Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.
Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
* Chú ý
Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì:
Kí hiệu $\mathop {AB}\limits^ \curvearrowright $ chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.
2. Góc lượng giác
Trên một đường tròn định hướng, cho một cung lượng giác $\mathop {CD}\limits^ \curvearrowright $. Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến D tạo nên cung lượng giác $\mathop {CD}\limits^ \curvearrowright $ nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là [OC, OD].
3. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1.
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm $A\left[ {1;0} \right],A'\left[ { - 1;0} \right],B\left[ {0;1} \right],B'\left[ {0; - 1} \right]$. Ta lấy $A\left[ {1;0} \right]$ làm điểm gốc của đường tròn đó.
Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác [gốc A].
II. Số đo của cung và góc lượng giác
1. Độ và rađian
- Đơn vị rađian
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kinh được gọi là cung có số đo 1 rad.
- Quan hệ giữa độ và rađian
${1^0} = \frac{\pi }{{180}}rad$ và $1rad = {\left[ {\frac{{180}}{\pi }} \right]^0}$
* Bảng chuyển đổi thông dụng
- Độ dài của một cung tròn
Cung có số đo $\alpha $ rad của đường tròn đường kính R có độ dài
$l = R\alpha $
2. Số đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright \left[ {A \ne M} \right]$ là một số thực, âm hay dương.
Kí hiệu của số đo của cung $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $ là sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $.
sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = \alpha + k2\pi ,k \in Z$
sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = {a^0} + k{360^0},k \in Z$
3. Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác [OA, OC] là số đo của cung lượng giác $\mathop {AC}\limits^ \curvearrowright $ tương ứng.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Để biểu diễn cung lượng giác có số đo $\alpha $ trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A [1; 0] làm điểm đầu của cung vì vậy chỉ cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho cung $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $ có sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = \alpha $.
Đường tròn lượng giác. Đường tròn lượng giác, còn được gọi là đường tròn đơn vị, có bán kính $R=1$, tâm trùng với gốc tọa độ.
Trục hoành là trục cos, trục tung là trục sin.
Trục tan có gốc là điểm $A$ và vuông góc với trục cos, trục cotan có gốc là điểm $B$ vuông góc với trục sin.
Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm cùng chiều kim đồng hồ.
Cho góc lượng giác $\alpha$ như trong Hình 1, ta có $$\begin{gathered} \cos \alpha = \overline {O{M_1}} ,\;\;\;\;\sin \alpha = \overline {O{M_2}} , \hfill \\ \tan \alpha = \overline {AT} ,\;\;\;\;\;\;\cot \alpha = \overline {BS} , \hfill \\ \end{gathered} $$
trong đó ký hiệu $\overline {OM} $ dùng để chỉ độ dài đại số của $OM$.
Từ đây ta có $${\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = OM_1^2 + OM_2^2 = OM_1^2 + MM_1^2 = {R^2} = 1.$$
Vòng tròn lượng giác các em không chỉ học trong toán mà còn được ứng dụng trong vật lý. Bài viết này sẽ chia sẻ đầy đủ các kiến thức về vòng tròn lượng giác trong vật lý 12 để giúp các em có nền tảng kiến thức quan trọng giải các bài tập liên quan. Bắt đầu ngay nội dung thú vị ngày hôm nay thôi nào!!
Muốn giải được các bài tập vật lý 12 về vòng tròn lượng giác, trước hết các em cần nắm trọn kiến thức lý thuyết quan trọng. Admin sẽ tổng hợp đầy đủ các kiến thức chính mà các em cần nhớ và phải nhớ rõ, chi tiết như sau:
Nắm trọn kiến thức lý thuyết quan trọng về vòng tròn lượng giác lý 12
Vòng tròn lượng giác là gì?
Vòng tròn lượng giác sẽ biểu diễn cho một dao động điều hòa với phương trình dạng:
x = Acos[ωt + φ]
Thông qua phương trình trên, và căn cứ vào hình học biểu diễn trên đường tròn, có thể suy ra các đại lượng vật lý điển hình mà các em cần lưu ý như sau:
- A là biên độ
- x là li độ
- t là thời gian
Tùy thuộc vào đề bài được ra các em sẽ linh hoạt trong quá trình giải bài tập và tính toán. Bên cạnh đó, vòng tròn lượng giác chính là đường tròn có tâm O với bán kính là 1. Theo đó có một số Quy tắc vòng tròn lượng giác quan trọng cần nhớ như sau:
- Chiều dương của vòng tròn lượng giác là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ và điểm A là điểm gốc của vòng tròn lượng giác.
- Điểm P có tọa độ [x; y] trên vòng tròn lượng giác có điểm C bất kỳ. Thông qua đó có thể xác định được [OA, C] = α.
- Giá trị Cos trong vòng tròn lượng giác sẽ nằm trên trục Ox
- Giá trị Sin trong vòng tròn lượng giác sẽ nằm trên trục Oy
- Trục Tan vuông góc với trục Cos
- Trục Cotan vuông góc với trục Sin.
Các giá trị của vòng tròn lượng giác
Các giá trị của vòng tròn lượng giác sẽ gồm có dấu, bảng giá trị lượng giác từ 0 - 180 độ. Ngoài ra các em cũng cần nắm rõ công thức về các cung liên kết với vòng tròn lượng giác. Cụ thể như sau:
Dấu của giá trị lượng giác
Các giá trị lượng giác trong vòng tròn lượng giác, cũng như các góc ¼ số cụ thể như sau:
- Giá trị lượng giác Sinx, góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ 2 mang dấu [+], góc phần tư thứ 3 và góc phần thứ 4 mang dấu [-].
- Giá trị lượng giác Cosx, góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ 4 mang dấu [+], góc phần tư thứ 2 và góc phần tư thứ 3 mang dấu [-].
- Giá trị Tanx, góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ 3 mang dấu [+], góc phần tư thứ 2 và góc phần tư thứ 4 mang dấu [-].
- Giá trị Cotx, góc phần thứ nhất nhất và góc phần thứ thứ 3 mang dấu [+], góc phần tư thứ 2 và góc phần tư thứ 4 mang dấu [-].
Để giúp các em dễ dàng ghi nhớ về dấu giá trị lượng giác, Admin sẽ tạo một bảng tổng hợp ngắn gọn như sau:
Giá trị lượng giác
Góc phần tư I
Góc phần tư II
Góc phần tư III
Góc phần tư IV
Sinx
+
+
-
-
Cosx
+
-
-
+
Tanx
+
-
+
-
Cotx
+
-
+
-
Bảng giá trị của vòng lượng giác từ 0 - 180 độ
α
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
2700
3600
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
3π/2
2π
Sinα
0
1/2
√2/2
√3/2
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1
0
Cosα
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1/2
-√2/2
-√3/2
-1
0
1
Tanα
0
1/√3
1
√3
II
-√3
-1
-1/√3
0
II
0
Cotα
II
√3
1
1/√3
0
-1/√3
-1
-√3
II
0
II
Trong giao động điều hòa, thực tế sẽ có 3 dạng phương trình là: Li độ x, vận tốc v và gia tốc a. Phương trình cụ thể như sau:
- Phương trình của li độ x là: Acos[ωt + φ]
- Phương trình của vận tốc v là: – ωAsin[ωt + φ]
- Phương trình của gia tốc a là: – ω2x
Các dạng phương trình vòng tròn lượng giác vật lý 12
Tất cả các phương trình trên đều được biểu diễn trên vòng tròn lượng giác với tâm O. Khi đặt bán kính của đường tròn là A = OM, khi đó sẽ có các nhận định sau:
- Hình chiếu của điểm M trên trục hoành Ox sẽ là điểm H với giá trị tìm được chính là giá trị của li độ.
- Hình chiếu của điểm M lên trục tung Oy sẽ là điểm K với giá trị tìm được bằng giá trị của vật tốc.
- Điểm M có chuyển động tròn đều nền đường trong tâm O với bán kính A có tốc độ góc là ω. Đồng thời chúng ta cũng có thể xác định được các góc quét theo công thức: φ = ω.Δt
Các đại lượng khác nhau sẽ có đơn vị đo khác nhau. Cụ thể như sau:
- Góc quét φ có đơn vị đo là Rad
- Tần số góc ω có đơn vị đo là Rad/s
- Thời gian quét Δt có đơn vị đo là s.
Vòng tròn lượng giác trong chương trình vật lý 12 vô cùng quan trọng. Các em sẽ gặp nhiều trong các bài kiểm tra và bài thi. Tuy nhiên, công thức vòng trong lượng giác rất dễ bị nhầm lẫn, các em cần lưu ý nắm rõ kiến thức để giải bài tập chuẩn xác và đạt kết quả cao.
Ứng dụng vòng tròn lượng giác vào giải các bài vật lý liên quan
Ứng dụng của vòng tròn lượng giác trong vật lý chính là tìm mối quan hệ giữa dao động điều hòa và dao động tròn đều. Với công thức như sau:
A = R và ω = v/R
Muốn giải được bài tập chuẩn xác, các em cần đọc thật kỹ yêu cầu của đề bài đưa ra, sau đó hiểu vấn đề và tiến hành giải theo các bước như sau:
- Bước 1: Tiến hành vẽ vòng tròn lượng giác tâm A với bán kính A.
- Bước 2: Các em sẽ tiến hành xét tại điểm t - 0 vật có vị trí cụ thể ở đầu trên vòng tròn lượng giác và nó chuyển động theo chiều dương hay chiều âm.
- Vật chuyển động theo chiều âm khi ϕ < 0
- Vật chuyển động theo chiều dương khi ϕ > 0
- Bước 3: Các em tiếp tục xác định điểm tới của góc quét ϕ, sau đó tìm ra thời gian và quãng đường chuyển động của vật.
Ta có bảng tương quan giữa giao động điều hòa và chuyển động tròn đều như sau:
Dao động điều hòa: x = Acos[ωt + φ] Chuyển động tròn đều: [O, R = A]A là biên độR = A là bán kínhω là tần số gócω là tần số góc[ωt + φ] là pha dao động[ωt + φ] là tọa độ gócTốc độ cực đại: V = AωTốc độ dài: V = RωGia tốc cực đại: α = Aω2Gia tốc hướng tâm: ah= Rω2Hợp lực cực đại tác dụng lên vật: F = mAω2Lực hướng tâm tác dụng lên vật: Fh = mRω2
Có nhiều dạng bài tập về vòng tròn lượng giác trong vật lý 12. Các em muốn chủ động hơn trong việc học tập, cùng như dễ dàng hơn trong việc giải bài tập để có đáp án chuẩn xác, các em cần xác định được dạng bài đã cho. Đối với vòng tròn lượng giác, trong vật ý các em sẽ gặp 7 dạng bài sau:
Các dạng bài tập thường gặp về vòng tròn lượng giác trong vật lý
- Dạng 1: Bài tập về tính quãng đường đi và thời gian trong dao động điều hòa.
- Dạng 2: Bài tập về tính trung bình vận tốc và tốc độ
- Dạng 3: Bài tập về xác định trạng thái dao động của vật
- Dạng 4: Bài tập về tính thời gian của một chu kỳ để IXI, IVI, IAI nhỏ hơn hoặc lớn hơn một giá trị cho sẵn.
- Dạng 5: Bài tập yên cần tìm số lần vật đi qua một vị trí khi biết X. Giải bài tập này các em có thể sử dụng các giá trị V, A, WT, WĐ, F từ thời điểm T1 đến T2.
- Dạng 6: Bài tập yêu cầu tính thời điểm vật đi qua một vị trí đã biết X hoặc V, A, WT, WĐ, F trong lần thứ N.
- Dạng 7: Bài tập về tính quãng đường lớn nhất, quãng đường nhỏ nhất.
Toàn bộ kiến thức trong bài đã cung cấp lý thuyết quan trọng về vòng tròn lượng giác trong vật lý 12. Hy vọng nó không chỉ bổ ích mà còn giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải các bài tập liên quan.