Đề bài - đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - đề số 4 - chương 2 - hình học 9

Đề bài

Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài BC của (O) và (O) (\(B (O), C (O)\)).

a. Chứng minh rằng đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng OO và đường tròn đường kính OO tiếp xúc với đường thẳng BC.

b. Tính BC theo R và R

c. Đường tròn (H; r) tiếp xúc với cả hai đường tròn (O), (O) và tiếp xúc với BC tại M. Tính bán kính r theo R và R.

LG ý a

Phương pháp giải:

Sử dụng:

-Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

-Đường trung bình của hình thang

- Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính là tiếp tuyến của đường tròn đó

Lời giải chi tiết:

a. Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến chung BC, ta có \(IA = IB = IC\) (tính chất tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có: O, A, O thẳng hàng nên \(IA OO\)

Chứng tỏ đường tròn tâm I đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng OO.

Gọi K là trung điểm của OO \(\) IK là đường trung bình của hình thang BOOC \(\) IK // OB // OC hay \(IK BC.\)

Mặt khác : \(IK = {{OB + O'C} \over 2} = {{R + R'} \over 2} = {{OO'} \over 2}\)\( \Rightarrow IK = OK = O'K\)

Suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm K đường kính OO'

Do đó đường tròn tâm K đường kính OO, tiếp xúc với BC tại I.

LG ý b

Phương pháp giải:

Sử dụng:

-Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành 1 góc vuông

-Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

b. Ta có: OI, OI theo thứ tự là phân giác của các góc BIA và CIA nên \(OI OI\) hay OIO vuông tại I có đường cao IA.

\(I{A^2} = OA.O'A = R.R'\) (định lí 2) hay \(IA = \sqrt {R.R'} \Rightarrow BC = 2\sqrt {R.R'} \)

LG ý c

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của ý b

Lời giải chi tiết:

c. Ta có: BM là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (H) nên:

\(BM = 2\sqrt {R.r} \) (chứng minh như câu b)

Tương tự ta có : \(CM = 2\sqrt {R'.r} ,\) mà \(BC = BM + MC\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow 2\sqrt {R.R'} = 2\sqrt {R.r} + 2\sqrt {R'.r} \cr& \Rightarrow \sqrt {R.R'} = \sqrt r \left( {\sqrt R + \sqrt {R'} } \right) \cr & \Rightarrow \sqrt r = {{\sqrt {R.R'} } \over {\sqrt R + \sqrt {R'} }} \cr&\Rightarrow r = {{R.R'} \over {R + R' + 2\sqrt {R.R'} }} \cr} \)