Đề bài - bài 42 trang 11 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho đường tròn đường kínhABnằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và một điểmMdi động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với \(mp\left( P \right)\) tạiA, lấy một điểm S. Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) quaAvuông góc vớiSBtạiKcắtSMtạiH. Tìm vị trí củaMđể tính thể tích khối chópS.AHKlớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AMnhỏ hơn cung BM.

Lời giải chi tiết

\(\eqalign{ & MB \bot AM,MB \bot SA \cr & \Rightarrow MB \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow MB \bot AH(1) \cr & SB \bot \left( {AKH} \right) \Rightarrow SB \bot AH.(1) \cr} \)

Từ (1) và (2) suy ra \(\eqalign{ & AH \bot \left( {SMB} \right) \Rightarrow AH \bot SM,AH \bot HK. \cr & {V_{S.AHK}} = {1 \over 3}{S_{AHK}}.SK = {1 \over 6}AH.KH.SK. \cr} \)

Vì \(SK\) cố định nên :

\({V_{S.AHK}}\max \Leftrightarrow \left( {AH.KH} \right)\max \)

\(\Leftrightarrow \left( {A{H^2}.K{H^2}} \right)\max \Leftrightarrow A{H^2} = K{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}\)

( vì \(A{H^2} + H{K^2} = A{K^2}\) không đổi).

Vậy ta chỉ cần xác định vị trí điểmMthỏa mãn điều kiện \(A{H^2} = {{A{K^2}} \over 2}.\left( * \right)\)

Đặt \(\widehat {MAB}\)=x,SA=h, AB=2R. Ta có

\(\eqalign{ & A{K^2} = {{S{A^2}.A{B^2}} \over {S{B^2}}} = {{4{R^2}{h^2}} \over {4{R^2} + {h^2}}}, \cr & AM = 2R{\mathop{\rm cosx}\nolimits} , \cr & A{H^2} = {{S{A^2}.A{M^2}} \over {S{M^2}}} = {{4{h^2}{R^2}{{\cos }^2}x} \over {{h^2} + 4{R^2}{{\cos }^2}x}}. \cr} \)

Từ \(\left( * \right)\) ta suy ra : \({\cos ^2}x = {{{h^2}} \over {2\left( {{h^2} + 2{R^2}} \right)}} < {1 \over 2}.\)

Từ đây ta xác định đượcx, tức là xác định được vị trí điểmM(có hai vị trí của điểmM).

Từ \({\cos ^2}x < {1 \over 2}\) suy ra \({\mathop{\rm cosx}\nolimits} < {{\sqrt 2 } \over 2} = \cos {45^0} \Rightarrow x > {45^0} \).

Vậy cung BM lớn hơn cung AM