Lời giải của GV Vungoi.vn
Ta có đồ thị hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} - 6{x^2} + 9x\] như sau:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có thể suy ra số nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right] = m\] như sau:
\[\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 4\end{array} \right. \Rightarrow \] phương trình có $1$ nghiệm duy nhất.
\[\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right. \Rightarrow \] phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.
\[0 < m < 4 \Rightarrow \] phương trình có $3$ nghiệm phân biệt.
Xét phương trình \[{f^2}\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow {\left[ {f\left[ x \right]} \right]^3} - 6{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + 9f\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left[ x \right] = 0\\f\left[ x \right] = 3\end{array} \right.\]
Ta thấy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có $2$ nghiệm phân biệt, phương trình \[f\left[ x \right] = 3\] có $3$ nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình \[{f^2}\left[ x \right] = 0\] có $5$ nghiệm phân biệt
Xét phương trình \[{f^3}\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow f\left[ {{f^2}\left[ x \right]} \right] = 0 \Leftrightarrow {\left[ {{f^2}\left[ x \right]} \right]^3} - 6{\left[ {{f^2}\left[ x \right]} \right]^2} + 9{f^2}\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{f^2}\left[ x \right] = 0\\{f^2}\left[ x \right] = 3\end{array} \right.\]
Phương trình \[{f^2}\left[ x \right] = 0\] có $2 + 3 $ nghiệm phân biệt.
Phương trình \[{f^2}\left[ x \right] = 3 \Leftrightarrow {\left[ {f\left[ x \right]} \right]^3} - 6{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + 9f\left[ x \right] = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left[ x \right] \approx 3,88 \in \left[ {0;4} \right]\\f\left[ x \right] \approx 1,65 \in \left[ {0;4} \right]\\f\left[ x \right] \approx 0,46 \in \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \] phương trình \[{f^2}\left[ x \right] = 3\] có $9$ nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình \[{f^3}\left[ x \right] = 0\] có \[2 + 3 + {3^2}\] nghiệm phân biệt.
Xét phương trình \[{f^4}\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow f\left[ {{f^3}\left[ x \right]} \right] = 0 \Leftrightarrow {\left[ {{f^3}\left[ x \right]} \right]^3} - 6{\left[ {{f^3}\left[ x \right]} \right]^2} + 9{f^3}\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{f^3}\left[ x \right] = 0\\{f^3}\left[ x \right] = 3\end{array} \right.\]
Phương trình \[{f^3}\left[ x \right] = 0\] có \[2 + 3 + {3^2}\] nghiệm phân biệt [cmt].
Phương trình
\[{f^3}\left[ x \right] = 3 \Leftrightarrow {\left[ {{f^2}\left[ x \right]} \right]^3} - 6{\left[ {{f^2}\left[ x \right]} \right]^2} + 9{f^2}\left[ x \right] = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{f^2}\left[ x \right] \approx 3,88 \in \left[ {0;4} \right]\\{f^2}\left[ x \right] \approx 1,65 \in \left[ {0;4} \right]\\{f^2}\left[ x \right] \approx 0,46 \in \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\]
Ta thấy mỗi phương trình $f^2[x]=m$ ở trên có $9$ nghiệm phân biệt nên $3$ phương trình sẽ có $3.9=3^3$ nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình \[{f^4}\left[ x \right] = 0\] có \[2 + 3 + {3^2} + {3^3}\] nghiệm.
Cứ như vậy ta tính được phương trình \[{f^8}\left[ x \right] = 0\] có \[2 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^7} = 2 + \dfrac{{3\left[ {1 - {3^7}} \right]}}{{1 - 3}} = 3281\] nghiệm.
Chọn đáp án D.
Ta có f[x]+3 = 0 → f[x] = -3 dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình này có 2 nghiệm phân biệt.
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Số câu hỏi: 1000
NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Dạng 1: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] y f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] . f x a = , [ ] [ ] f u x a = . Dạng 2: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] y f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] [ ] f x gm = , [ ] [ ] [ ] f u x gm = . Dạng 3: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] y f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] [ ] f x f m = , [ ] [ ] [ ] f u x f m = . Dạng 4: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] y f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; ; ; ... f x a f x a f u x a f ux a = = = = . Dạng 5: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] y f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; ; ; ... f x gm f x gm f u x gm f u x gm = = = = . Dạng 6: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] y f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; f x g x f u x gv x = = . Dạng 7: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] y f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa [ ] [ ] ' ; '' ... fx f x . Dạng 8: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] ' y fx = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0; 0; ; ... f x f u x f x g x f ux g v x = = = = . Dạng 9: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] ' y fx = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; ; ; ... f x m f u x m f x gm f u x gm = = = = Dạng 10: Biết số nghiệm của phương trình [ ] 0 f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có chứa [ ] [ ] ' ; '' ... fx f x . Dạng 11: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] y f x = , xét các bài toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; , , ... f x gx f u x gx ≥ ≥ > . [2] có hai nghiệm khi 31 a −≤ < . [2] có nghiệm duy nhất khi 1 a = hoặc 3 a . Suy ra: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 3 1 12 3 f x x f f x f x x f x x = =⇔= = . +] Xét [1]: [ ] [ ] 1 1;0 f x x = ∈ − , ta có đường thẳng 1 yx = cắt đồ thị hàm số [ ] y f x = tại 3 điểm phân biệt nên phương trình [ ] 1 có 3 nghiệm phân biệt. +] Xét [ ] 2 : [ ] [ ] 2 0;1 f x x = ∈ , ta có đường thẳng 2 yx = cắt đồ thị hàm số [ ] y f x = tại 3 điểm phân biệt nên phương trình [ ] 2 có 3 nghiệm phân biệt. +] Xét [ ] 3 : [ ] 3 2 f x x = > , ta có đường thẳng 3 yx = cắt đồ thị hàm số [ ] y f x = tại 1 điểm nên phương trình [ ] 3 có 1 nghiệm. Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là: 3 31 7 m= + += . Câu 6. Cho hàm số [ ] y f x = có đồ thị như hình vẽ sau. Số nghiệm của phương trình [ ] 2sin 1 fx = trên đoạn [ ] 0;2 π là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C Đặt 2sin tx = , [ ] 2;2 t ∈ − . Xét phương trình [ ] 1 ft = , dựa vào đồ thị ta thấy NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] sin 1 sin 2 1 2sin 1 sin 2 2 1 1 2 3 5 tl tn ft tn tl x x x x = − = − = − = ⇔⇔ ⇔ = − = − = = − = − . Với sin 1 2 2 xx k π π = − + ⇔=− , [ ] 0;2 2 3 xx π π ⇒= ∈ . Với 2 1 3 sin 4 2 2 3 xk x xk π π π π = −+ =−⇔ = + , [ ] 5 0;2 3 xx π π ⇒= ∈ , 4 3 π . Vậy phương trình có 3 nghiệm Câu 7. Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Phương trình [ ] [ ] 0 f fx = có bao nhiêu nghiệm. A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Lời giải. Chọn D y=c y=b y=a Phương trình [ ] 0 fx = có ba nghiệm phân biệt là: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2; 1 0;1 1;2 x aa x bb x cc = ∈− − = ∈ = ∈ Các phương trình [ ] [ ] [ ] ,, fx a fx b fx c = = = đều có 3 nghiệm phân biệt. NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm phân biệt. Câu 8. Cho hàm số [ ] y f x = có đồ thị như hình vẽ. x y 1 -1 -1 3 Số nghiệm của phương trình 3 [] 4 0 fx − = là A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có [ ] [ ] [ ] 4 3 40 1 3 f x f x − = ⇔ = . Phương trình [ ] 1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số [ ] y f x = và đường thẳng 4 3 y = . Số nghiệm của [ ] 1 chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. x y 1 -1 y = 4 3 -1 3 Dựa vào đồ thị của hai hàm số [ ] 4 , 3 y f x y = = ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình [ ] 1 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt. Câu 9. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng biến thiên như sau Số nghiệm thực của phương trình [ ] 2 30 f x −= là NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1. Lời giải Phương trình [ ] 2 30 f x −= [ ] 3 2 f x ⇔= . Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số [ ] y f x = với đường thẳng 3 2 y = . Từ bảng biến thiên suy ra số nghiệm thực của phương trình [ ] 2 30 f x −= là 2 . Câu 10. Cho hàm số [ ] f x liên tục trên có đồ thị [ ] y f x = như hình vẽ bên. Phương trình [ ] [ ] 20 f f x −= có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt. A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Lời giải Chọn B Theo đồ thị: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 2 21 0 0 1 2 02 2 2 1 2 2 23 x a a f x a f x a f x x b b f f x f x b f x b x c c f x c f x c = − < < − − = = − = ⇔ = loaïi loaïi ⇔ [ ] cos 2 0 . 42 x x kk ππ = ⇔= + ∈ Vậy phương trình đã cho có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 13. Cho hàm số bậc ba [ ] y f x = có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây Tìm số nghiệm thực của phương trình [ ] 2 4 3 2. f xx −+ − = − A. 1 B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải ChọnA Ta có 2 4 3 xx −+ − xác định khi 1 3. x ≤ ≤ Từ đồ thị của hàm số, ta có [ ] [ ] [ ] 2 22 2 4 3 0 4 3 2 4 3 1 . 4 3 2;3 xx a f xx xx xx b − + −= < −+ − = − ⇔ −+ − = − + −= ∈ loaïi • 2 4 3 1 2. xx x − + −= ⇔ = • 2 22 4 3 4 3 0 x x bx x b − + − = ⇔ − ++ = có [ ] [ ] 22 4 3 1 0, 2;3 . b bb ′ ∆= − + = − < ∀ ∈ Vậy phương trình [ ] 2 4 3 2 f xx −+ − = − có đúng 1 nghiệm. Câu 14. Cho hàm số [ ] = y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] 2 2 sin 1 f x m += có nghiệm thuộc khoảng [ ] 0; π là A. [ ] 0;4 . B. [ ] 0;4 . C. [ ] 1;3 . D. [ ] 0;8 . Lời giải O x y 3 4 1 1 − 3 −NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn D Đặt 2 sin 1 tx = + . Với [ ] 0; x π ∈ thì [ ] 1;3 t ∈ . Do đó phương trình [ ] 2 2 sin 1 f x m += có nghiệm thuộc khoảng [ ] 0; π khi và chỉ khi phương trình [ ] 2 m ft = có nghiệm thuộc nửa khoảng [ ] 1;3 . Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là [ ] [ ] 0;4 0;8 2 m m ∈ ⇔∈ . Câu 15. Cho hàm số [ ] = y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] 2 2 f xm −= có nghiệm là: A. 2 ; 2 − . B. [ ] 0;2 . C. [ ] 2;2 − . D. [ ] 0;2 . Lời giải Chọn D Điều kiện của phương trình: 2 ; 2 x ∈− . Đặt 2 2 tx = − . Với 2 ; 2 x ∈− thì 0; 2 t ∈ . Do đó phương trình [ ] 2 2 f xm −= có nghiệm khi và chỉ khi phương trình [ ] = ft m có nghiệm thuộc đoạn 0; 2 . Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là [ ] 0;2 m ∈ . Câu 16. Cho hàm số [ ] fx có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình [ ] 3 50 fx −= là A. 4. B. 2 . C. 0. D. 3. O x y -2 2 2 2 − 2NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Lời giải Chọn A Ta có [ ] 3 50 fx −= [ ] 35 fx ⇔= [ ] 5 3 fx ⇔= . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị [ ] y fx = và đường thẳng 5 3 y = . Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng 5 3 y = cắt đồ thị [ ] y fx = tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt. Câu 17. Cho hàm số [ ] y f x = có đồ thị như hình vẽ sau. Số nghiệm của phương trình 22 2 [ [ 1]] [ 1] 2 0 fx fx + − + −= là: A. 1. B. 4. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn B Đặt 2 11 tx t = +⇒ ≥ . Ta thấy ứng với 1 t = cho ta một giá trị của x và ứng với mỗi giá trị 1 t > cho ta hai giá trị của x . Phương trình đã cho trở thành: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 20 2 ft ft ft ft = − − − = ⇔ = . Từ đồ thị hàm số [ ] y ft = trên [ ] 1; +∞ suy ra phương trình [ ] 1 ft = − có 1 nghiệm 2 t = và phương trình [ ] 2 ft = có 1 nghiệm 2 t > do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Câu 18. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m [ ] 0; 0 −1 1 để phương trình [ ] 32 2 32 3 fx x m m − + = − có nghiệm thuộc nửa khoảng [ ] 1;3 . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. 21. B. 5 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn D Đặt 32 32 tx x = −+ . Vì 1 32 2 xt ≤ < ⇒− ≤ < . Phương trình [ ] [ ] 32 2 2 32 3 3 f x x mm f t mm − + = − ⇔ = − với [ ] 2;2 t∈− . Phương trình có nghiệm thuộc nửa khoảng [ ] 1;3 2 2 2 3 20 2 34 3 40 mm mm mm − + ≥ ⇔− ≤ − < ⇔ − −< . 11 24 m m −< ≤ ⇔ ≤< Vậy trên đoạn [ ] 0; 0 −1 1 có 4 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán. Câu 19. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình [ ] 2 f x = là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C Số nghiệm của phương trình [ ] 2 f x = là số giao điểm của đồ thị hàm số [ ] y f x = và đường thẳng 2 y = . Dựa vào đồ thị ta thấy số giao điểm là 3. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Câu 20. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Phương trình [ ] [ ] 3 f f x = − có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. 0. B. 1. C. 2. D. 3 Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có [ ] [ ] [ ] 31 f f x f x =− ⇔ =− . Cũng từ đồ thị ta thấy ta có đồ thị hàm số [ ] y f x = cắt đường thẳng 1 y = − tại hai điểm phân biệt nên phương trình [ ] 1 f x = − có hai nghiệm phân biệt. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Câu 21. Cho hàm số bậc ba [ ] y fx = có đồ thị như hình vẽ. y = f[x] -2 2 y x O 2 -2 1 -1 Phương trình [ ] [ ] 2 f fx = có bao nhiêu nghiệm? A. 3 B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị của hàm số ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 1 fx f fx fx = − = ⇔ = . Số nghiệm của các phương trình [ ] 2 fx = − và [ ] 1 fx = lần lượt là số giao điểm đồ thị hàm số [ ] y fx = và các đường thẳng 2, 1 yy = − = . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Dựa vào đồ thị ta có [ ] 2 fx = − có hai nghiệm phân biệt 1 2 1; 2 xx = −= và [ ] 1 fx = có ba nghiêm 3 45 ;; x a x bx c = = = sao cho -2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Câu 30. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] e x fm = có nghiệm thuộc khoảng [ ] 0;ln 2 . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC 1 A. [ ] 3;0 − . B. [ ] 3;3 − . C. [ ] 0;3 . D. [ ] 3;0 − Lời giải Chọn A Đặt e x t = . Với [ ] [ ] 0;ln 2 1;2 xt ∈ ⇒∈ Phương trình [ ] e x fm = có nghiệm thuộc khoảng [ ] 0;ln 2 khi và chỉ khi phương trình [ ] ft m = có nghiệm thuộc khoảng [ ] 1;2 3 0 m ⇔− < < . Câu 31. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình [ ] 2 2log f xm = có nghiệm duy nhất trên 1 ;2 2 . A. 9 . B. 6 . C. 5 . D. 4 Lời giải Chọn.B Đặt 2 2log t x = , [ ] 1 ;2 2;2 2 xt ∈ ⇒ ∈− . Với mỗi [ ] 2;2 t∈− thì phương trình 2 2log x t = có một nghiệm duy nhất trên 1 ;2 2 . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Phương trình [ ] 2 2log f xm = có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 1 ;2 2 khi và chỉ khi phương trình [ ] ft m = có nghiệm duy nhất thuộc [ ] 22 2;2 6 m m −≤ ≤ −⇔ = ⇒ có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 32. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình [ ] 2 81 x fe m = − có hai nghiệm thực phân biệt là A. 5 . B. 4 . C. 7 . D. 6 . Lời giải Chọn A Đặt [ ] 0 x t e t = > phương trình trở thành [ ] [ ] 2 2 1 81 8 m ft m ft − = −⇔ = [ ] 1 . với 0 t > cho ta duy nhất một nghiệm ln x t = . Vậy phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi [1] có đúng hai nghiệm 0 t > . Từ đồ thị ta suy ra phương trình [1] có đúng hai nghiệm 0 t > khi và chỉ khi: 2 1 1 1 3 3. 8 m m − − < < ⇔− < < Vậy có 5 số nguyên thỏa mãn. Dạng 2: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] y f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] [ ] f x gm = , [ ] [ ] [ ] f u x gm = . Câu 1. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng biến thiên như hình vẽ sau + ∞ + ∞ 2 + 0 0 0 x y' y 1 1 + + 0 ∞ ∞ 1 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] 0 f x m −= có 4 nghiệm phân biệt NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. [ ] 1;2 m ∈ . B. [ ] 1;2 m ∈ . C. [ ] 1;2 m ∈ . D. [ ] 1;2 m ∈ . Fece: Chính Nguyễn Lời giải Chọn C. Phương trình [ ] [ ] 0 f x m f x m −= ⇔ = [ ] ∗ . Dựa vào đồ thị hàm số [ ] y f x = , phương trình [ ] ∗ có 4 nghiệm phân biệt ⇔ 12 m [1] trở thành [ ] [ ] 2 1 2 8 m ft − = . Vì với mỗi nghiệm 0 t > của phương trình [2] cho đúng một nghiệm log xt π = của phương trình [1] nên [1] có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi [2] có đúng hai nghiệm phân biệt trên [ ] 0; . +∞ Dựa vào đồ thị ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi 2 1 1 1. 8 m − −< < 2 55 33 1 11 8 mm mm m m ∈∈ ≤ ⇔≤ ⇔ −< < − −< < 2; 1;0;1;2 m . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 5. Cho hàm số [ ] = y f x liên tục trên { } \1 và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] 2 log f xm = có nghiệm thuộc khoảng [ ] 1; +∞ là A. [ ] 1; +∞ . B. [ ] 0;1 . C. [ ] 0; +∞ . D. { } \1 . Face: Điểm Đàm Lời giải Chọn C Đặt 2 log t x = . Với [ ] 1; x ∈ +∞ thì [ ] 0; t ∈ +∞ . Do đó phương trình [ ] 2 log f xm = có nghiệm thuộc khoảng [ ] 1; +∞ khi và chỉ khi phương trình [ ] = ft m có nghiệm thuộc khoảng [ ] 0; +∞ . Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là [ ] 0; m ∈ +∞ . Câu 6. Hàm số [] y fx = có bảng biến thiên như sau. Số các giá trị nguyên của m để phương trình 3 1 [] m fx + = có 4 nghiệm phân biệt là A. 15. B. 7 . C. 17 . D. 8 . Face: Nguyễn Văn Sang Lời giải Chọn A Đặt 3 1 tx + = , phương trình 3 1 [] m fx + = trở thành [] tm f = . Do 3 1 yx + = là hàm số đồng biến nên ta có bảng biến thiên hàm số [] t y f = cũng là O x y 2 2 1 1NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Để phương trình 3 1 [] m fx + = có 4 nghiệm phân biệt thì 9 7 m −< < . Do đó có 15 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 7. Cho hàm số [] y fx = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 100 để phương trình [ ] 22 2020 0 fx m −+ = có đúng hai nghiệm phân biệt là A. 55 . B. 56. C. 54. D. 99. Face : Hoàng Ngọc Hùng Lời giải Chọn A Đặt 2 tx = , 0 t ≥ . Phương trình đã cho trở thành [ ] [ ] 2 2020 1 ft m = − Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình [ ] 1 có đúng 1 nghiệm dương. Từ đồ thị hàm số [ ] y f x = ta có 22 2021 2020 1 2021 2021 m mm m ≥ −≥⇔ ≥⇔ ≤− . Do m nguyên dương và nhỏ hơn 100 nên { } 45;46;47,...,99 . m ∈ Vậy có 55 số thỏa mãn. Câu 8. Cho hàm số [] y fx = liên tục trên và có bảng biến thiên của ' y như hình vẽ. Tìm m để phương trình [ 2] fx m x += + có nghiệm [ ] 1;2 x∈ − . A. [4] 2 [1] 1 f mf −< < + . B. [4] 2 [1] 1 f mf −≤ ≤ + . C. [1] 1 mf ≤+ . D. 51 m − ≤ ≤− . Face : Hoàng Ngọc Hùng Lời giải Chọn B Ta có [ 2] [ 2] fx m x m fx x + = +⇔ = + − Với [ ] 1;2 x∈ − thì [ ] 2 1;4 x+∈ NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Từ bảng biến thiên ta thấy [ ] '[ 2] 5; 1 fx+ ∈ − − nên [ ] '[ 2] 0 1;2 fx x + < ∀ ∈ − suy ra hàm số [ 2] y fx = + nghịch biến trên [ 1;2] − [ ] [4] [ 2] [1], 1;2 f fx f x ⇒ ≤ + ≤ ∀ ∈ − . Mặt khác ta có [ ] 2 1, 1;2 x x ⇒− ≤− ≤ ∀ ∈ − . Từ đó [4] 2 [ 2] [1] 1 f fx x f −≤ + − ≤ + [ ] 1;2 x ∀ ∈ − . Để phương trình [ 2] fx m x += + có nghiệm [ ] 1;2 x∈ − điều kiện m là [4] 2 [1] 1. f mf −≤ ≤ + Câu 9. Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình [ ] 2 4 51 fx x m − + + = có nghiệm ? A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. Vô số. Face: Trần Quốc Đại Lời giải Chọn A Đặt 2 45 tx x = − + suy ra 1 t ≥ , ta có phương trình [ ] 1 ft m = − Dựa vào đồ thị phương trình [ ] 1 ft m = − có nghiệm 1 t ≥ khi và chỉ khi 1 4 5 mm −≤ ⇔ ≤ Suy ra có 5 giá trị nguyên của m . Câu 10. Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của [ ] 10;10 m∈− để phương trình [ ] [ ] 2 45 f x x fm − + = có nghiệm ? NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. 17 . B. 16 . C. 18 . D. Vô số. Face: Trần Quốc Đại Lời giải Chọn A Đặt 2 45 tx x = − + suy ra 1 t ≥ , ta có phương trình [ ] [ ] ft f m = Dựa vào đồ thị phương trình [ ] [ ] ft f m = có nghiệm 1 t ≥ khi và chỉ khi [ ] 2 4 1 m fm m ≤− ≥⇔ ≥ . Suy ra các giá trị nguyên của [ ] 10;10 m∈− là 9 21 9 mm − ≤≤− ∨ ≤≤ Vậy có 17 số nguyên Câu 11. Cho hàm số [] y fx = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm các giá trị thực của m để phương trình [cos ] f x m = có nghiệm thuộc khoảng ; 22 ππ − : A. [ ] 1;3 m∈− . B. [ ] 1;1 m∈− . C. [ ] 1;1 m∈− . D. [ ] 1;3 m∈− . Face: Bích Nguyễn Lời giải NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn C Đặt cos tx = , do ; 22 x ππ ∈− [ ] 0;1 t ⇒∈ . Phương trình trở thành [] ft m = Phương trình [cos ] f x m = có nghiệm thuộc khoảng ; 22 ππ − khi và chỉ khi phương trình [] ft m = có nghiệm [ ] 0;1 t ∈ ⇔ Đường thẳng y m = có điểm chung với đồ thị hàm số [] ft trên nửa khoảng [ ] 0;1 . Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có giá trị cần tìm của m là [ ] 1;1 m∈− . Câu 12. Giả sử tồn tại hàm số [ ] y f x = xác định trên { } \ 1, ± liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của thàm số m sao cho phương trình 1 fx m x có nghiệm. A. 2;1 . B. 2;1 . C. ; . D. 2; . Lời giải Chọn B Đặt 1 tx x Khi đó: 2 2 t t . Căn cứ bảng biến thiên ta thấy: Phương trình f t m có nghiệm khi 21 m −≤ < . Câu 13. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình [ ] 2 2 fx x m −= có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 37 ;? 22 − A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Lời giải Chọn B Đặt 2 2, tx x = − với 37 ; 22 x ∈ − thì 21 1; . 4 t ∈ − x 3 2 − 1 7 2 [] tx ′ − 0 + [] tx 21 4 21 4 1 − Dựa vào BBT ta th ấy: với mỗi 21 1; 4 t ∈− sẽ cho hai nghiệm x và với 1 t = − sẽ cho một nghiệm . x Do đó phương trình [ ] 2 2 fx x m −= có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 37 ; 22 − [ ] ft m ⇔= có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc 21 1; 4 − . Dựa vào đồ thị ta có [ ] ft m = với 21 1; 4 t ∈− có đúng 2 nghiệm phân biệt 24 5 . [4] m m mf t . Từ đồ thị [ ] = y f x ta có [ ] [ ] 2 2 12 11 += + m m 2 5 5 = ± ⇒> ≥ NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Trên [ ] 6;9 , hàm số [ ] f x đồng biến và [ ] 93 f = nên [ ] 4 3 6 9. f m m −< ≤ ⇔ < ≤ Vậy điều kiện của m là: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] 2; 1 2;6 6;9 2;9 \ 1;2 6 . mm ∈− − ∪ ∪ ⇔ ∈ − − ∪ Câu 12. Cho hàm số bậc ba [ ] y fx = có đồ thị như hình vẽ. x y 3 -1 2 -2 1 O 1 Số giá trị nguyên dương của m để phương trình [ ] [ ] 2 1 f x x fm − += có nghiệm là : A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C Xét hàm số [ ] 2 1 ux x x =−+ Ta có [ ] 2 22 1 ' 1 0, 11 x x x ux xx +− = −= > ++ Bảng biến thiên x −∞ +∞ [ ] ' ux + [ ] ux 0 −∞ Do đó [ ] 2 1 3 fx x − + ≤ với mọi x ∈ . YCBT [ ] 32 f m m ⇔ ≤ ⇔ ≤ . Vì m nguyên dương nên { } 1;2 m ∈ Câu 13. Cho hàm số [ ] f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ. NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 43 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Tập hợp các giá trị dương của tham số m để phương trình [ ] [ ] 1 2 2 f f x f m += có 9 nghiệm là: A. [ ] 0;1 . B. 1 ;0 2 . C. 1 0; 2 . D. [ ] 0;1 . Lời giải Chọn C Đặt [ ] 1 2 2 t f x = + , suy ra [ ] 1 21 2 24 t t f x − − = = Phương trình viết lại: [ ] [ ] [ ] 1 ft f m = Số nghiệm phương trình [1] bằng số giao điểm của đường đồ thị hàm số [ ] ft và đường thẳng [ ] y f m = Xét phương trình [ ] 21 4 t f x − = Nếu 21 0 4 21 4 4 t t − < − >− thì phương trình [ ] 21 4 t f x − = có một nghiệm. Nếu 21 0 4 21 4 4 t t − = − = − thì phương trình [ ] 21 4 t f x − = có hai nghiệm Nếu 21 40 4 t − −< < thì phương trình [ ] 21 4 t f x − = có ba nghiệm Từ bảng biến thiên của hàm số [ ] f x ta suy ra phương trình [ ] [ ] ft f m = có nhiều nhất ba nghiệm. Suy ra phương trình [ ] [ ] 1 2 2 f f x f m += có 9 nghiệm [ ] [ ] ft f m ⇔= có ba nghiệm thỏa 21 40 4 t − −< < [ ] [ ] ft f m ⇔= có ba nghiệm thỏa 15 1 22 t − và 1 m < . D. 01 m < Câu 9. Cho hàm số [ ] [ ] 32 , ,,, , 0 y f x ax bx cx d a b c d a = = + ++ ∈ ≠ , có bảng biến thiên như hình sau Phương trình [ ] 3 f x = có bao nhiêu nghiệm dương phân biệt? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D Ta có: [ ] [ ] [ ] 11 02 2 yy y −+ = = . Bảng biến thiên của hàm số [ ] y f x = là: Từ bảng biến thiên ta có: Phương trình [ ] 3 f x = có duy nhất 1 nghiệm dương. Câu 10. Cho hàm số [ ] y f x = có đồ thị [ ] C như hình vẽ bên. Phương trình [ ] 3 1 2 f x+= có bao nhiêu nghiệm âm phân biệt? NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn D Đồ thị [ ] 1 C của hàm số [ ] 1 y f x = + vẽ được bằng cách tịnh tuyến đồ thị [ ] C sang trái 1 đơn vị ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới Đồ thị [ ] 2 C của hàm số [ ] 1 y f x = + vẽ được bằng cách + Giữ nguyên phần đồ thị [ ] 1 C nằm phía trên trục hoành và những điểm trên trục hoành ta được đồ thị [ ] 3 C . + Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị [ ] 1 C nằm phía dưới trục hoành ta được đồ thị [ ] 4 C . + Khi đó [ ] [ ] [ ] 23 4 CC C = ∪ có đồ thị như hình vẽ dưới Từ đồ thị [ ] 2 C dễ thấy phương trình [ ] 3 1 2 f x+= có 4 nghiệm âm phân biệt. Câu 11. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng biến thiên như hình vẽ NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Phương trình [ ] 13 1 3 fx − += có bao nhiêu nghiệm? A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 5 . Lời giải Chọn A Cách 1: Dựa vào BBT của đồ thị hàm số [ ] y f x = ta có số nghiệm của phương trình [ ] = f x m , m là tham số như sau: +/ Nếu 3 5 m m phương trình có 1 nghiệm duy nhất. +/ Nếu 3 5 m m = − = phương trình có 2 nghiệm phân biệt. +/ Nếu 35 m −< < phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Ta có phương trình [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 13 1 3 13 2 13 1 3 13 1 3 13 4 − += − = − += ⇔ ⇔ − +=− − =− fx fx fx fx fx . Từ kết quả trên ta suy ra [ ] [ ] [ ] 1 2 4 1 23 3 4 13 13 [ 1 3 ; 3 3] 13 13 xa xa a f a a af f xa xa αα −= −= < < 22 33 x ⇔− < < nên ta có bảng biến thiên như sau Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình [ ] 13 1 3 fx − += có 4 nghiệm. Câu 12. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng biến thiên như hình vẽ Hỏi phương trình [ ] 2017 2018 2019 f x+ − = có bao nhiêu nghiệm? A. 6 . B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C Xét đồ thị hàm số [ ] 2017 2018 y f x = +− có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số [ ] y f x = song song với trục Ox sang trái 2017 đơn vị, rồi sau đó tịnh tiến song song với trục Oy xuống dưới 2018 đơn vị. Ta được bảng biến thiên của hàm số [ ] [ ] 2017 2018 y gx f x = = +− như sau NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC Khi đó đồ thị hàm số [ ] 2017 2018 y f x = +− gồm hai phần: + Phần đồ thị của hàm số [ ] [ ] 2017 2018 y gx f x = = +− nằm phía trên trục hoành. + Và phần đối xứng của đồ thị [ ] [ ] 2017 2018 y gx f x = = +− nằm phía dưới trục hoành. Do đó ta có được bảng biến thiên của hàm số [ ] y gx = như sau Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình [ ] 2017 2018 2019 f x+ − = có 4 nghiệm. Câu 13. Cho hàm số [ ] y f x = xác định trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình [ ] 1 2 2 fx−= − có bao nhiêu nghiệm? x y 1 3 -1 -1 O A. 4 . B. 0 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn A + Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số [ ] 2 y f x = − . [ ] 1 C + Tiếp theo xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng 2 x = . + Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị còn lại ở trên qua đường thẳng 2 x = . Ta được toàn bộ phần đồ thị của hàm số [ ] 2. y fx = − [hình vẽ bên dưới] [ ] 2 C NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 58 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC x y 1 3 -1 3 O 2 y fx x y 1 2 -1 3 O 2 y f x 1 2 y + Dựa vào đồ thị hàm số [ ] 2 y fx = − , ta thấy đường thẳng 1 2 y = − cắt đồ thị hàm số [ ] 2 y fx = − tại 4 điểm phân biệt → phương trình [ ] 1 2 2 fx−= − có 4 nghiệm phân biệt. Câu 14. Cho hàm số [ ] y f x = xác định trên và và có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm của phương trình [ ] 2 23 fx x − = là A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 5 . Lời giải Chọn C Ta có [ ] [ ] [ ] 2 2 2 23 23 23 fx x fx x fx x −= − =⇔ −= − Dựa vào đồ thị ta thấy: + Phương trình [ ] [ ] [ ] 22 2 2 3 12 12 0 f xx xx a a xx a − = ⇔− = > ⇔− − = . Vì 10 a ∆ = + > nên phương trình [ ] 1 có 2 nghiệm phân biệt. + Phương trình [ ] [ ] [ ] 22 2 2 32 2 1 2 0 f xx xx b b xx b − = − ⇔− = cho được hai nghiệm x , do vậy để phương trình [ ] 2 1 fx m + = có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình [ ] ft m = cần có 3 nghiệm 1 t > . Dựa bảng biến thiên của hàm [ ] y ft = ở trên ta có điều kiện 3 10 m ∀∈ −+ − Sau đây là BBT của hàm số [ ] gx trên đoạn [ ] 0;4 f 4 [ ] + 2 15- 12 [ ] 4 0 g[x] g'[x] x Vậy phương trình [ ] [ ] 3 gx f = có đúng một nghiệm. Câu 2. Cho hàm số [ ] fx có đồ thị như hình vẽ. Đặt [] [ [] 1] gx f f x = − . Tìm số nghiệm của '[ ] 0 gx = . A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 Lời giải Chọn C Xét '[ ] '[ ]. '[ [ ] 1] g x f x f fx = − Ta có: '[ ] 0 [1] '[ ] 0 '[ [ ] 1] 0 [2] fx gx f fx = = ⇔ −= NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ [1]: , [ 1,0] '[ ] 0 1 , [1,2] x aa fx x x bb = ∈ − =⇔= = ∈ Từ [2]: [ ] 1 , [ 1,0] '[ [] 1] 0 [] 1 1 [ ] 1 , [1,2] fx a a f fx fx fx b b − = ∈ − − = ⇒ −= −= ∈ [ ] 1, 1 0 [] 2 [ ] 1, 1 1 3 fx a a fx fx b b = + +> ⇒= = + < +< Dựa vào đồ thị suy ra: [1] có 3 nghiệm phân biệt [2] Ta xét lần lượt đường thẳng: 1 y a = + cắt đồ thị [] fx tại 2 điểm phân biệt 2 y = cắt đồ thị [] fx tại 2 điểm phân biệt 1 yb = + cắt đồ thị [] fx tại 2 điểm phân biệt Nên [2] có 6 nghiệm phân biệt Vậy phương trình '[ ] 0 gx = có 9 nghiệm phân biệt Câu 3. Cho hàm số y fx có liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình 3 2 33 2 3 3 3 13 2 3 1 f xx xx x x . A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn C 3 2 33 2 3 3 3 13 2 3 1 f xx xx x x 3 6 4 23 3 6 9 3 92 fx x x x x x x 2 33 3 3 3 3 32 f xx xx xx Đặt 3 3 tx x ta có phương trình 2 32 ft t t NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dựa vào đồ thị thì 3 2 3 0 0 30 3 32 2 32 2 1 x t xx x ft t t t xx x x Vậy phương trình có 5 nghiệm. Câu 4. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên [ ] 1;3 và có bảng biến thiên như hình dưới Hỏi phương trình [ ] 2 5 1 6 12 f x xx − −= −+ có bao nhiêu nghiệma trên [ ] 2;4 ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C Do 2 6 12 0, xx x − + > ∀∈ nên [ ] [ ] [ ] 2 2 5 1 6 12 1 5 6 12 f x x x f x xx − −= ⇔ − + −= − −+ . Đặt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 22 6 12 1 2 6 1 6 12 g x x x f x g x x f x x x f x ′′ = −+ − ⇒ = − − + −+ . Xét trên [ ] 2;4 ta có: Với [ ] 2;3 x ∈ thì [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 10 1 12 2 60 2 6 0 0, 2;3 10 6 12 0 6 12 0 f x x x x gx x fx xx xx −< ≤ − ≤ −≤ ′ − ≤ ⇒ ⇒ > ∀∈ ′ −> − +> − +> . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Với [ ] 3;4 x ∈ thì [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 10 2 13 2 60 2 6 0 0, 3;4 10 6 12 0 6 12 0 f x x x x gx x fx xx xx −< < − ≤ −> ′ − > ⇒ ⇒ < ∀∈ ′ −< − +> − +> . Tính: [ ] [ ] [ ] 2 4 12 12 1 20 gf =−+ = − , [ ] [ ] [ ] 3 9 18 12 2 3 gf =−+ = − , [ ] [ ] [ ] 4 16 24 12 3 8 gf =−+ = − . Lập bảng biến thiên của [ ] y gx = trên [ ] 2;4 : Dựa vào BBT trên suy ra trên [ ] 2;4 phương trình [ ] [ ] 2 6 12 1 5 x x f x − + −= − có 2 nghiệm phân biệt. Câu 5. Cho hàm số y fx liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Phương trình 10 f fx có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 5 . B. 4 . C. 7 . D. 6 . Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số ta có [ ] [ ] 10 f f x −= [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 21 1 01 1 12 f x m m f x n n f x p p − = − < thì [ ] 0 f x < nên phương trình vô nghiệm. Với 1 x < ta có [ ] [ ] 2 21 gx f x x x = −+ − . Ta có [ ] [ ] 2 20 gx f x x ′′ = − +> nên hàm số [ ] gx đồng biến và liên tục trên [ ] ;1 −∞ . Lại có: [ ] [ ] 1 lim ; lim x x gx gx − → −∞ → = −∞ = +∞ nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất trên [ ] ;1 −∞ . Câu 7. Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập các giá trị nguyên của m đ ể cho phương trình [ ] sin 3sin f x x m = + có nghiệm thuộc khoảng [ ] 0; π . Tổng các phần tử của S bằng : A. - 5. B. - 8. C. -10. D. -6. NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Lời giải Chọn C Đặt sin tx = , do [ ] [ ] [ ] 0; sin 0;1 0;1 x xt π ∈ ⇒ ∈ ⇒∈ . PT đã cho trở thành [ ] 3 ft t m = + [] 3 ft t m ⇔ −= [*] Đặt [] [] 3 . gt f t t = − Ta có: '' [] [] 3 gt f t = − [1] Dựa vào đồ thị hàm số [ ], y fx = ta có: [ ] ' 0;1 : [ ] 0 t f t ∀∈ < [2] Từ [1] và [2] suy ra: [ ] ' 0;1 : [ ] 0. t gt ∀∈ < Do đó hàm số [] gt nghịch biến trên khoảng [ ] 0;1 . PT [*] có nghiệm [ ] [ ] [ ] 0;1 0;1 0;1 min [ ] max [ ] [1] [0] t gt m gt g m g ∈ ⇔ ≤< ⇔ ≤< [1] 3 [0] 4 1. f mf m ⇔ − ≤< ⇔− ≤< Vậy m nguyên là: 4; 3; 2; 1;0 10. mS =−− −− ⇒ =− Câu 8. Cho hàm số [ ] f x có bảng biến thiên như hình vẽ: Số nghiệm của phương trình [ ] 2 0 fx = là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Đặt [ ] 2 0 t xt = ≥ . Phương trình [ ] 2 0 fx = trở thành [ ] [ ] 00 ft t = ≥ Dựa vào đồ thị hàm số f ta thấy phương trình [ ] [ ] 0 00 1 t ft t ta = = ≥⇔ = > Từ đó ta có 2 2 0 0 1 x x xa xa = = ⇔ = ± = > Vậy phương trình [ ] 2 0 fx = có 3 nghiệm phân biệt. Câu 9. Cho hàm số [ ] y f x = xác định trên có đồ thị như hình vẽ x y - 2 2 3 -1 O 1 Tìm số nghiệm của phương trình [ ] 2 2 20 f x x x −− = . A. 4. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn A + [ ] [ ] 2 2 2 20 . 2 x f x x x f x x −− =⇔ = + + Xét hàm số [ ] 2 2 x gx x = + . + Vẽ đồ thị hàm số [ ] [ ] 2 , 2 x y f x y gx x = = = + trên cùng hệ trục tọa độ ta có: NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC y=g[x] x y y=f[x] - 2 2 -1 3 -1 O 1 + Dựa vào đồ thị ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Câu 10. Cho đồ thị hàm số [ ] y f x = có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình [ ] f x x = . x y 1 O 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn D Số nghiệm của phương trình [ ] f x x = bằng số giao điểm của đồ thị hàm số [ ] y f x = và yx = . x y 1 O 1 Dựa và hình vẽ suy ra phương trình [ ] f x x = có 3 nghiệm. Câu 11. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên [ ] 1;3 và có bảng biến thiên như sau NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình [ ] 2 1 45 m f x xx + = −+ có nghiệm trên khoảng [ ] 1;2 . A. 10. B. 4. C. 5. D. 0. Lời giải Chọn B Vì [ ] 2 2 4 5 2 10 xx x x − + = − +> ∀ nên [ ] [ ] [ ] 2 2 1 45 1 45 m f x x x f x m xx + = ⇔ − + + = −+ . Đặt [ ] [ ] [ ] 2 45 1 hx x x f x = −+ + , với [ ] 1;2 x ∈ . Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 45 1 2 4 1 hx x x f x x f x ′′ = − + ++ − + . Dựa vào bảng biến thiên của hàm số [ ] y f x = ta có [ ] [ ] [ ] 1;2 1 2;3 1 0 x x fx ′ ∀∈ ⇒ + ∈ ⇒ + ≤ và [ ] 2 4 0, 1;2 xx − < ∀∈ ; [ ] [ ] 13 0, 12;3 f x x + ≥ > +∈ . Do đó [ ] [ ] 0, 1;2 hx x ′ < ∀∈ . Bảng biến thiên của hàm số [ ] y hx = trên khoảng [ ] 1;2 . Khi đó phương trình [ ] hx m = có nghiệm [ ] 1;2 x ∈ khi và chỉ khi [ ] [ ] 21 h mh ⇒+ ≥ ⇒ + < Với 11 0 2 0. x x fx xx ′ NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Ta có bảng xét dấu Từ bảng xét dấu suy ra bất phương trình [ ] '0 gx < có tập nghiệm là [ ] [ ] 1;0 1; − ∪ +∞ . Câu 4. Cho hàm số bậc ba [ ] y f x = có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm tối đa của phương trình [ ] ' fx m = với m là tham số thực. A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn B Từ đồ thị hàm số [ ] y f x = ta suy ra: + [ ] '0 fx = có hai nghiệm là 0; 2 x x = = + Hệ số của 3 x trong biểu thức của hàm số [ ] y f x = mang dấu dương Do đó đồ thị hàm số [ ] ' y fx = phải có dạng: NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Suy ra đồ thị hàm số [ ] ' y fx = có dạng: Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y m = có tối đa 4 điểm chung với đồ thị hàm số [ ] ' y fx = nên phương trình có tối đa 4 nghiệm. Câu 5. Cho hàm số [] fx có đạo hàm [] fx ′ có đồ thị như hình vẽ. Cho hàm số 3 2 [] [] 2 3 x gx f x x x = − + −+ , phương trình [ ] '0 gx = có số nghiệm là? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Chọn C Ta có hàm số [] gx xác định trên và 2 [] [] [ 1] gx f x x ′′ = − − do đó số nghiệm của phương trình [] 0 gx ′ = bằng số giao điểm của hai đồ thị [] y fx ′ = và 2 [ 1] yx = − . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ đồ thị suy ra 0 [] 0 1 2 x gx x x = ′ =⇔= = . Vậy phương trình [ ] '0 gx = có 3 nghiệm. Đáp án C. Câu 6. Cho hàm số [ ] y fx = liên tục trên tập R và có đồ thị như hình bên. Đặt [ ] [ ] [ ] gx f f x = . Xác đinh số nghiệm của phương trình [ ] '0 gx = . A. 5. B. 6. C. 8. D. 10. Lời giải Chọn C Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ' ' ' .' g x f fx f x f fx = = nên: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 '0 2 ' 0 ' .' 0 01 '0 22 x fx x g x f x f fx fx f fx fx = = = = ⇔ = ⇔⇔ = = = NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC PT [1] có ba nghiệm khác 0 và 2 PT [2] có ba nghiệm khác 0 và 2 Vậy số nghiệm của phương trình [ ] '0 gx = là 8 nghiệm. Câu 7. Cho hàm số [ ] 4 32 y f x ax bx cx dx e = = + + + + , [ ] 0 a ≠ có đồ thị như hình vẽ. Biết 21 4 b f a ′′ − < − và hàm số [ ] y f x = có 3 điểm cực trị là 12 0, , x x . Do vậy, phương trình 0 y ′ = có 3 nghiệm phân biệt là 12 0, , x x . Ta có [ ] 32 43 2 y f x ax bx cx d ′′ = = + ++ [ ] 2 12 6 2 y f x ax bx c ′′ ′′ ⇒ = = + + . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Đồ thị hàm số [ ] y fx ′′ = có dạng sau: Từ đồ thị hàm số [ ] y fx ′′ = suy ra phương trình [ ] 0 fx ′′ = có 2 nghiệm phân biệt 34 , xx nên đồ thị hàm số [ ] y fx ′′ ′′ = là một parabol có dạng sau: Ta có [ ] [ ] 0 fx fx m ′′ ′′ −= [ ] [ ] 0 fx fx m ′′ = ⇔ ′′ = . Phương trình [ ] [ ] 0 fx fx m ′′ ′′ −= có bốn nghiệm phân biệt ⇔ phương trình [ ] fx m ′′ = có hai nghiệm phân biệt khác 34 , xx ⇔ parabol [ ] y fx ′′ ′′ = cắt đường thẳng y m = tại hai điểm phân biệt có hoành độ khác 34 , xx . Tung độ đỉnh của parabol [ ] y fx ′′ ′′ = là 4 b f a ′′ − nên phương trình [ ] fx m ′′ = có hai nghiệm phân biệt [ ] ,0 4 b mf m a ′′ ⇔> − ≠ mà 21 4 b f a ′′ − < − S S fb f a fb f c f a f c Dựa vào đồ thị của hàm số [ ] fx ′ , ta có bảng biến thiên của hàm [ ] f x như sau: x a b c [ ] fx ′ − 0 + 0 − 0 + [ ] f x [ ] f a [ ] fb [ ] fc Vì [ ] 0 = f a do đó từ bảng biến thiên ta có phương trình [ ] 0 = f x có đúng 3 nghiệm. NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 4. Cho hàm số [ ] y fx = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 3; 3 − và đồ thị hàm số [ ] y fx = ′ như hình vẽ bên. Biết [ ] 16 f = và [ ] [ ] [ ] 2 1 2 x gx f x + = − . Kết luận nào sau đây là đúng? A. Phương trình [ ] 0 gx = có đúng hai nghiệm thuộc [ ] 3;3 − . B. Phương trình [ ] 0 gx = có đúng một nghiệm thuộc [ ] 3;3 − . C. Phương trình [ ] 0 gx = không có nghiệm thuộc [ ] 3;3 − . D. Phương trình [ ] 0 gx = có đúng ba nghiệm thuộc [ ] 3;3 − . Lời giải Chọn B Ta có: [ ] [ ] [ ] 1. gx f x x = −+ ′′ Ta thấy đường thẳng 1 yx = + là đường thẳng đi qua các điểm [ ] [ ] [ ] 3; 2, 1;2,3;4 . −− Do [ ] [ ] 1 6 1 4. fg =⇒= Từ hình vẽ ta thấy: [ ] 1 3 d6 f x x − > ′ ∫ [ ] [ ] 1 3 6 ff ⇒ − −> [ ] 3 0 f ⇒ −< [ ] [ ] 3 3 20 g f ⇒ − = − − < . [ ] 3 1 d2 f x x > ′ ∫ [ ] [ ] 3 16 ff ⇒ − > [ ] 38 f ⇒> [ ] [ ] 3 3 80 gf ⇒ = −> . Từ đồ thị hàm số [ ] y fx = ′ và đường thẳng 1 yx = + cùng với các kết quả trên ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có phương trình [ ] 0 gx = có đúng một nghiệm thuộc [ ] 3;3 . − Câu 5. Cho hàm số [ ] 32 y= f x a.x b.x c.x d = + ++ với , , , abc d ∈ , có đồ thị [ ] y= f ' x như hình dưới đây NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Biết [ ] 00 f = . Khi đó số nghiệm của phương trình [ ] 2 0 fx x − = là: A. 2. B. 4. C. 3. D. 6. Lời giải: Chọn B *Cách 1: Từ đồ thị ta có BBT sau: Từ BBT ta có [ ] 0 0 2 x f x xa = = ⇔ = > Do đó [ ] [ ] [ ] 2 2 2 01 0 2 xx f x x x xa −= −=⇔ −= Ta có [1] 0 1 x x = ⇔ = [2] 2 0 x xa ⇔ −− =, có 14 0 2 a ,a ∆= + > ∀ > nên [2] luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và 1 Vậy PT [ ] 2 0 f x x −= có 4 nghiệm phân biệt. *Cách 2: Từ đồ thị ta có [ ] 0 0 2 x f ' x x = = ⇔ = Đặt [ ] [ ] 2 gx f x x = − Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] 22 21 g'x f x x ' x f 'x x = −= − − [ ] [ ] 2 2 10 1 0 10 1 2 0 2 x g' x x ; ; ; ; f ' x x −= = ⇔ ⇔ ∈− −= BBT: NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ BBT ta thấy phương trình [ ] [ ] 2 0 gx f x x = −= có 4 nghiệm phân biệt. *Cách 3: Từ GT ta có [ ] 2 32 f ' x ax bx c = + + . Từ đồ thị ta có [ ] 00 0 f ' c =⇒= ; [ ] 2 0 12 4 0 3 0 f ' a bc ab = ⇒ + += ⇒ + = [1] Lại có [ ] 1 1 f ' = − nên 32 1 ab += − [2] Từ [1], [2] ta có 1 1 3 a ;b = = − Do đó [ ] [ ] [ ] 3 2 22 22 3 x f ' x xx f x xx dx x C = − ⇒ = − = −+ ∫ Lại có [ ] 00 0 fC = ⇒= do đó [ ] 3 2 3 x fx x = − Ta có [ ] 3 2 0 00 3 3 x x fx x x = =⇔ −=⇔ = Khi đó [ ] 2 2 2 01 0 0 1 13 3 2 x ;x xx fx x xx x = = −= − =⇔ ⇔ ± −= = có 4 nghiệm. Câu 6. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng biến thiên như hình dưới đây. Phương trình [ ] 2 32 1 4 3 83 3 f xx x x x − = − + −+ có bao nhiêu nghiệm thực trên khoảng [ ] 0;4 ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn A NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC [ ] [ ] 2 32 1 4 3 83 3 gx f x x x x x = − + − + − [ ] [ ] [ ] 22 42 4 6 8 g x xf x x x x ′′ = − − +− + [ ] [ ] 2 2 24 4 x f xx x ′ = − − +− . Với [ ] 0;4 x ∈ thì 40 x −> ; 2 04 4 xx < −≤ nên [ ] 2 40 f xx ′ −≥ . Suy ra [ ] 2 24 4 0 f xx x ′ − +− > , [ ] 0;4 x ∀∈ . Bảng biến thiên [ ] [ ] 11 26 7 2 2 4 ; [0] [0] 3 6; [4] [0] . 3 3 3 3 g f gf g f = + = = −=− = + =− Suy ra phương trình [ ] 2 32 1 4 3 83 3 f xx x x x − = − + −+ có hai nghiệm thực trên khoảng [ ] 0;4 . Câu 7. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên có đồ thị hàm số [ ] y fx ′ = như hình bên. Biết [ ] 0 f a > , hỏi đồ thị hàm số [ ] y f x = có thể cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? A. 4 điểm. B. 2 điểm. C. 1 điểm. D. 3 điểm. Lời giải Chọn B . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Theo hình vẽ ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ' d0 c a f x x fc f a fc f a = − < ⇔ < ∫ . Từ đó, ta có thể lập được bảng biến thiên như sau: . Vậy đồ thị hàm số [ ] y f x = có thể cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm. Câu 8. Cho hàm số bậc [ ] y f x = thỏa mãn [ ] [ ] 1 30 f f − = = , [ ] 11 f = − và đồ thị của hàm số [ ] y fx ′ = có dạng như hình dưới đây. Phương trình [ ] [ ] [ ] 3 1 f x f = có bao nhiêu nghiệm thực A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của [ ] y f x = : x [ ] fx ′ [ ] f x −∞ +∞ 3 1 − 1 0 0 0 + + − − 0 0 [ ] 1 f Xét hàm số [ ] [ ] 3 y f x = ta có [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 3. y f x f x f x ′ ′′ = = . Ta có bảng biến thiên của hàm số [ ] [ ] 3 y f x = : NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC x [ ] fx ′ [ ] f x [ ] [ ] 2 2. . f x f x ′ [ ] [ ] 3 y f x = −∞ +∞ 3 1 − 1 0 0 0 + + + + − − − − − − − − 0 0 [ ] [ ] 3 1 f Do [ ] [ ] [ ] 3 1 1 1 f f = = − Vậy phương trình [ ] [ ] [ ] 3 1 f x f = có 3 nghiệm phân biệt Câu 9. Cho hàm số [ ] 32 f x ax bx cx d = + ++ [ ] , , , . abc d ∈ Đồ thị hàm số [ ] fx ′ như sau: và [ ] [ ] 2018 1 2019 0 ff = . Hỏi tập nghiệm của phương trình [ ] [ ] f x f x ′ = có số phần tử là? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B Ta có [ ] 2 32 f x ax bx c ′ = ++ Dựa vào đồ thị ta có [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 2 13 2 f x a x x ax x ′ = + − = +− và 0 a ≠ Suy ra [ ] 32 3 6 2 f x ax x x d = + −+ Theo đề bài [ ] [ ] 2018 1 2019 0 ff = 7 2018 2019 2 a dd ⇔ −+ = 7063 da ⇔= − . Vậy ta có [ ] [ ] f x f x ′ = [ ] 32 2 3 6 7063 3 2 2 a x x x a ax x ⇔ + − − = +− NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 42 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 3 2 3 9 7057 0 2 x x x ⇔− − − = . Vậy phương trình có 1 nghiệm. Câu 10. Cho hàm số bậc ba [ ] y f x = có đạo hàm là hàm số [ ] y fx ′ = với đồ thị như hình vẽ sau đây: Biết rằng đồ thị hàm số [ ] y f x = tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Hỏi phương trình [ ] 30 fx−= có bao nhiêu nghiệm? A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Dựa vào dữ kiện của bài toán ta có bảng biến thiên của hàm số [ ] y f x = như sau: Suy ra phương trình [ ] 0 f x = có hai nghiệm phân biệt 2 x = − và 0 xx = với [ ] 0 0; x ∈ +∞ . Do đó [ ] 30 fx−= 0 32 3 x xx −=− ⇔ −= 0 1 3 x xx = ⇔ = + [ ] 0 1 3 x xx = ± ⇔ = ±+ . Vậy phương trình [ ] 30 fx−= có 4 nghiệm phân biệt. [CÒN TIẾP PHẦN CUỐI] O x y 3 − 1 − 2 −NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ [PHẦN CUỐI: TỪ DẠNG 9-12] Dạng 9: Biết đồ thị hoặc BBT của hàm số [ ] ' y fx = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ; ; ; ... f x m f u x m f x gm f u x gm = = = = Câu 1. Cho hàm số [ ] y f x = . Đồ thị của hàm số [ ] y fx ′ = như hình vẽ bên. Tìm điều kiện của m đề phương trình [] fx m = có nghiệm [ ] 2;6 x∈− ? A. [ ] [ ] 20 f mf −≤ ≤ . B. [ ] [ ] 25 f mf −≤ ≤ . C. [ ] [ ] 56 f mf ≤≤ . D. [ ] [ ] 02 f mf ≤≤ . Lời giải Chọn B. Gọi 1 S , 2 S , 3 S , 4 S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số [ ] y fx ′ = với và trục hoành. Quan sát hình vẽ, ta có [ ] [ ] 02 20 dd fx x fx x − ′′ >− ∫∫ [ ] [ ] 00 22 f x f x − ⇔> [ ] [ ] [ ] [ ] 0 2 02 ff ff ⇔ − − > − [ ] [ ] 22 ff ⇔ −< [ ] [ ] 25 02 dd fx x fx x ′′ − < ∫∫ [ ] [ ] 05 22 f x f x ⇔< [ ] [ ] [ ] [ ] 0 2 52 f f ff ⇔ − < − [ ] [ ] 05 f f ⇔< [ ] [ ] 56 25 dd fx x fx x ′′ >− ∫∫ [ ] [ ] 55 26 f x f x ⇔> [ ] [ ] [ ] [ ] 5 2 5 6 ff ff ⇔ − > − [ ] [ ] 2 6 ff ⇔< Ta có bảng biến thiên O 3 − 2 − 1 − 1 2 3 4 5 6 7 x y 4 2 2 − 1 S 2 S 3 S 4 S O 1 − 2 − 3 − 1 2 3 4 5 6 7 x y 4 2 2 −NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán [ ] [ ] 25 f mf ⇔ −≤ ≤ . Câu 2. Cho hàm số [ ]. y fx = Hàm số [] y fx ′ = có bảng biến thiên như sau: Phương trình [ ] cos 2 0 fx x m π − −= có nghiệm [2;3] o x ∈ khi và chỉ khi A. [ ] [ ] 11 23 22 f mf ≤≤ . B. [ ] [ ] 11 32 22 f mf . Vậy [ ] [ ] sin 0, [2;3]. gx f x x x ππ ′′ = + > ∀∈ Bảng biến thiên của hàm số [] gx Câu 3. Cho [ ] f x là hàm số đa thức bậc 5, có [ ] 10 f = và đồ thị hàm số [ ] ′ = y fx đối xứng qua đường thẳng 1 x = như hình dưới đây. Biết phương trình [ ] 1 f x m + = có nghiệm [ ] 1;1 x∈− khi và chỉ khi [ ] ; m ab ∈ . Khi đó ab + bằng A. 1 5 − . B. 1 5 . C. 1 3 . D. 0 . Lời giải x 2 − 0 2 5 6 [ ] fx ′ 0 + 0 − 0 + 0 − 0 [ ] f x [ ] 5 f [ ] 0 f [ ] 6 f [ ] 2 f [ ] 2 f − NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Chọn D Từ đồ thị [C] đã cho của hàm số [ ] ′ = y fx ta suy ra được đồ thị [C’] của hàm số [ ] 1 y fx ′ = + bằng cách tịnh tiến [C] sang trái 1 đơn vị. Khi đó [C’] đối xứng qua trục Oy và do nó là đồ thị hàm đa thức bậc 4, nên [C’] là đồ thị hàm số trùng phương dạng 42 y ax bx c = + + . Ta có [C’] lần lượt đi qua các điểm [ ] 0; 1 − ; [ ] 2; 3 ; [ ] 1; 3 −− nên lập hệ giải ra ta được 42 31 y x x =−− . Suy ra 42 '[ 1] 3 1 fx x x + = − − từ đó [ ] 5 3 1 5 x f x x x C + = − −+ . Lại có [ ] 10 f = nên 0 C = . Vậy [ ] 5 3 1 5 x f x x x + = − − . Ta thấy [ ] 42 '[ 1] 3 1 0 1;1 fx x x x + = − − < ∀ ∈− nên hàm số [ ] 5 3 1 [] 5 x f x gx x x + = = − − nghịch biến trên đoạn [ ] 1;1 − . Do đó phương trình [ ] 1 f x m + = có nghiệm [ ] 1;1 x∈− khi và chỉ khi [ ] [1]; [ 1] mg g ∈− hay 99 ; 55 m ∈− suy ra 99 ;0 55 a b ab = − =⇒ + = . Vậy [ ] [ ] [ ] 11 2 2 [3] [2] sin 2 2 [3] sin 3 2 3 22 g mg f m f f m f π π < < ⇔ + < < + ⇔ < < . Câu 4. Cho hàm số [ ] 43 2 h x mx nx px qx = + + + [ ] ,, , . mn p q ∈ Hàm số [ ] y hx ′ = có đồ thị như hình vẽ bên Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình [ ] 2 hx m m = + có hai ngiệm phân biệt? A. 2 . B. 10. C. 71. D. 2022 . Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị có [ ] 0 hx ′ = có 3 nghiệm phân biệt nên 0 m ≠ và 0 m < Ta có [ ] 32 4 32 . h x mx nx px q ′ = + ++ Mặt khác dựa vào đồ thị [ ] y hx ′ = suy ra [ ] [ ] [ ] 32 5 13 1 15 4 1 3 4 4 4 24 h x mx x x m x x x ′ = + − −= − − + . Đồng nhất hệ số ta có: 13 , , 15 . 3 m n p mq m = − = −= Xét phương trình [ ] 2 43 2 2 h x m m mx nx px qx m m = +⇔ + + + = + NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC 4 32 13 15 1 3 x x x xm ⇔ − −+ = + . Đặt [ ] 4 32 13 15 3 f x x x x x = − −+ . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có để phương trình [ ] 2 hx m m = + có 2 nghiệm phân biệt thì TH 1: 32 10 3 m − < +< 35 1 3 m − ⇔ < ⇔ > [ loại vì 0 m < ]. Vậy ta có 10 giá trị m thỏa mãn. Câu 5. Cho hàm số [ ] 4 32 = = + + + + y f x ax bx cx dx e với [, , , , ] ∈ abc d e . Biết hàm số [ ] ′ = y f x có đồ thị như hình vẽ, đạt cực trị tại điểm [ ] 0;0 O và cắt truc hoành tại [ ] 3;0 A . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên [ ] 5;5 − để phương trình [ ] 2 2 − + + = f x x m e có bốn nghiệm phân biệt. A. 0. B. 2. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn B Quan sát đồ thị [ ] ' f x như hình vẽ. Ta thấy rằng đây là hàm bậc 3 qua 0 không đổi dấu và qua 3 đổi dấu 1 lần. Nên suy ra [ ] [ ] [ ] 2 ' . 30 = − < f x kx x k [vì [ ] lim → +∞ = −∞ x fx nên 0 < k ] Do [ ] [ ] 3 2 1 1 3 '2 1 4 1 ' . 4 44 − = ⇒− = ⇔ = → =− + f k k f x x x Suy ra [ ] 4 3 3 1 1 11 1. 16 4 4 4 − = + +=− − + fx x x e x x e Mà theo đề ta có phương trình [ ] [ ] 2 3 22 2 2 2 10 4 − + + − + + = ⇔ − + + − = x x m f x x m e x x m [ ] [ ] 2 2 2 01 2 4 02 − + + = ⇔ − + + − = x x m x x m y O 3 1 1 2 xNHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Để phương trình [ ] 2 2 − + + = f x x m e có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình [1] và [2] lần lượt có 2 nghiệm phân biệt 1 2 10 3. 1 40 ∆= + > ⇒ ⇔> ∆= + − > m m m Mà [ ] { } 4;5 . 5;5 ∈ ⇒ ∈ ∈ − m m m Vậy có 2 giá trị nguyên m thoả mãn bài toán. Câu 6. Cho hàm số [ ] [ ] 4 32 , , , , , ; 0 y f x ax bx cx dx e a b c d e a = = + + + + ∈ ≠ có đạo hàm trên thỏa mãn [ ] 12 f − = − , [ ] 13 f = , [ ] 43 f = − và có đồ thị [ ] ' y fx = như hình vẽ sau: Phương trình [ ] 2019 0 f x m − + = có 1 nghiệm khi A. 2016 m = . B. 2017 m = . C. 2018 m = . D. 2019 m = Lời giải Chọn A. Từ đồ thị hàm số [ ] y fx ′ = và giả thiết ta có bảng biến thiên: Ta có [ ] [ ] [ ] 2019 0 2019 * f x m f x m − + = ⇔ = − . Qua bảng biến thiên ta thấy để phương trình [*] có 1 nghiệm thì 2019 3 2016 mm − =− ⇔ = . Câu 7. Cho hàm số [ ] 4 32 f x ax bx cx dx m = + + + + [ ] , , , , , 0 abc d m a ∈≠ . Hàm số [ ] y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ dưới đây NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Phương trình [ ] f x m = có bao nhiêu nghiệm? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số có [ ] [ ] [ ] 32 5 4 3 1 4 13 2 15 4 f x a x x x ax ax ax a ′ = = + + −= + − − . [ ] 4 32 13 15 3 f x ax ax ax ax m ⇒ = + −− + . [ ] 4 32 13 15 3 f x m ax ax ax ax m m = ⇔ + − − + = 4 32 13 15 0 3 ax ax ax ax ⇔ + −− = 32 13 15 0 3 xx x x ⇔ + −− = 0 5 3 3 x x x = ⇔= = − . Vậy phương trình [ ] f x m = có 3 nghiệm. Câu 8. Cho hàm số [] fx thỏa mãn 3 0; 2 f 0 3; f 1 0; f 2 3 f . Hàm số y fx liên tục trên và có đồ thị như sau: Với 0;3 m số nghiệm thực của phương trình 2 3 fx m ; [m là tham số thực], là A. 3 B. 4 C. 6 . D. 5. Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số y fx ta có bảng biến thiên sau: NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Đặt 2 33 tx t , ta có phương trình * 0;3 f t m m có 3 nghiệm phân biệt, hơn nữa do 3 0; 2 3 2 f f nên phương trình * có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3 3 , , ;2 2 tt t [thỏa mãn điều kiện] suy ra mỗi phương trình 2 3 3 ; ;2 ; 1,2,3. 2 i i tx t i đều có 2 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình 2 3 fx m có tất cả 6 nghiệm phân biệt với 0;3 m Câu 9. Cho đồ thị hàm số [ ] y fx = xác định và có đạo hàm trên . Hàm số [ ] y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm nhiều nhất của phương trình [ ] 2 fx m = [m là tham số thực] là? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số [ ] y f x ′ = ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số [ ] y fx = như sau: Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình [ ] fx m = có tối đa hai nghiệm dương, do đó phương trình [ ] 2 fx m = có tối đa 4 nghiệm. Câu 10. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên , [ ] [ ] [ ] 0 5 23 ff f += và có bảng biến thiên của hàm số [ ] y fx ′ = như sau: x −∞ 1 − 1 x 0 2 x 3 3 x 4 +∞ [ ] fx ′ 0 0 0 0 Tập nghiệm của phương trình [ ] [ ] 2 13 fx f −= có bao nhiêu phần tử? A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn A NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ BBT của hàm số [ ] y fx ′ = suy ra dấu của [ ] fx ′ và có BBT của hàm số [ ] y f x = như sau: x −∞ 1 − 0 3 4 +∞ [ ] fx ′ − 0 + 0 + 0 − 0 + [ ] f x [ ] 1 f − [ ] 0 f [ ] 3 f [ ] 4 f Lại có [ ] [ ] [ ] 0 5 23 ff f += , mà [ ] [ ] 03 f f < nên [ ] [ ] 53 ff > . Mặt khác với mọi x ∈ ta có 2 11 x − ≥− , do đó [ ] [ ] 2 13 fx f −= [ ] 2 2 13 14 5 x x aa −= ⇔ −= < < 2 1 x xa = ± ⇔ = ± + . Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Dạng 10: Biết số nghiệm của phương trình [ ] 0 f x = , xét các bài toán liên quan đến phương trình có chứa [ ] [ ] ' ; '' ... fx f x . Câu 1. Cho hàm số 2 22 1 49 y fx x x x x x . Hỏi phương trình ' 0 fx có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 2 3 4 2 7 5 3 1 4 9 13 36 14 49 36 f x x x xx x x xx x x x x x ' 64 2 7 70 147 36 fx x x x Đặt 2 ,0 t xt Xét hàm 32 7 70 147 36 gt t t t Do phương trình '2 21 140 147 0 gt t t có 2 nghiệm dương phân biệt và . 0, 0 36 0 CD CT gg g nên 0 gt có 3 nghiệm dương phân biệt. Do đó ' 0 fx có 6 nghiệm phân biệt. Câu 2. Cho [ ] f x là một hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình dưới đây. NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Tập nghiệm của phương trình [ ] [ ] [ ] 2 . f x f x f x ′ ′′ = có số phần tử là A. 1. B. 2. C. 6. D. 0. Lời giải Chọn A Xét phương trình [ ] [ ] [ ] [ ] 2 .1 f x f x f x ′ ′′ = Do [ ] 0 f x = có ba nghiệm [ ] 12 2 1 2 3 ,, x x x x x x . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC [ ] ln f x x m − 1 , ;1 3 x ∀∈ . Đặt [ ] [ ] ln gx f x x = − [ ] [ ] 1 gx f x x ′′ ⇒ = − . Xét trên đoạn 1 ;1 3 ta có: [ ] 0 fx ′ ≤ và [ ] 1 00 gx x ′ − 1 , ;1 3 x ∀∈ . Vậy [ ] ln m f x x >− 1 , ;1 3 x ∀∈ 11 ln 3 33 mg f ⇒≥ = + . Câu 10. Cho hàm số [] y fx = liên tục trên và hàm số [] y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 19 [ 3 8] 16 32 f x x xm − −−≥ + − đúng với mọi [ ] 2;0 x∈− : A. 1 [ 2] 14 3 mf ≤ −− . B. 1 40 [ 4] 33 mf ≤ −− . C. 1 [ 2] 4 3 mf ≥ −− . D. 1 40 [ 4] 33 mf ≥ −− . Lời giải Chọn D Bất phương trình đã cho tương đương với: 2 19 [ 3 8] 16 32 f x x xm − −+ + ≤ đúng với mọi [ ] 2;0 x∈− Xét hàm số 2 19 [ ] [ 3 8] 16 32 gx f x x x = − −+ + với [ ] 2;0 x∈− . Ta có: [ ] [ 3 8] 9 16 gx f x x ′′ = − − −+ + [ ] 0 [ 3 8] 9 16 0 [ 3 8] 9 16 g x fx x fx x ′′ ′ = ⇔− −− + + = ⇔ −− = + [1] Đặt 38 tx = −− thì phương trình [1] trở thành: [] 3 8 f t t ′ = −− [2] Số nghiệm của phương trình [2] là số giao điểm của ĐTHS [] y f t ′ = và đường thẳng 38 yt = −− . NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Từ đồ thị ta được: 4 4 38 4 [2] 3 2 38 2 2 tx x tx x − =− − −=− = ⇔⇔ ⇔ =− − −=− = − Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: Bất phương trình 2 19 [ 3 8] 16 32 f x x xm − −+ + ≤ đúng với mọi [ ] 2;0 x∈− khi và chỉ khi: [ ] 2;0 1 40 max [ ] [ 4] 33 gx m m f − ≤ ⇔ ≥ −− . Câu 11. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên và có đồ thị của hàm số [ ] y fx ′ = như hình vẽ. Tìm m để bất phương trình [ ] 4 5 sin 5sin 2 10 f x x x m ≥ + + thỏa mãn ; 22 x ππ ∀∈ − ? NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC A. [ ] 1 4 1 4 10arcsin 5 mf ≤ −+ . B. [ ] 1 4 1 4 10arcsin 5 mf ≤ − +− − . C. [ ] 2 4 2 4 10arcsin 5 mf ≤ −+ . D. [ ] 2 4 2 4 10arcsin 5 mf ≤ +− . Lời giải Chọn B Ta có [ ] [ ] 4 5 sin 5sin 2 10 4 5 sin 5sin 2 10 f x x x m m fx x x ≥ + + ⇔ ≤ − − Xét hàm số [ ] [ ] 4 5 sin 5sin 2 10 gx f x x x = −− trên ; 22 ππ − ta có [ ] [ ] [ ] 2 4 5 cos . 5 sin 10cos 2 10 4 5 cos . 5 sin 20cos g x xf x x xf x x ′′ ′ = − −= − [ ] 4 5 cos 5 sin 5 cos xf x x ′ = − Do ; 22 x ππ ∈− nên 2 cos 1 sin 0 xx =−> Khi đó [ ] [ ] [ ] 2 0 5 sin 5 cos 5 sin 5 5sin g x f x x f x x ′′ ′ = ⇔=⇔= − . Đặt 5 sin t x = ta được [ ] 2 5 ft t ′ = − Xét hàm số 2 5 y x = − có đồ thị là nửa đường tròn tâm O bán kính 5 nằm phía trên trục hoành. Dựa vào đồ thị suy ra [ ] { } 2 5 1;1;2 ft t t ′ = − ⇔ ∈− 1 2 3 1 arcsin 5 5 sin 1 1 5 sin 1 arcsin 5 5 sin 2 2 arcsin 5 xx x xx x x xx = − = = − ⇔ = ⇔= = = = = Ta có bảng biến thiên của [ ] gx trên ; 22 ππ − là: NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Ta có [ ] [ ] 1 1 4 1 4 10arcsin 5 gx f = − +− − và [ ] [ ] 3 2 4 2 4 10arcsin 5 gx f = −+ . Gọi [ ] H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị [ ] y fx ′ = trục hoành và hai đường thẳng 1, 2 xx = −= . Dựa vào đồ thị ta thấy diện tích hình [ ] H lớn hơn 4. Vì [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 21 f f f x dx S H − ′ − − = = ∫ nên [ ] [ ] 2 14 ff > −+ Do đó [ ] [ ] [ ] [ ] 31 22 4 2 4 10 arcsin 4 1 12 10arcsin 55 gx f f g x = −+ > − + + > Vậy để [ ] m gx ≤ với ; 22 x ππ ∀∈ − thì [ ] [ ] 1 1 4 1 4 10arcsin 5 m gx f ≤ = − +− − . Câu 12. Cho hàm số [ ] y f x = . Hàm số [ ] y fx ′ = có bảng biến thiên như sau Bất phương trình [ ] 2 x x fe e m < + nghiệm đúng với mọi [ ] ln 2;ln 4 x ∈ khi và chỉ khi A. [ ] 24 mf ≥− . B. [ ] 2 16 mf ≥− . C. [ ] 24 mf >− . D. [ ] 2 16 mf >− . Lời giải Chon A Ta có [ ] 2 x x fe e m < + nghiệm đúng với mọi [ ] ln 2;ln 4 x ∈ khi và chỉ khi [ ] [ ] 2 , ln 2;ln 4 . xx m fe e x > − ∀∈ [*] Đặt [ ] 2;4 x te t = ⇒∈ Bất phương trình [*] trở thành : [ ] [ ] 2 , 2;4 m ft t t > − ∀∈ Xét hàm số [ ] [ ] 2 gt f t t = − trên [ ] 2;4 Ta có [ ] [ ] 20 gt f t t ′′ = −< [ do [ ] [ ] 4, 2;4 ft t ′ < ∀∈ ] Vậy [ ] [ ] 2 gt f t t = − nghịch biến trên [ ] 2;4 NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC Suy ra : [ ] [ ] [ ] 2 24 gt g f mf . B. [ ] 33 ≥ mf . C. [ ] 3 14 > −+ mf . D. [ ] 3 14 mf ≥ −+ . Chọn D Ta có: [ ] 32 3 2 3 3 3 [] 3 f x x x m fx x x m ≤ − + ⇔ − + ≤ với mọi [ ] 1;3 ∈− x . Xét 32 [] 3 [] 3 gx f x x x = −+ với [ ] 1;3 x∈− . Khi đó: 22 [] 3 [] 3 6 3 [] 2 g x fx x x fx x x ′′ ′ = − + = −+ . Nghiệm của phương trình [] 0 gx ′ = là hoành độ giao điểm của đồ thị [] y fx ′ = và parabol 2 2 yx x = − . Phương trình [] 0 gx ′ = có ba nghiệm 1; 3; 1 x x x = − == trên đoạn [ ] 1;3 − . [ ] [ ] [ ] 32 11 lim lim 3 3 3 1 4 xx gx f x x x f + + → − → − = − + = −+ ; NHÓM TOÁN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến bài toán tương giao //www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁNVD – VDC [ ] [ ] [ ] 32 33 lim lim 3 3 3 3 xx gx f x x x f −− →→ = −+ = . Ta có bảng biến thiên sau: x 1 − 1 3 [] gx ′ 0 - 0 - 0 [] gx [ ] 3 14 f −+ [ ] 33 f Bất phương trình [ ] 32 3 3 ≤− + f x x x m đúng với mọi [ ] 1;3 ∈− x khi và chỉ khi [ ] [ ] , 1;3 m gx x ≥ ∀ ∈− 3 [ 1] 4 mf ⇔ ≥ −+ .