Công thức tính trung bình xác suất thống kê năm 2024
|
Định nghĩa. Hàm $g(X_1, · · · , X_n)$ với $(X_1, · · · , X_n)$ là một mẫu ngẫu nhiên được gọi là một hàm mẫu hay một thống kê. Show
Vì mẫu $(X_1, · · · , X_n)$ là một véctơ ngẫu nhiên nên $g(X_1, · · · , X_n)$ là một BNN. Có hai nhóm thống kê mẫu quan trọng đặc trưng cho BNN của tổng thể:
Xét mẫu ngẫu nhiên $(X_1, · · · , X_n)$ của BNN $X$, thống kê $$\overline{X}=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+...+X_n)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}{n} X_i$$ gọi là trung bình mẫu. Với mẫu cụ thể $(x_1, · · · , x_n)$ thì: $$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}{n} x_i$$ là giá trị mà trung bình mẫu nhận được ứng với mẫu đã cho. Nếu số liệu cho dưới dạng bảng thì: $\overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{k} x_in_i$. Một cách tương tự trung bình mẫu, phương sai mẫu được định nghĩa là kì vọng của độ lệch bình phương các thành phần của mẫu với trung bình mẫu và kí hiệu: $$\hat{S}2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}{n}(X_i-\overline{X})2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}{n}X_i^2-(\overline{X})^2.$$ Nếu mẫu cho dưới dạng bảng thì ta có: $$\hat{S}2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}{n}(x_i-\overline{X})2n_i=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}{n}x_i^2n_i-(\overline{X})^2.$$ Chú ý.
Ví dụ: Tuổi thọ (đơn vị: 10 giờ) một loại linh kiện do công ty A sản xuất ra được kiểm tra ngẫu nhiên, kết quả ghi thành bảng sau: P H A H A P H A P H A P H P A P H P A C p 1 p 1 p C p 1 p p C p 1 p C p 1 p C C p 1 p C p 1 p. Ví dụ 1. Xác suất chữa khỏi bệnh A của một phương pháp điều trị là 95%. Với 10 người bị bệnh A được điều trị bằng phương pháp này, tính xác suất để a) có 8 người khỏi bệnh. b) có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh. Giải Do việc khỏi bệnh của người này và người khác là độc lập nhau nên số người khỏi bệnh trong 10 người điều trị thỏa lược đồ Bernoulli với n 10 và p 0,95. Theo công thức (1). Ta có P H = C 0,05 0,95ø ùk 10 k kø ù10 k a) Xác suất để có 8 người khỏi bệnh là P H = C 0,05 0,95ø ù 8 810 ø ù ø ù 8 10 8 0,0746. b) Biến cố: “có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh” là biến cố đối của biến cố : “có 10 người khỏi bệnh” nên có xác suất là ø ù ø ù ø ù 10 10 10 10 P H = 1 C 0,05 0,95k 9 10 0,4013. **1. Tóm tắt chương 1
(A và lần lượt là số khả năng thuận lợi cho A và ). 2. Tính chất:
ii) P A 1 P A .ø ù ø ù3. Công thức cộng: i) Nếu A ,A ,...,A1 2 n xung khắc với nhau từng đôi một thì P A Aø 1 2 A P A P A 2 ù ø ù ø ù 1 2 P A .ø ù 2 ii) Với A và B là hai biết cố bất kỳ P A B P A P B P AB .ø ù ø ù ø ù ø ù 4. Công thức xác suất có điều kiện: ø ù ø ù ø ù ø ù P A B P AB , P B 0. P B 5. Công thức nhân: i) Nếu A ,A ,...,A1 2 n bất kỳ thì P A A .. P A P A A P A A A ... .ø 1 2 nù ø ù 1 ø 2 1ù ø n 1 2 n 1ù ii) Nếu A ,A ,...,A1 2 n độc lập với nhau từng đôi một thì P A A A P A P A P A .ø 1 2 2 ù ø ù ø ù ø ù 12 n 6. Công thức đầy đủ (toàn phần) và công thức Bayes: Với B ,B ,...,B1 2 n là họ đầy đủ các biến cố và với mọi biến cố A, ta có i) Công thức đầy đủ ø ù ø ù ø ù n P A i=1P B P A B .i i ii) Công thức Bayes ø ù ø ù ø ùø ù ø ù k k k n i=1 i i P B A P B P A B , k 1,2,...,n. P B P A B 7. Công thức Bernoulli: Đặt H :k P H =P k = C p 1 p .ø ù ø ùk n k kn ø ù n k 1. Bài tập Biểu diễn các biến cố Bài số 1. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày các cách biểu diễn qua Ak và qua giản đồ Venn các biến cố sau đây: A: tất cả đều xấu, B: có ít nhất một sản phẩm xấu, C: có ít nhất một sản phẩm tốt, 3. Hàm phân phối xác suất: Cho f : là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X, hàm số F : , được xác định bởi i b a 2. Hàm phân phối (tích lũy): Cho f : là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X, hàm số F : , được gọi là hàm phân phối của biến số ngẫu nhiên liên x F x P X x f t dt 1. Trung bình: i 2. Phương sai i 3. Độ lệch chuẩn: 1. Phân phối nhị thức: X B(n;p) P X k C p (1 p) ,ø ù k kn n k với k 0,1,2,...,n. ii) Trung bình: X np, iii) Phương sai: 2 X np(1 p), iv) Giá trị tin chắc nhất : M X k , 0 ø ù 0 với k 0 là số nguyên thỏa bất phương trình np q k np q 1. 0 2. Phân phối siêu bội: X H(N,K,n) k n kK N K nN P X k C C , C với max{0,n N K} k min{n,K}. ii) Trung bình: X np, iii) Phương sai: 2 X np(1 p) N nN 1 . 3. Phân phối Poisson : X P( ) ø ù k P X k e k!,với k 0,1,2,...,n. ii) Trung bình: X , iii) Phương sai: 2 X. 4. Phân phối chuẩn tắc: X N 0,1 ø ù x t 2 0 2 0 (x) 1 e dt. 2 ii) Trung bình: X 0 , iii) Phương sai: 2 X 1 , 5. Phân phối chuẩn: X N , ø 2 ù
Ta có 0 ø ùC 1 2 2 0,45 C 1,64 Khoảng ước lượng tối đa của p ####### p 0 ; f C f 1 fø ù 0; 0,1577 n Khoảng ước lượng tối thiểu của p ####### p f C f 1 fø ù; 1 0,0823; 1 . n
(3), ta có ø ù 2 20 nC f 1 f 1014,18. Vậy cần quan sát ít nhất 1015 người. **3. Tóm tắt chương 3
k i 1 i i 12 k X 1 f x , n f f f. n ii) Mốt (Mode): Mốt là lượng biến có tần số lớn nhất. +) Đối với đại lượng biến có khoảng cách tổ ø ù ø ù0(min) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 M M M M M M M M M x d F F F F F F ii) Số trung vị: +) Trường hợp số đơn vị tổng thể lẻ (n 2m 1 ). Số trung vị sẽ là đại lượng ở vị trí thứ (m 1 ): Me X . m 1 +) Trường hợp số đơn vị tổng thể chẵn (n 2m ). Số trung vị sẽ là đại lượng giữa vị trí thứ ø ùm và (m 1 ): MeX Xm 2 m 1. Đối với dãy số có lượng biến là khoảng cách tổ e 1 e(min) e e i M e M M M 1 f S M X d 2 f 2. Các đặc trưng đo lường khuỳnh hướng phân tán
n 1 ii) Độ lệch chuẩn có hiệu chỉnh: SX S. 2 X ii) Tứ phân vị (Quartiles): là chia dãy số thành 4 phần, mỗi phần có số đơn vị bằng nhau. Cách xác định tứ phân vị cho tài liệu phân tổ có khoảng cách tổ Tổ chứa phân vị thứ i có tần số tích lũy n 1 4 i. Tứ phân vị thứ 1: 1(min) 1 1 1 1 i Q 1 Q Q Q 1 f S Q X d 4. f Tứ phân vị thứ 3 : 3(min) 3 3 1 3 i Q 3 Q Q Q 3 f S Q X d 4. f 3. Bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình i) Ước lượng trong phân phối N ,ø 20 ù , ( 20 biết)+) Với mức ý nghĩa . Ta có : 0 ø ùC 1 2 Khoảng tin cậy đối xứng: XCσn 0 ; XCσn 0 . +) Với mức ý nghĩa . Ta có : 0 ø ùC 1 2 2 Khoảng tin cậy phía phải: X Cσ 0 ;. n Khoảng tin cậy phía trái: ;X+Cσn 0 . ii) Ước lượng trong phân phối N ,ø 2 ù , ( 2 chưa biết)+) Với mức ý nghĩa . Ta có: C t n 1 /2ø ù Khoảng tin cậy đối xứng: XCSnX; XCSnX. +) Với mức ý nghĩa . Ta có: C t n 1 ø ù Khoảng tin cậy phía : ø ù n 2 i 1 i 0 1 α 2 X μ ;. χ (n 1) 5. Bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ
Khoảng ước lượng đối xứng : p f C f 1 føn ù;f C f 1 føn ù. ii) Với mức ý nghĩa . Ta có : 0 ø ùC 1 2 2 Khoảng tin cậy phía phải:p f C f 1 føn ù ; 1. Khoảng tin cậy phía trái: p 0 ; f C f 1 føn ù. 3. Bài tập Bài số 1. Quan sát thời gian cần thiết để sản xuất một chi tiết máy, ta thu được số liệu cho bảng sau Khoảng thời gian (phút) Số lần quan sát 20 – 25 2 25 – 30 14 30 – 35 26 35 – 40 32 40 – 45 14 45 – 50 8 50 – 55 4 Tính trung bình mẫu X, phương sai mẫu có hiệu chỉnh S 2 X. Đáp số: X 36,6; S 45,1414. 2 X Bài số 2. Có tài liệu phân tổ về năng suất lao động của công nhân một doanh nghiệp trong kỳ nghiên cứu như sau: Năng suất lao động (Sp/ca) Số công nhân 0 1 2 0 1 3 0 2 3 1 1 2 1 1 3 1 2 H : ; H : ; H : H : H : H : 3 üü ü ýþ ý ýþþ Bước 5. Tính chênh lệch về hạng trung bình giữa các nhóm: Ta có 12 1 2 1 2 D R R 79 103 7, n n 8 6 13 1 3 1 3 D R R 79 28 5, n n 8 6 23 2 3 2 3 D R R 103 28 12, n n 6 6 Bước 6. Tính giá trị kiểm định 12 2 1 2 C (k 1) n(n 1) 1 1 5,99120 21 1 1 7, 12 n n 12 8 6 13 2 1 3 C (k 1) n(n 1) 1 1 5,99120 21 1 1 7, 12 n n 12 8 6 23 2 2 3 C (k 1) n(n 1) 1 1 5,99120 21 1 1 8, 12 n n 12 6 6 Bước 7. So sánh và kết luận - Ta có D C 12 12 nên chưa đủ cơ sở bác bỏ H 0. Kết luận: Tổng giá trị sản phẩm sản xuất ngành A và B không có sự khác biệt. - Ta có D C 13 13 nên chưa đủ cơ sở bác bỏ H 0. Kết luận: Tổng giá trị sản phẩm sản xuất ngành A và C không có sự khác biệt. - Ta có D C 23 23 nên ta bác bỏ H 0. Kết luận: Tổng giá trị sản phẩm sản xuất ngành B và C có sự khác biệt. 4. Tóm tắt chương 4 A. Kiểm định tham số
H : μ = μ H : μ μ üý þ Cặp giả thuyết thống kê : 00 1 o H : μ = μ H : μ μ üý þ Nếu giả thuyết H 0 đúng thì ta có: ø 0 ù ø ùX T X μ n St n 1 S Với mức ý nghĩa , ta có C t n 1 /2ø ù ta thu được miền bác bỏ: ø 0 ùα X X μ n W T S ; T C ü ü ý ý þ þ ii) Một phía (Phía phải) Cặp giả thuyết thống kê : 00 1 o H : μ = μ H : μ > μ ü ýþ Nếu giả thuyết H 0 đúng thì ta có: ø 0 ù ø ùX X μ n T S St n 1 Với mức ý nghĩa , ta có C t n 1 ø ù ta thu được miền bác bỏ: ø 0 ùα X X μ n W T S ; T C ü ü ý ý þ þ iii) Một phía (Phía trái) Cặp giả thuyết thống kê : 00 1 o H : μ = μ H : μ < μ ü ýþ Nếu giả thuyết H 0 đúng thì ta có: ø 0 ù ø ùX X μ n T S St n 1 Với mức ý nghĩa , ta có C t n 1 ø ù ta thu được miền bác bỏ: ø 0 ùα X X μ n W T S ; T C ü ü ý ý þ þ Nếu T Wqs thì bác bỏ H , 0 thừa nhận H. 1 Nếu T Wqs thì chưa có cơ sở để bác bỏ H. 0
Cặp giả thuyết thống kê : 00 1 0 H : p = p H : p p üý þ Nếu giả thuyết H 0 đúng thì ta có: ø ù ø ù 0 ø ù 0 0 Z = f p n N 0; p 1 p Với mức ý nghĩa , ta có 0 ø ùC 1 2 ta thu được miền bác bỏ: ø ù ø ù α 0 0 0 W Z = f p n; Z C p 1 p ü ü ý ý þ þ ii) Một phía (Phía phải) Cặp giả thuyết thống kê : 00 1 0 H : p = p H : p > p ü ýþ Nếu giả thuyết H 0 đúng thì ta có: ø ù ø ù 0 ø ù 0 0 Z = f p n N 0; p 1 p Với mức ý nghĩa , ta có 0 ø ùC 1 2 2 ta thu được miền bác bỏ: ø ù ø ù α 0 0 0 W Z = f p n; Z C p 1 p ü ü ý ý þ þ iii) Một phía (Phía trái) Cặp giả thuyết thống kê : 00 1 0 H : p = p H : p < p ü ýþ Nếu giả thuyết H 0 đúng thì ta có: ø ù ø ù 0 ø ù 0 0 Z = f p n N 0; p 1 p Với mức ý nghĩa , ta có 0 ø ùC 1 2 2 ta thu được miền bác bỏ: ø ù ø ù α 0 0 0 W Z = f p n; Z C p 1 p ü ü ý ý þ þ Nếu Z Wqs thì bác bỏ H , 0 thừa nhận H. 1 Nếu Z Wqs thì chưa có cơ sở để bác bỏ H. 0
Bài số 2. Khối lượng các bao gạo là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N 50; 0,01ø ù. Có nhiều ý kiến khách hàng phản ánh là khối lượng bị thiếu. Một nhóm thanh tra đã cân ngẫu nhiên 25 bao gạo trong kho, kết quả như sau : Khối lượng bao gạo (kg) 48-48,5 48,5-49 49-49,5 49,5-50 50-50, Số bao 2 5 10 6 2 Hãy xem ý kiến khách hàng có đúng không? Với mức ý nghĩa 5%. Đáp số: Z 36,5 , bác bỏ. Bài số 3. Trong điều kiện chăn nuôi bình thường, lượng sữa trung bình của 1 con bò là 14kg/ngày. Nghi ngờ điều kiện chăn nuôi kém đi làm cho lượng sữa giảm xuống, người ta điều tra ngẫu nhiên 25 con và tính được lượng sữa trung bình của 1 con trong 1 ngày là 12,5 và độ lệch tiêu chuẩn 2,5. Với mức ý nghĩa 5%. Hãy kết luận điều nghi ngờ nói trên. Giả thiết lượng sữa bò là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Đáp số: T 3 , bác bỏ. Bài số 4. Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình một khách hàng mua 25 ngàn đồng thực phẩm trong ngày. Nay cửa hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy trung bình một khách hàng mua 24 ngàn đồng trong ngày và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 2 ngàn đồng. Với mức ý nghĩa là 5%, thử xem có phải sức mua của khách hàng hiện nay có thực sự giảm sút hay không. Đáp số: T 1,9365 , bác bỏ. **5. Tóm tắt chương 5
0 1 2 k 1 0 H : H : H sai ü ýþ Bước 2. Tính trung bình mẫu
k nj 1nj - Trung bình mẫu nhóm j øj 1,2,...,k ù: nj j ji 1 ij X 1 X n - Trung bình mẫu chung của k nhóm: k nj j 1 i 1 ij k j 1 j X X n 2 ijk ij* 2 i,j,k i,j SSE SST SSA SSB SSAB X 1 X r Bảng ANOVA Nguồn SS df MS F Yếu tố A SSA h 1 MSA SSA h 1 A F MSA MSE Yếu tố B SSB c 1 MSB SSB c 1 B F MSB MSE Tương tác AB SSAB ø ùø ùh 1 c 1 ø ùø ù MSAB SSAB h 1 c 1 AB F MSAB MSE Sai số SSE hc r 1ø ù ø ù MSE SSE hc r 1 Tổng SST hcr 1 Bước 3. So sánh và kết luận
5. Bài tập Bài số 1. Trong một chủ đề nghiên cứu, người ta muốn tìm hiểu xem doanh số bán hàng và vị trí cửa hàng trong cùng một chuỗi cửa hàng có sự phụ thuộc vào nhau hay không. Người ta hiến hành khảo sát ngẫu nhiên trên một số cửa hàng và doanh số của các cửa hàng này thì thu được bảng số liệu sau: Cửa hàng Tháng A B C 1 22,2 24,6 22, 4 19,9 23,1 21, 6 20,3 22 23, 8 21,4 23,5 24, 9 21,2 23,6 22, 11 21 22,1 23, 12 20,3 23, **6. Tóm tắt chương 6
1 2 n n i=1 i y y + y + +y 1 y. n n +) Dãy số thời điểm: có 2 trường hợp
1 2 n 1 n n 1 i i 1 i 1 1 y + y + + y 1 y y 221 y y. n 1 n 1 2
t y t y t y t y y = t t t =. t ii) Lượng tăng (giảm) tuyệt đối +) Lượng tăng (giảm) tuyệt đối liên hoàn : i y y , i 2,3,...,n i 1 +) Lượng tăng (giảm) tuyệt đối định gốc: i y y , i 2,3,...,n 1 +) Mối liên hệ giữa lượng tăng (giảm) liên hoàn và lượng tăng (giảm) định gốc n i 2 i n.+) Lượng tăng (giảm) tuyệt đối bình quân: y ynn 1 1. iii) Tốc độ phát triển +) Tốc độ phát triển liên hoàn: i i i 1 t = y , i 2,3,...,n. y +) Tốc độ phát triển định gốc: i i 1 T = , i 2,3,...,n y +) Mối liên hệ giữa tốc độ phát triển liên hoàn và tốc độ phát triển định gốc n |
