1. Các kiến thức cần nhớ
Nhắc lại:
\[\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\]
Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Bước 2: Giải các phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối
Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét
Bước 4: Kết luận nghiệm.
2. Một số dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối
a. Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối [GTTĐ] dạng \[\left| {A\left[ x \right]} \right| = B\left[ x \right]\], ta khử dấu GTTĐ bằng cách xét 2 trường hợp :
- Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l}A\left[ x \right] \ge 0\\A\left[ x \right] = B\left[ x \right]\end{array} \right.\]
- Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l}A\left[ x \right] < 0\\ - A\left[ x \right] = B\left[ x \right]\end{array} \right.\]
b. Với phương trình dạng \[\left| {A\left[ x \right]} \right| = m\] với \[m > 0\], ta có:
\[\left| {A\left[ x \right]} \right| = m \Leftrightarrow A\left[ x \right] = m\] hoặc \[A\left[ x \right] = - m\].
c. Với phương trình dạng \[\left| {A\left[ x \right]} \right| = \left| {B\left[ x \right]} \right|\] ta có:
\[\left| {A\left[ x \right]} \right| = \left| {B\left[ x \right]} \right| \]\[\Leftrightarrow A\left[ x \right] = B\left[ x \right]\] hoặc \[A\left[ x \right] = - B\left[ x \right]\]
d. Với phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Lập bảng xét dấu
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu để chia các trường hợp phá dấu giá trị tuyệt đối.
Bước 3: Giải phương trình thu được, so sánh với điều kiện và kết luận nghiệm.
Ví dụ: \[\left| {2x - 4} \right| = x\]
+ TH1: \[\left| {2x - 4} \right| = 2x - 4\] khi \[2x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 2\]
Khi đó ta có phương trình: \[2x - 4 = x \Leftrightarrow x = 4\,\left[ {TM} \right]\]
+ TH2: \[\left| {2x - 4} \right| = - \left[ {2x - 4} \right]\] khi \[2x - 4 < 0 \Leftrightarrow 2x < 4 \Leftrightarrow x < 2\]
Khi đó ta có phương trình \[ - \left[ {2x - 4} \right] = x \]\[\Leftrightarrow - 2x + 4 - x = 0 \]\[\Leftrightarrow 3x = 4\]\[ \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{3}\left[ {TM} \right]\].
Vậy tập nghiệm của phương trình \[S = \left\{ {\dfrac{4}{3};4} \right\}.\]
I.Kiến thức cần nhớ
1. Giá trị tuyệtđối
*Quy tắc ở trên có nội dung thường được nhớ là “ phải cùng, trái khác” tức là bên phải
nghiệm x0thì f[x] cùng dấu với a,bên trái nghiệm x0thì f[x] khác dấu với a.
II.Giải mộtsốphươngtrìnhchứadấugiátrịtuyệtđối
1. Phươngphápchung
Bước1:Ápdụngđịnhnghĩagiá trịtuyệtđối đểloạibỏdấugiátrịtuyệt đối
Bước2:Giảicácbấtphươngtrìnhkhôngcódấugiátrịtuyệtđối
Bước3:Chọn nghiệmthíchhợptrongtừngtrườnghợpđangxétBước4:Kếtluậnnghiệm
2. Mộtsốdạngcơbản
Dạng | A | = | B |⇔A = B hay A = - B.
Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
+ Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu GTTĐ.
+ Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.
+ Xét từng khoảng, khử các dấu GTTĐ, rồi giải PT tương ứng trong trường hợp đó.
+ Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ:Giải bất phương trình | 4x | = 3x + 1
Hướng dẫn:
Ta có | 4x | = 3x + 1
+ Với x ≥ 0 ta có | 4x | = 4x
Khi đó phương trình trở thành 4x = 3x + 1
⇔ 4x - 3x = 1⇔x = 1.
Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, nên 1 là một nghiệm của phương trình đã cho
+ Với x < 0 ta có | 4x | = - 4x
Khi đó phương trình trở thành - 4x = 3x + 1
⇔- 4x - 3x = 1⇔- 4x = 1⇔x = - 1/7.
Giátrịx=-1/7thỏamãnđiềukiện x0.
b] A = | 4x | - 2x + 12 với x < 0.
c] A = | x - 4 | - x + 1 với x < 4
Hướng dẫn:
a] Với x > 0⇒| 5x | = 5x
Khiđótacó:A=3x+2+|5x|=3x+2+5x=8x+2 VậyA=8x+2.
b] Ta có: x < 0⇒| 4x | = - 4x
Khiđótacó:A=|4x|-2x+12=-4x-2x+12=12-6x VậyA=12-6x.
c] Ta có: x < 4⇒| x - 4 | = 4 - x
Khiđótacó:A=|x-4|-x+1=4-x-x+1=5-2x.VậyA=5-2x
Bài 2:Giải các phương trình sau:
a] | 2x | = x - 6
b] | - 5x | - 16 = 3x
c] | 4x | = 2x + 12
d] | x + 3 | = 3x - 1
Hướng dẫn:
a] Ta có: | 2x | = x - 6
+Vớix≥0,phương trìnhtươngđương:2x=x-6⇔x=-6. Khôngthỏamãnđiềukiện x≥0.
+ Vớix 1 hay x – 4 dương nên
C = x – 4 – 2x + 12 = -x + 8
Vậy với x > 5 thì C = -x + 8
d] D= 3x + 2 + x+ 5 khi x + 5 ≥ 0
D = 3x + 2 – [x + 5] khi x + 5 < 0
Vậy D = 4x + 7 khi x ≥ -5
D = 2x – 3 khi x < -5
Bài 36. Giải các phương trình:
- a] |2x| = x – 6; b] |-3x| = x – 8;
- c] |4x| = 2x + 12; d] |-5x| – 16 = 3x.
Hướng dẫn giải:
a] |2x| = x – 6
|2x| = x – 6 ⇔ 2x = x – 6 khi x ≥ 0 ⇔ x = -6 không thoả mãn x ≥ 0
|2x| = x – 6 ⇔ -2x = x – 6 khi x < 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2 không thoả mãn x < 0
Vậy phương trình vô nghiệm
b] |-3x| = x – 8
|-3x| = x – 8 ⇔ -3x = x – 8 khi -3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
⇔ 4x = 8
⇔ x = 2 [không thoả mãn ≤ 0]
|-3x| = x – 8 ⇔ 3x = x – 8 khi -3x < 0 ⇔ x > 0
⇔ 2x = -8
⇔ x = -4 [không thoả mãn x < 0]
Vậy phương trình vô nghiệm
c] |4x| = 2x + 12
|4x| = 2x + 12 ⇔ 4x = 2x + 12 khi 4x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
⇔ 2x = 12
⇔ x = 6 [thoả mãn điều kiện x ≥ 0]
|4x| = 2x + 12 ⇔ -4x = 2x + 12 khi 4x < 0 ⇔ x < 0
⇔ 6x = -12
⇔ x = -2 [thoả mãn điều kiện x < 0]
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6 và x = -2
d] |-5x| – 16 = 3x
|-5x| – 16 = 3x ⇔ -5x – 16 = 3x khi -5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
⇔ 8x = -16
⇔ x = -2 [thoả mãn điều kiện x ≤ 0]
|-5x| – 16 = 3x ⇔ 5x -16 = 3x khi -5x < 0 ⇔ x > 0
⇔ 2x = 16
⇔ x = 8 [thoả mãn điều kiện x > 0]
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x= 8.
Bài 37. Giải các phương trình:
a] |x – 7| = 2x + 3; b] |x + 4| = 2x – 5;
c] |x + 3| = 3x – 1; d] |x – 4| + 3x = 5.
Hướng dẫn giải:
a] |x – 7| = 2x + 3
|x – 7| = 2x + 3 ⇔ x – 7 = 2x + 3 khi x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7
⇔ x = -10 [không thoả mãn điều kiện x ≥ 7]
|x – 7| = 2x + 3 ⇔ -x + 7 = 2x + 3 khi x – 7 < 0 ⇔ x < 7
⇔ 3x = 4
⇔ x = 4343 [thoả mãn điều kiện x < 7]
Vậy phương trình có nghiệm x = 4343
b] |x + 4| = 2x – 5
⇔ x + 4 = 2x – 5 khi x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -4
⇔ x = 9 [ thoả mãn điều kiện x ≥ -4]
|x + 4| = 2x – 5 ⇔ -x – 4 = 2x – 5 khi x + 4 < 0 ⇔ x < -4
⇔ 3x = 1
⇔ x = 1313 [không thoả mãn điều kiện x < -4]
Vậy phương trình có nghiệm x = 9
c] |x + 3| = 3x – 1
|x + 3| = 3x – 1 ⇔ x + 3 = 3x – 1 khi x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3
⇔ 3x = 4
⇔ x = 4343 [thoả mãn điều kiện x ≥ -3]
|x + 3| = 3x – 1 ⇔ -x – 3 = 3x – 1 khi x < -3
⇔ 4x = -2
⇔ x = −12−12 [không thoả mãn điều kiện x < -3]
Vậy phương trình có nghiệm x = 4343
d] |x – 4| + 3x = 5
|x – 4| + 3x = 5 ⇔ x – 4 + 3x = 5 khi x ≥ 4
⇔ 4x = 9
⇔ x = 9494 [không thoả mãn điều kiện x ≥ 4]
|x – 4| + 3x = 5 ⇔ -x + 4 + 3x = 5 khi x < 4
⇔ 2x = 1
⇔ x = 12