1. HÀM SỐ Trang 1

2. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT Trang 5

3. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG Trang 9

4. SỐ PHỨC Trang 10

5. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Trang 11

6. KHỐI TRÒN XOAY Trang 13

7. KHÔNG GIAN OXYZ Trang 14

8. PHÉP BIẾN HÌNH Trang 16

9. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Trang 18

10. ĐẠI SỐ TỔ HỢP Trang 20

11. CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM Trang 22

12. TẬP HỢP, HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BPT, THỐNG KÊ, LƯỢNG GIÁC Trang 24

13. VECTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG Trang 28

14. HÌNH OXY Trang 28

{getButton} $text={Tải Xuống} $icon={download} $color={

3498db}

Tài liệu gồm 31 trang, được biên soạn bởi thầy Võ Công Trường, hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11, hỗ trợ học sinh trong quá trình học Đại số & Giải tích 11 và Hình học 11.

Mục lục tài liệu hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 – Võ Công Trường: VẤN ĐỀ 1. LƯỢNG GIÁC. 1. Đường tròn lượng giác. 2. Công thức lượng giác. 3. Hàm số lượng giác. 4. Tìm tập xác định. 5. Sự biến thiên. 6. Tính chẵn lẻ. 7. Tính tuần hoàn. 8. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác. 9. Phương trình cơ bản. 10. Phương trình thường gặp. 11. Phương pháp kiểm tra điều kiện xác định của phương trình.

VẤN ĐỀ 2. TỔ HỢP XÁC SUẤT. 1. Quy tắc đếm. 2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp. 3. Nhị thức Niu-tơn. 4. Xác suất.

VẤN ĐỀ 3. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN. 1. Phương pháp chứng minh quy nạp. 2. Dãy số. 3. Cấp số cộng – cấp số nhân.

VẤN ĐỀ 4. GIỚI HẠN. 1. Giới hạn của dãy số. 2. Giới hạn của hàm số. Phương pháp tìm giới hạn. 3. Hàm số liên tục. Các dạng toán thường gặp: + Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0. + Dạng 2. Tìm tham số để hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0. + Dạng 3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.

VẤN ĐỀ 5. ĐẠO HÀM. 1. Công thức đạo hàm. Quy tắc tìm đạo hàm. 2. Tiếp tuyến.

VẤN ĐỀ 6. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG. 1. Phép tịnh tiến. 2. Phép đối xứng tâm. 3. Phép đối xứng trục. 4. Phép quay. 5. Phép dời hình. 6. Phép vị tự. 7. Phép đồng dạng. Các dạng toán thường gặp: + Dạng 1. Dựng ảnh của một hình qua phép biến hình. + Dạng 2. Xác định ảnh, tạo ảnh hay yếu tố của phép biến hình. + Dạng 3. Viết phương trình ảnh của một hình qua phép biến hình cho trước. Đặc biệt: Công thức nhanh.

VẤN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) (LỚP 11). 1. Quan hệ song song. + Dạng 1. Chứng minh quan hệ song song. + Dạng 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. + Dạng 3. Tìm giao điểm của đương thẳng d và mặt phẳng alpha. + Dạng 4. Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi mặt phẳng. 2. Quan hệ vuông góc. + Dạng 1. Chứng minh quan hệ vuông góc. + Dạng 2. Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng. + Dạng 3. Tính góc. + Dạng 4. Tính khoảng cách. Đặc biệt: Quy tắc dời điểm khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Các dạng hình chóp. Các dạng hình lăng trụ.

PHỤ LỤC: Hình học phẳng (tổng hợp). 1. Hệ thức lượng trong tam giác. 2. Hệ thức lượng trong tứ giác. 3. Hệ thức lượng trong đường tròn. 4. Tâm của tam giác. Hình học tọa độ trong mặt phẳng. 1. Tọa độ. 2. Phương trình đường thẳng. 3. Phương trình đường tròn.

Phần 1

GIỚI HẠN

9. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0\).

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = L\) hoặc \(\lim {u_n} = L\).

Định lý 1: Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó:

9. \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\).

ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \)

Định lý 2: Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Khi đó:

9. Các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} - {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và \(\left( {c.{u_n}} \right)\) có giới hạn là:

+) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\)

+) \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M\)

+) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M\)

+) \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\)

ii) Nếu \(M \ne 0\) thì dãy số \(\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\) có giới hạn là \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{L}{M}\).

Một số dãy số có giới hạn thường gặp:

+) \(\lim \frac{1}{n} = 0,\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \frac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0,...\)

+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

+) \(\lim c = c\)

2. Dãy số có giới hạn vô cực

9. \(\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n = + \infty ,\)\(\lim \sqrt[3]{n} = + \infty \)

ii) Nếu \(\lim {u_n} = - \infty \) thì \(\lim \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \)

Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:

II. GIỚI HẠN HÀM SỐ

1. Định lí về giới hạn hữu hạn

1. Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\). Khi đó

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{L}{M},(M \ne 0)\end{array}\)

2. Nếu \(f(x) \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \) (dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x\( \ne {x_0}\).

Chú ý: Định lý trên vẫn đúng cho trường hợp \(x \to {x_0} ^{+ ,x \to {x_0}} - ,\)\(x \to + \infty ,x \to - \infty \)

2. Định lí về giới hạn một bên

\(\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\)

3. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = + \infty \)thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{f\left( x \right)}} = 0\)

+ Bảng quy tắc

4. tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}},|q| < 1\)

Chú ý: Các giới hạn cơ bản:

1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} C = C\) (C = const)

2. Nếu hàm số f(x) xác định tại điểm x­0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)

3. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{{x^n}}} = 0\) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\).

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

- Hàm số đa thức liên tục trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại \({x_0}\) là những hàm số liên tục tại \({x_0}\) (trường hợp thương thì mẫu phải khác 0 tại \({x_0}\)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho f(c) = 0.

IV. Các dạng bài tập thường gặp

1. Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số.

Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc đã học để tính.

- Nếu giới hạn của hàm số cần tính có một trong bốn dạng \(\frac{0}{0}\); \(\frac{\infty }{\infty }\); \(\infty - \infty \); 0.∞ thì ta phải khử dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước hoặc nhân lượng liên hợp hoặc chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu...Cụ thể:

* Dạng \(\frac{0}{0}\):

- Nếu tử, mẫu là những đa thức thì ta đặt thừa số \(\left( {x - {x_0}} \right)\) làm nhân tử chung và rút gọn nhân tử này ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.

- Nếu tử hay mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của tử hoặc mẫu và cũng rút gọn thừa số \(\left( {x - {x_0}} \right)\)ở tử và mẫu ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.

Cần chú ý các công thức biến đổi sau:

\(\begin{array}{l}a \pm b = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{a \mp b}}\\a \pm b = \frac{{{a^3} \pm {b^3}}}{{{a^2} \mp ab + {b^2}}}\end{array}\)

+ Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ Liên hợp của biểu thức:

1.\(\sqrt a - \sqrt b \) là \(\sqrt a + \sqrt b \)

2. \(\sqrt a + \sqrt b \) là \(\sqrt a - \sqrt b \)

3.\(\sqrt[3]{a} - b\) là \(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{a}.b + {b^2}\)

4. \(\sqrt[3]{a} + b\) là \(\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{a}.b + {b^2}\)

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

1. \(\mathop {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} - 2{x^2}}}}\limits_{} \)

2. \(\mathop {\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 1}}}\limits_{} \)

Giải:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} - 2{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{4.8}}{4} = 8\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} - 2{x^2}}} = 8.\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - 3x}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}\\ = \frac{{ - 3}}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {2 + \sqrt {3.1 + 1} } \right)}} = - \frac{3}{8}\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 1}} = - \frac{3}{8}.\)

* Dạng \(\frac{\infty }{\infty }\):

- Chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu.

- Sau đó dùng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương cùng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\) với k nguyên dương.

Ví dụ:Tìm các giới hạn sau:

1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 16x + 2}}{{{x^4} - 2{x^2} + 4}}\)

2. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 1}}{{10 - 2{x^3}}}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 16x + 2}}{{{x^4} - 2{x^2} + 4}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - \frac{{16}}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^4}}}}}{{1 - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{x^4}}}}}\\ = \frac{{3 - 0 + 0}}{{1 - 0 + 0}} = 3\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 16x + 2}}{{{x^4} - 2{x^2} + 4}} = 3\).

\(\begin{array}{l}b)\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 1}}{{10 - 2{x^3}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{1}{x} - \frac{5}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}}}{{\frac{{10}}{{{x^3}}} - 2}}\\ = \frac{{0 - 0 + 0}}{{0 - 2}} = 0\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 1}}{{10 - 2{x^3}}} = 0\)

* Dạng \(\infty - \infty \):

- Nếu \(x \to {x_0}\) thì ta quy đồng mẫu số để đưa về dạng \(\frac{0}{0}\).

- Nếu \(x \to \pm \infty \) thì ta nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng \(\frac{\infty }{\infty }\).

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)\)

2. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} - 2x} \right)\)

Giải:

1. Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{1 + x + {x^2} - 3}}{{1 - {x^3}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{{x^2} + x - 2}}{{1 - {x^3}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - x - 2}}{{1 + x + {x^2}}} = - 1\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right) = - 1\)

2. Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} - 2x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {4{x^2} + 3x + 1} \right) - 4{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} + 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} + 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 2}}\\ = \frac{3}{{2 + 2}} = \frac{3}{4}\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 3x + 1} - 2x} \right) = \frac{3}{4}\).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn, quy đồng mẫu số,...ta có thể đưa giới hạn đã cho về dạng quen thuộc.

Ví dụ: Tìm giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} - 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} \).

Giải: Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} - 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x{{\left( {x - 1} \right)}^{2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1} + }} \left( {{x^2} + x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)}}} \\ = 3.0 = 0\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} - 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} = 0\).

2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- Sử dụng công thức: \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}},|q| < 1\)

Ví dụ: Tính tổng \(S = - 1 + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{{{10}^{2}}} + ... + {\frac{{\left( { - 1} \right)}}{{{{10}}{n - 1}}}}^n} + ...\)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với \({u_1} = - 1\) và q = \( - \frac{1}{{10}}\).

Vậy \(S = \frac{{ - 1}}{{1 - \left( { - \frac{1}{{10}}} \right)}} = - \frac{{10}}{{11}}\).

3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số

3.1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:

- Dạng I: Cho h/s \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne {x_0}}&{}\end{array}\\{f_2}(x)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi\begin{array}{*{20}{c}}{x = {x_0}}&{}\end{array}}\end{array}\end{array} \right.\)

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: Tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\)

B3: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) = f(x0) \( \Rightarrow \) KL liên tục tại x0

- Dạng II: Cho h/s \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge {x_0}}&{}\end{array}\\{f_2}(x)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi\begin{array}{*{20}{c}}{x < {x_0}}&{}\end{array}}\end{array}\end{array} \right.\)Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0?

3.2 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn

B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm điều kiện của tham số để hàm số liên tục tại x0

Phương pháp chung:

B1: Tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\)

B3: Hàm số liên tục tại \({x_0}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f\left( {{x_0}} \right)\)

3.4 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có nghiệm trên \(\left[ {a;b} \right]\):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) < 0

B2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên \(\left[ {a;b} \right]\)

B3: Kết luận về số nghiệm của PT trên \(\left[ {a;b} \right]\)

Ví dụ: CMR phương trình \({x^7} + 3{x^5} - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^7} + 3{x^5} - 2\) liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]

Và \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) = - 2 < 0}\\{f\left( 1 \right) = 2 > 0}\end{array}} \right\} \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\)

Nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm \({x_0} \in \left( {0;1} \right)\).

Phần 2

ĐẠO HÀM

1. BẢNG ĐẠO HÀM

2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U = U(x), V=V(x)).

\({\left( {U \pm V} \right)^\prime } = U' \pm V'\)

\(\left( {{\rm{U}}{\rm{.V}}} \right){\rm{'}} = {\rm{U'}}{\rm{.V}} + {\rm{V'}}{\rm{.U}}\)

\((k.U)' = k.U'\)(k là hằng số)

\({\left( {\frac{{\rm{U}}}{{\rm{V}}}} \right)^{\prime } = \frac{{{\rm{U'}}{\rm{.V}} - {\rm{V'}}{\rm{.U}}}}{{{{\rm{V}}}{\rm{2}}}}}\)

3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[u(x)] , \(g'\)x = \({f_u}'\).\({u_x}'\)

4. Đạo hàm cấp cao của hàm số

Đạo hàm cấp 2: \(f''(x) = \left[ {f'(x)} \right]'\)

Đạo hàm cấp n: \({f^{(n)}}(x) = \left[ {{f^{(n - 1)}}(x)} \right]'\)

5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

Lưu ý:

f’(\({x_0}\)) = hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) tại điểm M\(\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\)

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

1. Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao của các hàm số

Sử dụng các quy tắc và bảng đạo hàm để tính.

2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

* Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm M\(\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*)

* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước:

Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên \({k_{d'}} = {k_d}\)

B2: Gọi x0là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= \({k_{d'}}\) (3)

B3: Giải (3) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).

B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước

Phương pháp:

B1: Tiếp tuyến d’ // d nên \({k_{d'}} = - \frac{1}{{{k_d}}}\)

B2: Gọi x0là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= \({k_{d'}}\) (4)

B3: Giải (4) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).

B4: Thay các kết quả vừa tìm vào phương trình dạng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập.

* Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước

Phương pháp:

B1: Gọi d là tiếp tuyến cần viết và M\(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) là tiếp điểm. Khi đó d có phương trình dạng

\(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)

B2: Cho d đi qua A ta được \({y_A}^{} - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {{x_A} - {x_0}} \right)\) (5)

B3: Giải (5) tìm \({x_0} \Rightarrow {y_0}?\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần viết.

Phần 3

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc

Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng \({90^0}\).

Phương pháp 2: \(a \bot b \Leftrightarrow \vec u.\vec v = 0\) (\(\vec u,{\rm{ }}\vec v\) lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).

Phương pháp 3: Chứng minh \(a \bot (\alpha ) \supset b\) hoặc \(b \bot (\beta ) \supset a\)

Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( \(a \bot b \Leftrightarrow a \bot b'\) với b’ là hình chiếu của đường thẳng b lên mp chứa đường thẳng a).

* LƯU Ý: Trong các phương pháp trên thì phương pháp 3 là thông dụng nhất.

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).

Phương pháp 1: Chứng minh: d \(\bot\) a và d \(\bot\) b với a \( \cap \) b = M; a,b \( \subset \) (P)

Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a \(\bot\) (P)

Phương pháp 3: Chứng minh: d \( \subset \) (Q) \(\bot\) (P), d \(\bot\) a = (P) \( \cap \) (Q).

Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) \( \cap \) (R) và (Q) \(\bot\)(P), (R) \(\bot\) (P).

Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.

Phương pháp 1: Chứng minh (P) \( \supset \) a \(\bot\) (Q).

Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) \(\bot\) (Q).

Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a \(\bot\) (Q).

Dạng 4: Tính góc giữa 2 đường thẳng a và b.

Phương pháp:

- Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ \( \cap \) b’ = O)

- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).

Dạng 5: Tính góc giữa đường thẳng d và mp(P).

Phương pháp: Gọi góc giữa đường thẳng d và mp(P) là \(\varphi \)

+) Nếu d \(\bot\) (P) thì \(\varphi \) = 900.

+) Nếu d không vuông góc với (P):

- Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)

- Khi đó: \(\varphi \) = (d,d’)

Dạng 6: Tính góc \(\varphi \) giữa hai mp (P) và (Q).

Phương pháp 1:

Xác định a \(\bot\) (P), b \(\bot\) (Q).

Tính góc \(\varphi \)= (a,b)

Phương pháp 2: Nếu (P) \( \cap \) (Q) = d

Tìm (R) \(\bot\) d

Xác định a = (R) \( \cap \) (P)

Xác định b = (R) \( \cap \) (Q)

Tính góc \(\varphi \) = (a,b).

Dạng 7: Tính khoảng cách.

Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:

Phương pháp:

\(d(M,a) = MH\) (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).

Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):

Phương pháp:

- Tìm hình chiếu H của A lên (P).

- d(M,(P)) = AH

Tính khoảng giữa đt D và mp (P) song song với nó:

\(d\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right)\) (M là điểm thuộc D).