Chứng minh dấu hiệu : hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông
Skip to content
Hình chữ nhật là một hình quen thuộc trong đời sống và được ứng dụng rộng rãi hằng ngày. Các bạn học sinh cũng đã được làm quen với Hình chữ nhật từ cấp 1, từ các hình dán, vẽ cơ bản đến các khối lắp ghép phức tạp, ngay đến bộ bàn ghế ngồi học cũng thiết kế theo Hình chữ nhật… Vậy đâu là khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật mà các bạn cần chú ý để tiếp thu và giải bài tập được tốt hơn? Hãy cùng Gia Sư Việt khám phá qua bài viết dưới đây nhé !
I. Khái niệm về Hình chữ nhật
Hình chữ nhật là Tứ giác có bốn góc vuông.
Từ khái niệm và hình vẽ trên, ta có: Nếu ABCD là Hình chữ nhật thì Góc A = B = C = D = 90°
II. Các tính chất của Hình chữ nhật
Hình chữ nhật là có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.
– Tính chất 1: Trong hình chữ nhật, các cạnh đối bằng nhau.
Ví dụ: Hình chữ nhật ABCD => AB = CD và AD = BC
– Tính chất 2: Trong hình chữ nhật, các góc đối bằng nhau.
Ví dụ: Hình chữ nhật ABCD => Góc A = B = C = D = 90°
III. Các định lí quan trọng về Hình chữ nhật
– Định lí 1: Trong Hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ngược lại, nếu tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có AC = BD và cắt nhau tại O, trong đó OA = OB = OC = OD, chứng minh Tứ giác ABCD là Hình chữ nhật.
Xét tam giác ABD có:
OA = OB = OD [gt] => ∆ABD vuông tại A
[ Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền trong tam giác vuông ]
Chứng minh tương tự, ta có:
∆ABC vuông tại B, ∆BCD vuông tại C, ∆CDA vuông tại D
=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do có 4 góc vuông.
– Định lí 2: Áp dụng vào Tam giác
+ Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
+ Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
Xét Δ AHC vuông có I là trung điểm của AC
⇒ HE là đường trung tuyến của Δ AHC.
⇒ HI = ½AC = AI = IC.
Mà E đối xứng với H qua I ⇒ HI = IE.
Khi đó ta có HI = IE = AI = IC.
+ Xét Δ HCE có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh HE
mà CI = ½ HE ⇒ Δ HCE vuông tại C.
Chứng minh tương tự ta có: Δ AHE, Δ AEC đều là các tam giác vuông tại A, E.
Xét tứ giác AHCE có Góc EAH = AHC = HCE = CEA = 90°
⇒ Tứ giác AHCE là hình chữ nhật. [ đ.p.c.m ]
IV. Cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật
Cách 1: Tứ giác có ba góc vuông
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có ∆ABC vuông tại A,∆BCD vuông tại B, ∆CDA vuông tại C. Tứ giác ABCD là hình gì. Vì sao?
Theo bài ra, ta có:
∆ABC vuông tại A => Góc BAC = 90°
∆BCD vuông tại B => Góc CBD = 90°
∆CDA vuông tại C => Góc DCA = 90°
=> Góc ADC = 90° [Tổng 4 góc của một tứ giác bừng 360 độ]
=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do có bốn góc vuông. [ đ.p.c.m ]
Cách 2: Hình thang cân có một góc vuông
Ví dụ: Cho hình thang cân ABCD với AB // CD, giả sử góc D = 90°. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật
Theo giả thiết: Góc D = 90°
Ta có: AB // CD [ABCD là hình thang]
=> Góc A + D = 180° [hai góc trong cùng phía]
=> Góc A = 90°
Lại có Góc A + Góc C = 180° => Góc C = 90°
Vậy tứ giác ABCD có 3 góc A = B = C = 90°
=> ABCD là Hình chữ nhật. [ đ.p.c.m ]
Cách 3: Hình bình hành có một góc vuông
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM // BC [M thuộc AB]. Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC vuông tại C => AC ⊥ BC = > AP ⊥ PM => ∆APM vuông cân tại P
=> AP = PM
Lại có: AP = CQ Mà PM // CQ
=> MNPQ là hình bình hành [1]
Mặt khác: Góc C = 90° [2]
Từ [1] và [2] => Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật [ đ.p.c.m ]
Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?
Theo bài ra, ta có: G là trọng tâm của ΔABC.
⇒ GB = 2GM và GC = 2GN
Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M ⇒ MG = MD hay GD = 2GM
Suy ra: GB = GD [3]
Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N ⇒ NG = NE hay GE = 2GN
Suy ra: GC = GE [4]
Từ [3] và [4] ⇒ Tứ giác BCDE là Hình bình hành do hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. [5]
Xét ΔBCM và ΔCNB, có:
BC cạnh chung Góc BCM = CBN [tính chất tam giác cân]
CM = BN [vì AB = AC]
Suy ra: ΔBCM = ΔCBN [c.g.c]
⇒ Góc B1 = C1 ⇒ ΔGBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE [6]
Từ [5] và [6], suy ra: BCDE là hình chữ nhật do là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. [ đ.p.c.m ]
Lời kết: Vậy là các khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình chữ nhật đã được Gia Sư Việt phân tích rõ ràng ở trên. Với các ví dụ minh họa và bài tập chi tiết, hi vọng đây sẽ là nguồn tài liệu quý giá để các bạn làm bài và ôn thi hiệu quả. Ngoài ra, nếu cần tìm gia sư Toán đồng hành trong học tập, phụ huynh và học sinh vui lòng liên hệ qua số 096.446.0088 để được tư vấn và lựa chọn giáo viên, sinh viên dạy kèm phù hợp nhất.
Tham khảo thêm:
♦ Top 10 địa chỉ cung cấp gia sư tại quận Hoàng Mai uy tín nhất
♦ Khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình vuông
♦ Khái niệm, tính chất & cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành
Bộ câu hỏi trắc nghiệm Toán học lớp 8 có đáp án, chọn lọc năm 2021 – 2022 mới nhất gồm các câu hỏi trắc nghiệm đầy đủ các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dung cao. Hy vọng với tài liệu trắc nghiệm Toán học lớp 8 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, ôn tập và đạt điểm cao trong các bài thi trắc nghiệm môn Toán học 8
Trắc nghiệm Toán học 8 Hình vuông
Bài 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB; BC; CD và DA. Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì
A. Hình bình hành
B. Hình thoi
C. Hình chữ nhật
D. Hình vuông
* Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác .
Suy ra: MN// AC và
* Xét tam giác ACD có P và Q lần lượt là trung điểm của CD và AD nên PQ là đường trung bình của tam giác
Suy ra: PQ // AC và
Từ [1] và [2] suy ra: MN// PQ và MN = PQ
Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.
* Ta có
Hình bình hành MNPQ có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật
Chọn đáp án C
Bài 2: Hãy chọn đáp án sai trong các phương án sau đây ?
A. Trong hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
B. Trong hình vuông có hai đường chéo không vuông góc với nhau.
C. Trong hình vuông thì hai đường chéo đồng thời là hai trục đối xứng của hình vuông.
D. Trong hình vuông có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau.
+ Trong hình vuông có hai đường chéo vuông góc với nhau, bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
+ Hai đường chéo trong hình vuông đồng thời là trục đối xứng của hình vuông đó.
→ Đáp án B sai.
Chọn đáp án B.
Bài 3: Trong các dấu hiệu nhận biết sau thì dấu hiệu nào không đủ điều kiện để tứ giác là hình vuông?
A. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
B. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông gócvới nhau là hình vuông.
C. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
D. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Dấu hiệu nhận biết hình vuông:
+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.
+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
→ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau thì không là hình vuông.
→ Đáp án D sai.
Chọn đáp án D.
Bài 4: Tìm câu nói đúng khi nói về hình vuông?
A. Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
B. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
C. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
D. Các phương án đều đúng.
Dấu hiệu nhận biết hình vuông:
+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.
+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
⇒ Hình vuông vừa là hình chữ nhật, cũng vừa là hình thoi.
⇒ Cả 3 phương án đều đúng.
Chọn đáp án D.
Bài 5: Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 4cm thì độ dài đường chéo của hình vuông là ?
A. 8cm B. √ 32 cm
C. 5cm D. 4cm
Hình vuông có độ dài cạnh là a [ cm ]
Áp dụng định lý Py – to – go thì độ dài đường chéo của hình vuông là a√ 2 [ cm ]
Do đó với a = 4 thì độ dài đường chéo là 4√ 2 = √ 32 [ cm ]
Chọn đáp án B.
Bài 6: Hình bình hành có 1 góc vuông là:
A. Hình thoi
B. Hình chữ nhật
C. Hình vuông
D. Hình thang cân.
Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật
Chọn đáp án B
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có AC = 10√2cm . Tính diện tích hình vuông?
A. 200 cm2 B. 100 cm2
C. 400 cm2 D. 50cm2
Gọi độ dài cạnh hình vuông là a.
Suy ra: AB = BC = CD = D = a
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:
Do đó, diện tích hình vuông đã cho là: S = a2 = 100 cm2
Chọn đáp án B
Bài 8: Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Hình vuông có diện tích 400cm2. Tính OA?
A. 10cm B. 20cm
C. 10√2cm D. 20√2cm
Diện tích hình vuông là: S = AB2 = 400 nên AB = 20 cm
Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = 202 + 202 = 800
Suy ra: AC = 20√2cm
Vì ABCD là hình vuông có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AC
Suy ra:
Chọn đáp án C
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có M; N và H lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC. Hỏi tứ giác AMHN là hình gì ? Chọn câu trả lời đúng nhất
A. Hình vuông
B. Hình chữ nhật
C. Hình thoi
D. Hình thang vuông
* Vì N và H lần lượt là trung điểm của AC và BC nên NH là đường trung bình của tam giác
Suy ra: NH// AB và
* Chứng minh tương tự, có MH là đường trung bìh của tam giác ABC nên:
MH// AN và
* Tứ giác AMHN có 2 các cạnh đối song song với nhau nên là hình bình hành
Lại có : ∠BAC = 90o nên tứ giác AMHN là hình chữ nhât.
* Theo giả thiết, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên AC = AB [3]
Từ [1]; [2] và [3] suy ra: NH = MH.
Hình chữ nhật AMHN có hai cạnh liền kề NH và MH bằng nhau nên là hình vuông
Chọn đáp án A
Bài 10: Hãy khoanh tròn vào phương án đúng nhất trong các phương án sau ?
A. Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.
B. Hình vuông là tứ giác có 4 góc bằng nhau.
C. Hình vuông là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
D. Hình vuông là tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau.
+ Tứ giác có 4 góc vuông là hình chữ nhật
Hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau là hình vuông.
⇒ Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.
Chọn đáp án A.