- * Lớp 1
- Lớp 2
- Lớp 3
- Lớp 4
- Lớp 5
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
- Thi chuyển cấp
Mầm non
- Tranh tô màu
- Trường mầm non
- Tiền tiểu học
- Danh mục Trường Tiểu học
- Dạy con học ở nhà
- Giáo án Mầm non
- Sáng kiến kinh nghiệm
Học tập
- Giáo án - Bài giảng
- Luyện thi
- Văn bản - Biểu mẫu
- Viết thư UPU
- An toàn giao thông
- Dành cho Giáo Viên
- Hỏi đáp học tập
- Cao học - Sau Cao học
- Trung cấp - Học nghề
- Cao đẳng - Đại học
Hỏi bài
- Toán học
- Văn học
- Tiếng Anh
- Vật Lý
- Hóa học
- Sinh học
- Lịch Sử
- Địa Lý
- GDCD
- Tin học
Trắc nghiệm
- Trắc nghiệm IQ
- Trắc nghiệm EQ
- KPOP Quiz
- Đố vui
- Trạng Nguyên Toàn Tài
- Trạng Nguyên Tiếng Việt
- Thi Violympic
- Thi IOE Tiếng Anh
- Kiểm tra trình độ tiếng Anh
- Kiểm tra Ngữ pháp tiếng Anh
Tiếng Anh
- Luyện kỹ năng
- Giáo án điện tử
- Ngữ pháp tiếng Anh
- Màu sắc trong tiếng Anh
- Tiếng Anh khung châu Âu
- Tiếng Anh phổ thông
- Tiếng Anh thương mại
- Luyện thi IELTS
- Luyện thi TOEFL
- Luyện thi TOEIC
Khóa học trực tuyến
- Tiếng Anh cơ bản 1
- Tiếng Anh cơ bản 2
- Tiếng Anh trung cấp
- Tiếng Anh cao cấp
- Toán mầm non
- Toán song ngữ lớp 1
- Toán Nâng cao lớp 1
- Toán Nâng cao lớp 2
- Toán Nâng cao lớp 3
- Toán Nâng cao lớp 4
Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Dạng tổng quát: \[\dfrac{k}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{{n - \left[ {n - k} \right]}}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{n}{{\left[ {n - k} \right].n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\]
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Bài tập
Bài 1:
Tính:
- A = \[2017:\left[ {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right]\]
- \[B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\]
- \[C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\]
- \[D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\]
- \[E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\]
- \[F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\]
Bài 2:
Tính các tổng sau:
- \[A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^{2020}}}}\]
- \[B = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} + \ldots + \dfrac{1}{{2048}}\]
Bài 3:
- Tính tổng sau: \[A = \dfrac{{1 + \left[ {1 + 2} \right] + \left[ {1 + 2 + 3} \right] + \ldots + \left[ {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right]}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\]
- Chứng minh rằng biểu thức \[B\] có giá trị bằng \[\dfrac{1}{2}\] với \[B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\]
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1:
Tính:
- A = \[2017:\left[ {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right]\]
- b] \[B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\]
- \[C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\]
- \[D = \dfrac{7}{{1.9}} + \dfrac{7}{{9.17}} + \dfrac{7}{{17.25}} + \ldots + \dfrac{7}{{2011.2019}}\]
- \[E = \dfrac{{{3^2}}}{{1.4}} + \dfrac{{{3^2}}}{{4.7}} + \dfrac{{{3^2}}}{{7.10}} + \ldots + \dfrac{{{3^2}}}{{2017.2020}}\]
- \[F = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} + \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\]
Phương pháp
Nhận xét: Tử số bằng hiệu của các thừa số ở mẫu.
Dạng tổng quát: \[\dfrac{k}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{{n - \left[ {n - k} \right]}}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{n}{{\left[ {n - k} \right].n}} - \dfrac{{n - k}}{{\left[ {n - k} \right].n}} = \dfrac{1}{{n - k}} - \dfrac{1}{n}\]
Áp dụng phương pháp khử liên tiếp: Viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau.
Lời giải
\[2017:\left[ {\dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{2017.2018}}} \right]\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2017:\left[ {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2017}} - \dfrac{1}{{2018}}} \right]}\\{ = 2017:\left[ {1 - \dfrac{1}{{2018}}} \right]}\\{ = 2017:\dfrac{{2017}}{{2018}}}\\{ = 2017.\dfrac{{2018}}{{2017}} = 2018.}\end{array}\]
Vậy \[x = \dfrac{{ - 2}}{3}\]
- \[B = \dfrac{3}{{2.5}} + \dfrac{3}{{5.8}} + \dfrac{3}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{3}{{2016.2019}}\]
\[\begin{array}{l} = \dfrac{{5 - 2}}{{2.5}} + \dfrac{{8 - 5}}{{5.8}} + \dfrac{{11 - 8}}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019 - 2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{5}{{2.5}} - \dfrac{2}{{2.5}} + \dfrac{8}{{5.8}} - \dfrac{5}{{5.8}} + \dfrac{{11}}{{8.11}} - \dfrac{8}{{8.11}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{2016.2019}} - \dfrac{{2016}}{{2016.2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{11}} + \ldots + \dfrac{1}{{2016}} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{2019}}\\\, = \dfrac{{2019 - 2}}{{2.2019}}\\\, = \dfrac{{2017}}{{4038}}.\end{array}\]
- \[C = \dfrac{2}{{1.7}} + \dfrac{2}{{7.13}} + \dfrac{2}{{13.19}} + \ldots + \dfrac{2}{{2013.2019}}\]
Xét từng phân số ta thấy: Hiệu 2 thừa số ở mẫu bằng \[6\] \[ \Rightarrow \] Nhân cả 2 vế của biểu thức với \[3\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left[ {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right]}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\]