Các dạng toán về hàm số lớp 12 năm 2024

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm \[f'\left[ x \right]\], tìm các điểm \[{x_1},{x_2},...,{x_n}\] mà tại đó đạo hàm bằng \[0\] hoặc không xác định.

- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà \[f'\left[ x \right] > 0\] là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà \[f'\left[ x \right] < 0\] là các khoảng nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2{x^4} + 1$.

Ta có $y' = 8{x^3},y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {0; + \infty } \right]$

\[y' < 0 \Leftrightarrow x < 0\] nên hàm số đã cho nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ;0} \right]\]

Một số trường hợp đặc biệt:

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f'\left[ x \right]$.

- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y = f\left[ x \right]$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left[ x \right] \geqslant 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y = f\left[ x \right]$ nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left[ x \right] \leqslant 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên \[\mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow y' = {x^2} - 2[m + 1]x - [2m + 3] \ge 0\] \[{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\]

\[ \Leftrightarrow \Delta ' = {[m + 1]^2} + [2m + 3] \le 0 \] \[\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m = - 2\]

Cho hàm số $f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c\left[ {a \ne 0} \right]$. Khi đó:

$\begin{gathered}f\left[ x \right] \geqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a > 0 \hfill \\\Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\f\left[ x \right] \leqslant 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}a < 0 \hfill \\\Delta \leqslant 0 \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số $y = f\left[ x \right]$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left[ x \right] \geqslant 0, \forall x \in D$.

+ Hàm số $y = f\left[ x \right]$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left[ x \right] \leqslant 0, \forall x \in D$.

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

- Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left[ x \right],\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left[ x \right],\forall x \in D$.

- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left[ x \right]$ trên $D$.

- Kết luận: $\begin{gathered}m \geqslant g\left[ x \right],\forall x \in D \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_D g\left[ x \right] \hfill \\m \leqslant g\left[ x \right],\forall x \in D \Rightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_D g\left[ x \right] \hfill \\ \end{gathered} $

- Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm m để hàm số \[y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\] đồng biến, nghịch biến trên khoảng \[\left[ {\alpha ;\beta } \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left[ x \right] < 0,\forall x \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left[ {\alpha ;\beta } \right]\end{array} \right.\]

Trong chương trình bậc THPT, tri thức toán có nhắc đến ba loại hàm số: hàm số bậc 3, hàm số bậc 4 trùng phương, hàm phân thức bậc nhất. Ở chủ đề này, ta sẽ cùng nhau khảo sát cả ba hàm số trên và các dạng đồ thị hàm số tương ứng của chúng. Kĩ năng khảo sát hàm số là một kĩ năng cần được rèn luyện thường xuyên vì đây chính là công cụ hỗ trợ giải các bài toán ở mức vận dụng, vận dụng cao.

1. Tổng hợp các dạng đồ thị hàm số

1.1. Khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số bậc 3

Hàm số bậc ba có dạng: y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0]

• Tập xác định: D = R

• Đạo hàm: y ' = f '[x] = 3ax2 + 2bx + c

• Điểm đối xứng

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là [0; d].

• Hoành độ điểm uốn [trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị].

y'' = 0 ⇔ x =

• Đồ thị

∗ Trường hợp 1: a > 0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt [Điều kiện: > 0]

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Đồng biến trên các khoảng [-∞;xCĐ]; [xCT;+∞]

• Nghịch biến trên [xCĐ; xCT]

Phương trình y' = 0 có nghiệm kép [Điều kiện: = 0]

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên R

Phương trình y' = 0 vô nghiệm [Điều kiện: < 0]

• Không có cực trị

• Luôn đồng biến trên

∗ Trường hợp 2: a < 0

Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt [Điều kiện: > 0]

• Có 1 cực đại, 1 cực tiểu.

• Nghịch biến trên các khoảng [-∞;xCT]; [xCĐ;+∞]

• Đồng biến trên [xCT; xCĐ]

Phương trình y' = 0 có nghiệm kép [Điều kiện: = 0]

• Không có cực trị

• Luôn nghịch biến trên R

Phương trình y' = 0 vô nghiệm [Điều kiện: < 0]

• Không có cực trị

• Luôn nghịch biến trên R

1.2. Khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f[x] = ax4 + bx2 + c [a ≠ 0]

• Tập xác định: D = R

• Đạo hàm: y ' = f '[x] = 4ax3 + 2bx

• Trục đối xứng x = 0 [ trục tung]

• Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là [0; c]

• Đồ thị

∗ Trường hợp 1: a > 0

y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

y' = 0 có duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

∗ Trường hợp 2: a < 0

y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ hàm số có ba cực trị a.b < 0

y' = 0 có duy nhất một nghiệm x = 0 ⇔ hàm số có một cực trị a.b ≥ 0

1.3. Khảo sát và vẽ các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất

Hàm số phân thức bậc nhất có dạng: y = f[x] =

• Tập xác định: D =

• Đạo hàm: y ' = f '[x] =

• Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang

• Hàm số không có cực trị

• Điểm đối xứng

• Giao với trục Ox [nếu có] tại điểm A

• Giao với trục Oy tại điểm: B

∗ Trường hợp 1: ad - bc > 0

Luôn đồng biến trên các khoảng

∗ Trường hợp 2: ad - bc < 0

Luôn nghịch biến trên các khoảng

2. Cách nhận biết các dạng đồ thị hàm số

Hàm số bậc 3

Hàm số bậc ba có dạng: y = f[x] = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0]

- Nhánh cuối có hướng đi lên ⇒ a > 0, nhánh cuối có hướng đi xuống ⇒ a < 0

- Giao điểm với trục tung suy ra dấu của d.

- Các cực trị, hoành độ tâm đối xứng suy ra dấu của b và c

Hàm số bậc 4 trùng phương

Hàm số bậc bốn trùng phương có dạng: y = f[x] = ax4 + bx2 + c [a ≠ 0]

- Nhánh cuối có hướng đi lên ⇒ a > 0, nhánh cuối có hướng đi xuống ⇒ a < 0

- Giao điểm với trục tung suy ra dấu của c.

- Các cực trị suy ra dấu của b.

3. Bài tập về các dạng đồ thị hàm số lớp 12 cơ bản - nâng cao

Bài 1: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:

- ⇒ a > 0 nên loại C.

- Hàm số có 3 điểm cực trị, ta có: a.b < 0 nên loại A, D.

→ Chọn câu B.

Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Dựa vào đồ thị, ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm bậc ba với hệ số a < 0, nên loại phương án C, D.

Khi x = 0 thì y = 2 nên loại phương án A, chọn phương án B.

→ Chọn câu B.

Bài 3: Đồ thị hàm số y = x4 - 4x2 + 3 là hình nào trong số các hình vẽ dưới đây?

A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Tập xác định D = R.

y ' = 4x3 - 8x, y ' = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hình A.

→ Chọn câu A.

Bài 4: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

1. a + b + c = 2

1. a - b + c = 0

1. a + b + c = 0

1. abc = -2

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta có tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là ⇒ a = 2b và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là ⇒ c = -b .

Suy ra hàm số mà điểm A[0; 1] thuộc đồ thị hàm số nên nên a = 2; c = -1. Vậy a + b + c = 2.

→ Chọn câu C.

Bài 5: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d [a, b, c, d ∈ R] có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d ?

1. 4

1. 2

1. 3

1. 1

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Từ đồ thị hàm số đã cho ta có:

a < 0

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d < 0.

Hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình y ' [x] = 3ax2 + 2bx + c các giá trị này đều dương nên ta có:

⇔

Như vậy trong bốn số a, b, c, d chỉ có một số dương là số b.

→ Chọn câu D.

Bài 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

1. x3 - 3x

1. -x3 + 3x

1. x3 + 3x

1. -x3 - 3x

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta thấy khoảng ngoài cùng bên tay phải của đồ thị đi lên ⇒ a > 0. Loại đáp án B,D.

Và đồ thị có 2 điểm cực trị nên loại đáp án C.

→ Chọn câu A.

Bài 7: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

.jpg]

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Với đồ thị hàm số phân thức dạng bậc nhất dựa vào hình dáng đồ thị, tiệm cận của đồ thị hàm và giao điểm với hai trục tọa độ.

∗ Cách giải

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1 và tiệm cận đứng là x = 1 đồng thời đồ thị đi qua điểm [0;-1] nên chọn đáp án D.

→ Chọn câu D.

Như vậy chủ đề hôm nay bao gồm bài tập về các dạng về đồ thị hàm số, mục tiêu của bài học là học sinh biết cách phân biệt các dạng đồ thị hàm số, biết cách từ đồ thị hàm số suy ra dạng hàm số đó. Ngoài ra còn có một số các bài tập ở mức độ thông hiểu yêu cầu xét dấu các hệ số của hàm số. Các bài tập trên chỉ xoay quanh các dạng toán ở mức độ nhận biết và thông hiểu nhưng đây là nền tảng để chúng ta xây dựng lên các hàm số có độ phức tạp cao hơn nhằm giải quyết các dạng toán về hàm ẩn.