt {{{\left[ { - 8} \right]}^2} + {{12}^2}} \]\[ = \sqrt {208} = 4\sqrt {13} \].

Chọn A.

Câu 26 [TH] Nguyên hàm

Phương pháp:

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \[\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\].

- Thay \[F\left[ 0 \right] = 1\] để tìm hằng số \[C\].

Cách giải:

Ta có: \[F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right]dx} \]\[ = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\] .

Lại có

\[\begin{array}{l}F\left[ 0 \right] = 1 \Leftrightarrow \frac{{{e^0}}}{2} + C = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\end{array}\].

Vây \[F\left[ x \right] = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}\].

Chọn B.

Câu 27 [TH] Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số \[y = \left[ {x - 2} \right]\left[ {{x^2} + 1} \right]\] và trục hoành.

- Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của \[\left[ C \right]\] và trục hoành.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\left[ {x - 2} \right]\left[ {{x^2} + 1} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\] [do \[{x^2} + 1 > 0\,\,\,\forall x\]].

Vậy \[\left[ C \right]\] cắt trục hoành tại một điểm.

Chọn A.

Câu 28 [VD] Bài toán quỹ tích số phức

Phương pháp:

- Gọi \[z = x + yi\] .

- Thay vào giả thiết, biến đổi và suy ra phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa \[x\] và \[y\].

- Sử dụng công thức tính môđun số phức: \[z = a + bi\]\[ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \] .

Cách giải:

Đặt \[z = x + yi\], theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - i} \right| = \left| {2 - 3i - x - yi} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + \left[ {y - 1} \right]i} \right| = \left| {\left[ {2 - x} \right] - \left[ {3 + y} \right]i} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = {\left[ {2 - x} \right]^2} + {\left[ {3 + y} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1\\ = {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9\\ \Leftrightarrow 4x - 8y - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0\end{array}\]

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\] là đường thẳng có phương trình \[x - 2y - 3 = 0.\]

Chọn C.

Câu 29 [TH] Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

- Sử dụng định lí Pytago tính độ dài cạnh \[BC\].

- Tính diện tích tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\]: \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC\].

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \[V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\].

Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago ta có: \[BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} \]\[ = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a\] .

\[ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.a.2a = {a^2}\].

Vậy \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\]\[ = \frac{1}{3}.3a.{a^2} = {a^3}\] .

Chọn A.

Câu 30 [TH] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

- Cho \[x = 0\] xác định giao điểm của \[\left[ C \right]\] và trục tung.

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ \[x = {x_0}\] là:

\[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\].

Cách giải:

Cho \[x = 0 \Rightarrow y = - 2\], suy ra giao điểm của \[\left[ C \right]\] với trục tung là \[M\left[ {0; - 2} \right]\].

Ta có: \[y' = - 3{x^2} + 3 \Rightarrow y'\left[ 0 \right] = 3\].

Vậy phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại \[M\left[ {0; - 2} \right]\] là: \[y = 3\left[ {x - 0} \right] - 2\]\[ \Leftrightarrow y = 3x - 2\].

Chọn D.

Câu 31 [TH] Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

- Tìm tọa độ trung điểm \[I\] của đoạn thẳng \[AB\]: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\].

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] đi qua \[I\] và nhận \[\overrightarrow {AB} \] là 1 VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTPT \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] có phương trình là:

\[A\left[ {x - {x_0}} \right] + B\left[ {y - {y_0}} \right] + C\left[ {z - {z_0}} \right]\]\[ = 0\]

Cách giải:

Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\] ta có \[I\left[ {2;1;2} \right]\].

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ {2; - 2;0} \right]\] \[ \Rightarrow \overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left[ {1; - 1;0} \right]\] là 1 VTPT của mặt phẳng trung trực của \[AB\].

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của \[AB\] là:

\[1\left[ {x - 2} \right] - 1\left[ {y - 1} \right] + 0\left[ {z - 2} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\].

Chọn B.

Câu 32 [NB] Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

Cho khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AB = a,\]\[AD = b,\]\[\,AA' = c\] \[ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc\].

Cách giải:

Khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AB = a,\]\[AD = b,\]\[\,AA' = c\] \[ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc\].

Chọn A.

Câu 33 [VD] Khoảng cách [Toán 11]

Phương pháp:

- Sử dụng định lí: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ P \right] \bot \left[ R \right]\\\left[ Q \right] \bot \left[ R \right]\\\left[ P \right] \cap \left[ Q \right] = d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left[ R \right]\].

- Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\], trong \[\left[ {SAM} \right]\] kẻ \[AH \bot SM\], chứng minh \[AH \bot \left[ {SBC} \right]\].

- Xác định góc giữa \[\left[ {SBC} \right]\] và \[\left[ {ABCD} \right]\] là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Cách giải:

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SAB} \right] \bot \left[ {ABCD} \right]\\\left[ {SAD} \right] \bot \left[ {ABCD} \right]\\\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SAD} \right] = SA\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow SA \bot \left[ {ABCD} \right]\] .

Vì \[\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}\] \[ \Rightarrow \Delta ABC\] đều cạnh \[2a\sqrt 3 \].

Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC \Rightarrow AM \bot BC\] và \[AM = 2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3a\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {SAM} \right]\].

Trong \[\left[ {SAM} \right]\] kẻ \[AH \bot SM\,\,\left[ {H \in SM} \right]\] ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\,\,\left[ {BC \bot \left[ {SAM} \right]} \right]\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow AH \bot \left[ {SBC} \right]\]

\[ \Rightarrow d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = AH\].

Vì \[BC \bot \left[ {SAM} \right] \Rightarrow BC \bot SM\], khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SBC} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = BC\\SM \subset \left[ {SBC} \right],\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left[ {ABCD} \right],\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \angle \left[ {\left[ {SBC} \right];\left[ {ABCD} \right]} \right]\]\[ = \angle \left[ {SM;AM} \right] = \angle SAM = {45^0}\] .

Xét tam giác vuông \[AHM\] có \[AH = AM.\sin {45^0}\]\[ = 3a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\] .

Vậy \[d\left[ {A;\left[ {SBC} \right]} \right] = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\].

Chọn A.

Câu 34 [VD] Lôgarit

Phương pháp:

- Thêm cả 2 vế với \[4ab\] để tạo hằng đẳng thức.

- Sử dụng các công thức:

\[\begin{array}{l}{\log _a}\left[ {xy} \right] = {\log _a}x + {\log _a}y\\\left[ {0 < a \ne 1,\,\,x,\,\,y > 0} \right]\\{\log _a}{x^m} = m{\log _a}x\\\left[ {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right]\\{\log _a}x - {\log _a}y = {\log _a}\frac{x}{y}\\\left[ {0 < a \ne 1,\,\,x,\,\,y > 0} \right]\end{array}\]

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}{a^2} + 4{b^2} = 5ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 9ab\\ \Leftrightarrow {\left[ {a + 2b} \right]^2} = 9ab\end{array}\]

Lấy logarit cơ số 3 hai vế phương trình ta có:

\[\begin{array}{l}{\log _3}{\left[ {a + 2b} \right]^2} = {\log _3}\left[ {9ab} \right]\,\,\left[ {a,\,\,b > 0} \right]\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left[ {a + 2b} \right] = {\log _3}9 + {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left[ {a + 2b} \right] = 2 + {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left[ {a + 2b} \right] - 2 = {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\log }_3}\left[ {a + 2b} \right] - {{\log }_3}3} \right] = {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _3}a + {\log _3}b\end{array}\]

Chọn D.

Câu 35 [TH] Mặt trụ

Phương pháp:

- Khi quay hình chữ nhật \[ABCD\] quanh cạnh \[AB\] ta được khối trụ có chiều cao \[h = AB\], bán kính đáy \[r = AD\].

- Thể tích khối trụ có chiều cao \[h\], bán kính đáy \[r\] là \[V = \pi {r^2}h\].

Cách giải:

Khi quay hình chữ nhật \[ABCD\] quanh cạnh \[AB\] ta được khối trụ có chiều cao \[h = AB = 4\], bán kính đáy \[r = AD = 3\].

Vậy thể tích khối trụ là \[V = \pi {r^2}h = \pi {.3^2}.4 = 36\pi \].

Chọn A.

Câu 36 [NB] Hệ tọa độ trong không gian

Phương pháp:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho điểm \[A\left[ {a;b;c} \right]\] Tọa độ điểm \[{A_1}\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên mặt phẳng \[\left[ {Oyz} \right]\] là \[{A_1}\left[ {0;b;c} \right]\].

Cách giải:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] cho điểm \[A\left[ {1;2;3} \right].\] Tọa độ điểm \[{A_1}\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên mặt phẳng \[\left[ {Oyz} \right]\] là \[{A_1}\left[ {0;2;3} \right].\].

Chọn C.

Câu 37 [TH] Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \[M\] đến đường thẳng \[\Delta \]: \[d\left[ {M;\Delta } \right] = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {M{M_o}} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\] với \[{M_0}\] là điểm bất kì thuộc đường thẳng \[\Delta \], \[\overrightarrow u \] là 1 VTCP của đường thẳng \[\Delta \].

Cách giải:

Ta có: \[\overrightarrow {OA} = \left[ {1; - 2;0} \right]\], \[\overrightarrow {AB} = \left[ {3;3;1} \right]\].

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left[ { - 2; - 1;9} \right]\]

\[ \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|\]\[ = \sqrt {{{\left[ { - 2} \right]}^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} + {9^2}} = \sqrt {86} \]

Vậy \[OH = d\left[ {O;AB} \right] = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\]\[ = \frac{{\sqrt {86} }}{{\sqrt {{3^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \sqrt {\frac{{86}}{{19}}} \] .

Chọn A.

Câu 38 [TH] Hệ tọa độ trong không gian

Phương pháp:

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u \bot \overrightarrow w \\\overrightarrow v \bot \overrightarrow w \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow w \] cùng phương với \[\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\].

Cách giải:

Ta có: \[\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = \left[ {0;7;0} \right]\].

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có vectơ \[\vec w = \left[ {0; - 1;0} \right]\] cùng phương với \[\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]\].

Vậy \[\vec w = \left[ {0; - 1;0} \right]\] vuông góc với cả hai véctơ \[\vec u = \left[ { - 1;0;2} \right],\] \[\vec v = \left[ {4;0; - 1} \right]\].

Chọn D.

Câu 39 [VD] Tích phân

Phương pháp:

- Đổi biến số, đặt \[t = \sin x\].

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].

Cách giải:

Ta có: \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left[ {\sin x} \right]{\rm{d}}x} \]\[ = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\cos x.f'\left[ {\sin x} \right]{\rm{d}}x} \].

Đặt \[t = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\].

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\], khi đó ta có \[I = 2\int\limits_0^1 {tf'\left[ t \right]dt} \].

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left[ t \right]dt\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left[ t \right]\end{array} \right.\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2\left[ {\left. {tf\left[ t \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left[ t \right]dt} } \right]\\ \Leftrightarrow I = 2\left[ {f\left[ 1 \right] - \int\limits_0^1 {f\left[ t \right]dt} } \right]\\ \Leftrightarrow I = 2\left[ {1 - \frac{1}{3}} \right] = \frac{4}{3}\end{array}\]

Chọn A.

Câu 40 [TH] Phương trình mặt cầu

Phương pháp:

- Tính độ dài đoạn thẳng:

\[IH = \]\[\sqrt {{{\left[ {{x_H} - {x_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_H} - {y_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_H} - {z_I}} \right]}^2}} \] .

- Áp dụng định lí Pytago tính bán kính \[R\] của mặt cầu \[\left[ S \right]\]: \[R = \sqrt {I{H^2} + {r^2}} \].

- Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] bán kính \[R\] có phương trình là:

\[{\left[ {x - {x_0}} \right]^2} + {\left[ {y - {y_0}} \right]^2} + {\left[ {z - {z_0}} \right]^2} = {R^2}\].

Cách giải:

Ta có: \[IH = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2}} = \sqrt {14} \].

Theo bài ra ta có \[AH = r = 2\], áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[IAH\] có:

\[IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} \]\[ = \sqrt {14 + 4} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \].

\[ \Rightarrow \] Bán kính của mặt cầu \[\left[ S \right]\] là \[R = IA = 3\sqrt 2 \].

Vậy phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] là: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 18.\]

Chọn B.

Câu 41 [TH] Đường tiệm cận

Phương pháp:

- Nhận dạng loại đồ thị hàm số và loại đáp án.

- Đồ thị hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left[ {ac \ne bd} \right]\] có TCN \[y = \frac{a}{c}\], TCĐ \[x = - \frac{d}{c}\].

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số này là hàm số bậc nhất trên bậc nhất, suy ra loại đáp án A và B.

Quan sát đồ thị ta thấy hàm số có TCĐ \[x = 1\], suy ra loại đáp án D.

Chọn C.

Câu 42 [TH] Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai VTPT của hai mặt phẳng cùng phương.

Cách giải:

Mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,\,3x - my - z + 7 = 0\] có 1 VTPT \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {3; - m; - 1} \right]\].

Mặt phẳng \[\left[ Q \right]:\,\,\,6x + 5y - 2z - 4 = 0\] có 1 VTPT \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {6;5; - 2} \right]\].

Để \[\left[ P \right]\parallel \left[ Q \right]\] thì \[\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}} \] cùng phương \[ \Leftrightarrow \frac{3}{6} = \frac{{ - m}}{5} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}}\]\[ \Leftrightarrow m = - \frac{5}{2}\] .

Chọn A.

Câu 43 [VD] Ứng dụng của tích phân trong hình học

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \[y = 4 - \left| x \right|\] với trục hoành để xác định các cận.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], trục hoành, đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là: \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[4 - \left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left| x \right| = 4\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\] .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = 4 - \left| x \right|\] và trục hoành là:

\[\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left| {4 - \left| x \right|} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 4}^0 {\left[ {x + 4} \right]dx} + \int\limits_0^4 {\left[ {4 - x} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + 4x} \right]} \right|_{ - 4}^0 + \left. {\left[ {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]} \right|_0^4\\ = 8 + 8 = 16.\end{array}\]

Chọn B.

Câu 44 [VD] Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

- Xác định VTPT của mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \], VTCP của đường thẳng \[\left[ d \right]\] là \[\overrightarrow {{u_d}} \].

- Gọi \[\left[ P \right]\] là mặt phẳng cần tìm, \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]\].

- Chọn \[M \in d\] bất kì \[ \Rightarrow M \in \left[ P \right]\].

- Phương trình mặt phẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTPT \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] có phương trình là:

\[A\left[ {x - {x_0}} \right] + B\left[ {y - {y_0}} \right] + C\left[ {z - {z_0}} \right] = 0\].

Cách giải:

Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]:2x - 3y + z - 2 = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {2; - 3;1} \right]\].

Đường thẳng \[d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ { - 1;2; - 1} \right]\].

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left[ {1;1;1} \right]\].

Gọi \[\left[ P \right]\] là mặt phẳng cần tìm và \[\overrightarrow {{n_P}} \] là 1 VTPT của \[\left[ P \right]\].

Theo bài ra ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ P \right] \bot \left[ \alpha \right]\\\left[ P \right] \supset \left[ d \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left[ {1;1;1} \right]\] .

Lấy \[M\left[ {0; - 1;2} \right] \in d \Rightarrow M \in \left[ P \right]\] .

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left[ P \right]\] cần tìm là \[1\left[ {x - 0} \right] + 1\left[ {y + 1} \right] + 1\left[ {z - 2} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\].

Chọn B.

Câu 45 [TH] Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

- \[d \bot \left[ P \right] \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} \].

- Phương trình đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] là: \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\].

Cách giải:

Mặt phẳng \[2x - 3y + 6z + 19 = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {2; - 3;6} \right]\]

\[ \Rightarrow \] Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[2x - 3y + 6z + 19 = 0\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow u = \overrightarrow n = \left[ {2; - 3;6} \right]\].

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm \[A\left[ { - 2;4;3} \right]\] và vuông góc với mặt phẳng \[2x - 3y + 6z + 19 = 0\] là: \[\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}\].

Chọn B.

Câu 46 [VD] Tích phân

Phương pháp:

- Biến đổi \[\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{{x + 2}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}}\]\[ = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{2x - 1}}\] .

- Quy đồng, đồng nhất hệ số tìm \[A,\,\,B\].

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \[\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\].

- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b\] và tính giá trị biểu thức \[P\].

Cách giải:

Ta có \[\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{{x + 2}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}}\]\[ = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{2x - 1}}\] .

\[ \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\] \[ = \frac{{A\left[ {2x - 1} \right] + B\left[ {x - 1} \right]}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\]

\[ \Leftrightarrow x + 2 = \left[ {2A + B} \right]x - A - B\]

Đồng nhất hệ số ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2A + B = 1\\ - A - B = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 3\\B = - 5\end{array} \right.\], khi đó ta có \[\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{3}{{x - 1}} - \frac{5}{{2x - 1}}\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_2^3 {\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}{\rm{d}}x} \\ = \int\limits_2^3 {\left[ {\frac{3}{{x - 1}} - \frac{5}{{2x - 1}}} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {3\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{5}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right]} \right|_2^3\\ = 3\ln 2 - \frac{5}{2}\ln 5 - 3\ln 1 + \frac{5}{2}\ln 3\\ = - \frac{5}{2}\ln 5 + \frac{5}{2}\ln 3 + 3\ln 2\end{array}\]

\[ \Rightarrow a = - \frac{5}{2},\,\,b = \frac{5}{2}\].

Vậy \[P = 2a - b\]\[ = 2.\frac{{ - 5}}{2} - \frac{5}{2} = - \frac{{15}}{2}\].

Chọn B.

Câu 47 [VD] Phương trình đường thẳng trong không gian

Cách giải:

Gọi đường thẳng đi qua \[M\] cắt và vuông góc với \[d\] là \[\Delta \].

Gọi\[N = \Delta \cap d\]\[ \Rightarrow N\left[ {4 + 3t;\,\,2 + t;\,\, - 1 + t} \right]\] .

Ta có \[\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {MN} \]\[ = \left[ {4 + 3t;\,\,t;\,\, - 1 + t} \right]\] .

Đường thẳng \[d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\] có 1 VTCP \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {3;1;1} \right]\].

Vì \[d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {MN} = 0\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left[ {4 + 3t} \right] + 1.t + 1\left[ { - 1 + t} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 12 + 9t + t - 1 + t = 0\\ \Leftrightarrow 11t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\end{array}\]

\[ \Rightarrow N\left[ {1;1; - 2} \right]\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {MN} \]\[ = \left[ {1; - 1; - 2} \right]\parallel \left[ { - 1;1;2} \right]\] .

Vậy phương trình đường thẳng \[\Delta \] là: \[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{2}.\]

Chọn A.

Câu 48 [VDC] Nguyên hàm

Phương pháp:

- Lấy nguyên hàm hai vế, từ đó suy ra hàm số \[f\left[ x \right]\].

- Lập BBT của hàm số \[y = f\left[ x \right]\].

- Số nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right] = m\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] và đường thẳng \[y = m\] song song với trục hoành.

Cách giải:

Lấy nguyên hàm hai vế biểu thức \[\frac{{f'\left[ x \right]}}{{f\left[ x \right]}} = 2 - 2x\] ta có:

\[\begin{array}{l}\int {\frac{{f'\left[ x \right]}}{{f\left[ x \right]}}dx} = \int {\left[ {2 - 2x} \right]dx} \\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left[ x \right]} \right| = - {x^2} + 2x + C\end{array}\]

Theo bài ra ta có \[f\left[ 0 \right] = 1\] \[ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left[ 0 \right]} \right| = C\]\[ \Leftrightarrow \ln 1 = C \Leftrightarrow C = 0\] .

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \ln \left| {f\left[ x \right]} \right| = - {x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow \left| {f\left[ x \right]} \right| = {e^{ - {x^2} + 2x}}\\ \Leftrightarrow f\left[ x \right] = {e^{ - {x^2} + 2x}}\\\left[ {Do\,\,f\left[ x \right] > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right]\end{array}\]

Ta có: \[f'\left[ x \right] = \left[ { - 2x + 2} \right]{e^{ - {x^2} + 2x}} = 0\]\[ \Leftrightarrow x = 1\]

BBT:

Phương trình \[f\left[ x \right] = m\] có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \[y = m\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại hai điểm phân biệt, dựa vào BBT ta suy ra \[0 < m < e\].

Chọn A.

Câu 49 [VDC] Ôn tập tổng hợp chương 1, 2 [Giải tích 12]

Phương pháp:

- Đưa phương trình về dạng \[f\left[ u \right] = f\left[ v \right]\].

- Chứng minh hàm số \[f\left[ t \right]\] đơn điệu trên khoảng xác định của chúng, từ đó suy ra \[u = v\].

- Giải phương trình tìm nghiệm \[{x_1},\,\,{x_2}\].

- Tính \[{x_1} + 2{x_2}\] và suy ra \[a,\,\,b\]. Từ đó tính giá trị \[a + b\].

Cách giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}{\log _7}\left[ {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right] + 4{x^2} + 1 = 6x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left[ {4{x^2} - 4x + 1} \right] - {\log _7}\left[ {2x} \right]\\ + 4{x^2} - 4x + 1 = 2x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left[ {4{x^2} - 4x + 1} \right] + \left[ {4{x^2} - 4x + 1} \right]\\ = {\log _7}\left[ {2x} \right] + 2x\end{array}\]

Xét hàm đặc trung \[f\left[ t \right] = {\log _7}t + t\,\,\left[ {t > 0} \right]\] ta có: \[f'\left[ t \right] = \frac{1}{{t\ln 7}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\].

\[ \Rightarrow \] Hàm số đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\], do đó ta có

\[4{x^2} - 4x + 1 = 2x \]\[\Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + 1 = 0 \]

\[\Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{4}\].

TH1: \[{x_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4},\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4}\] \[ \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4}\]\[ = \frac{1}{4}\left[ {9 - \sqrt 5 } \right]\]

\[ \Rightarrow \] Khác với dạng đề bài cho, loại.

TH2: \[{x_1} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4},\,\,{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\]

\[ \Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4} + \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{4}\]\[ = \frac{1}{4}\left[ {9 + \sqrt 5 } \right]\]

\[ \Rightarrow \] \[a = 9,\,\,b = 5\].

Vậy \[a + b = 9 + 5 = 14\].

Chọn A.

Câu 50 [VDC] Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ \[t = {x^2} - 4x + 5\], tìm khoảng giá trị của \[t\] ứng với \[x \in \left[ {0;3} \right]\].

- Khảo sát hàm số \[f\left[ t \right]\] trên khoảng giá trị của \[t\], từ đó kết luận max, min của hàm số.

Cách giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x\\f\left[ x \right] = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2} - 4x}}{4}\end{array}\]

Đặt \[t = {x^2} - 4x + 5\] với \[x \in \left[ {0;3} \right]\] ta có \[t' = 2x - 4 = 0\]\[ \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {0;3} \right]\].

Ta có: \[t\left[ 0 \right] = 5;\,\,t\left[ 2 \right] = 1,\,\,t\left[ 3 \right] = 2\].

\[ \Rightarrow \] Với \[x \in \left[ {0;3} \right]\] thì \[t \in \left[ {1;5} \right]\], khi đó hàm số trở thành \[f\left[ t \right] = \frac{1}{t} - \frac{{t - 5}}{4}\] với \[t \in \left[ {1;5} \right]\].

Ta có \[f'\left[ t \right] = - \frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{4} < 0\,\,\forall t \in \left[ {1;5} \right]\].

\[ \Rightarrow \] Hàm số \[y = f\left[ t \right]\] nghịch biến trên \[\left[ {1;5} \right]\]

\[ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left[ x \right] = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left[ t \right]\]\[ = f\left[ 1 \right] = 2 = M\]

\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left[ x \right] = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left[ t \right]\] \[ = f\left[ 5 \right] = \frac{1}{5} = m\]

Vậy \[M - m = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}\].

Chọn D.