Chương 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác

Bài viết này của Monkey sẽ chia sẻ chi tiết các kiến thức từ cơ bản đến nâng cao của hàm số lượng giác trong toán học. Việc này sẽ giúp bạn dễ dàng tổng hợp, cũng như ghi nhớ tốt hơn các kiến thức đã học trên trường lớp.

1. Hàm số lượng giác là gì?

Các hàm lượng giác là các hàm toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. 

2. Các công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất

Sau đây là các công thức hàm số lượng giác mà bạn thường gặp phải trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia.

2.1 Công thức hàm số lượng giác cơ bản

2.2 Công thức cộng trong hàm số lượng giác

Mẹo dùng để nhớ nhanh các công thức cộng trong hàm số là câu nói “Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.”

2.3 Công thức các cung liên quan trên đường tròn lượng giác

Hai góc đối nhau:

• cos [-x] = cos x

• sin [-x] = -sin x

• tan [-x] = -tan x

• cot [-x] = -cot x

Hai góc bù nhau:

• sin [π - x] = sin x

• cos [π - x] = -cos x

• tan [π - x] = -tan x

• cot [π - x] = -cot x

Hai góc phụ nhau:

• sin [π/2 - x] = cos x

• cos [π/2 - x] = sin x

• tan [π/2 - x] = cot x

• cot [π/2 - x] = tan x

Hai góc hơn kém π:

• sin [π + x] = -sin x

• cos [π + x] = -cos x

• tan [π + x] = tan x

• cot [π + x] = cot x

Hai góc hơn kém π/2:

• sin [π/2 + x] = cos x

• cos [π/2 + x] = -sin x

• tan [π/2 + x] = -cot x

• cot [π/2 + x] = -tan x

Mẹo nhớ nhanh công thức như sau: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π.”

2.4 Công thức nhân

2.5 Công thức hạ bậc trong hàm số lượng giác

2.6 Công thức biến tổng thành tích

Mẹo giúp dễ dàng ghi nhớ công thức hơn: “Cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.”

2.7 Công thức biến tích thành tổng

2.8 Nghiệm của phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt:

• sin a = 0 ⇔ a = kπ; [k ∈ Z]

• sin a = 1 ⇔ a = π/2 + k2π; [k ∈ Z]

• sin a = -1 ⇔ a = -π/2 + k2π; [k ∈ Z]

• cos a = 0 ⇔ a = π/2 + kπ; [k ∈ Z]

• cos a = 1 ⇔ a = k2π; [k ∈ Z]

• cos a = -1 ⇔ a = π + k2π; [k ∈ Z]

Xem thêm: Khái niệm và công thức của số hữu tỉ, sự khác biệt giữa số hữu tỉ và số vô tỉ là gì?

3. Phương trình lượng giác cơ bản và các trường hợp đặt biệt

3.1 Phương trình sin x = sin α, sin x = a

Các trường hợp đặc biệt:

3.2 Phương trình cos x = cos α, cos x = a

Các trường hợp đặc biệt:

3.3 Phương trình tan x = tan α, tan x = a

Các trường hợp đặc biệt:

3.4 Phương trình cot x = cot α, cot x = a

Các trường hợp đặc biệt:

3.5 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Có dạng at + b = 0 với a, b ∈ Ζ, a ≠ 0,với t là một hàm số lượng giác nào đó. Công thức giải như sau:

4. Đạo hàm hàm số lượng giác cơ bản

Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin[x], cos[x] và tan[x].

5. Cách tính giới hạn hàm số lượng giác hay nhất

Áp dụng giới hạn đặc biệt:

Các bước tìm giới hạn hàm số lượng giác của

Bước 1: Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân đôi, công thức cộng, công thức biến đổi,… để biến đổi hàm số lượng giác f[x] về cùng dạng giới hạn đặc biệt nêu trên.

Bước 2: Áp dụng các định lý về giới hạn để tìm giới hạn đã cho.

6. Cách tính chu kỳ hàm số lượng giác dễ hiểu nhất

Hàm số y= f[x] xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x+T ∈ D;x-T ∈ D và f[x+T]=f[x]. Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T.

Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác [nếu có]:

• Hàm số y = k.sin[ax+b] có chu kì là T= 2π/|a|

• Hàm số y= k.cos[ax+ b] có chu kì là T= 2π/|a|

• Hàm số y= k.tan[ ax+ b] có chu kì là T= π/|a|

• Hàm số y= k.cot [ax+ b ] có chu kì là: T= π/|a|

• Hàm số y= f[x] có chu kì T1; hàm số T2 có chu kì T2 thì chu kì của hàm số y= a.f[x]+ b.g[x] là T = bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Bài tập mẫu:

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y= sinx- x

B. y= cosx

C. y= x.sin x

D. y=[x2+1]/x

Đáp án: Chọn B

Tập xác định của hàm số: D=R .

mọi x ∈ D , k ∈ Z ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D,cos[x+2kπ]=cosx .

Vậy y= cosx là hàm số tuần hoàn.

Trên đây là tất cả các thông tin về hàm số lượng giác mà bạn cần ghi nhớ. Hy vọng, với những chia sẻ thực tế trên đây của Monkey, sẽ giúp bạn dễ dàng chinh phục các đề thi sắp tới. Xin được đồng hành cùng bạn.