Các bài toán đặc biệt về căn bậc hai

Toán học là một trong những bộ môn khoa học tự nhiên, được phát sinh từ nhu cầu thực tế của con người. Dạy toán là dạy hoạt động toán cho học sinh, trong đó giải bài tập là hình thức chủ yếu, do đó dạy học giải bài tập có một vị trí vô cùng quan trọng.

Đặc trưng của bài tập bộ môn toán nói chung và thể loại toán về "căn bậc hai nói riêng" nó có một vị trí quan trọng trong chương trình dạy và học toán lớp 9. Các bài toán này rất phong phú về thể loại, về cánh giải. Nó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng một cách hợp lý nhiều khi khá độc đáo. Nó luôn là cơ sở, là nền tảng vững chắc cho bộ môn toán học và các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Loại bài tập này vận dụng cho nhiều đối tượng học sinh trong một lớp, là loại bài tập được đóng vai trò quan trọng trong các đề kiểm tra, đề thi học kì và các đề thi học sinh giỏi lớp 9, đề thi vào 10

Toán học là môn học luôn mang tính kế thừa, có nắm chắc kiến thức cơ bản về "căn bậc hai", biết vận dụng thành thạo kiến thức này trong việc giải bài tập thì đó mới là cơ sở ban đầu để các em tiếp tục mở rộng và nâng cao kiến thức sau này. Đó là cơ hội để bước vào trường THPT, tương lai vào các trường đại học theo mong ước.

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về căn bậc hai theo hướng phát hiện những sai lầm thường gặp và hướng khắc phục sai lầm đó", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Căn bậc 2 và căn bậc 3 đều là những kiến thức khó đi cùng với nó là những dạng bài tập phức tạp, đòi hỏi các bạn học sinh vừa phải nắm chắc kiến thức cơ bản, vừa có thể áp dụng linh hoạt vào các dạng bài tập khác nhau. Bài viết dưới đây Cmath sẽ giúp các em củng cố lại các kiến thức liên quan đến căn bậc 2 và căn bậc 3 một cách chi tiết, dễ hiểu nhất. Hãy chú ý theo dõi nhé!

Căn bậc 2 và căn bậc 3 là gì?

Trước khi đi vào tìm hiểu các mối liên hệ cũng như các quy tắc tính toán với căn bậc 2 và căn bậc 3, chúng ta hãy cùng tìm hiểu định nghĩa của chúng.

Căn bậc hai là gì?

Căn bậc hai của một số a không âm là số x thỏa mãn x2 = a.

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, kí hiệu là √a và -√a.

Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính nó, ta viết: √0 = 0.

Với a > 0, √a còn được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được coi là căn bậc hai số học của 0.

Căn bậc hai là gì?

Căn bậc 3 là gì?

Căn bậc 3 của một số x bất kỳ là a nếu như: a3 = x.

Căn bậc ba của x được kí hiệu một cách đơn giản là 3√x. Kí hiệu này giống với căn bậc hai nhưng thêm số 3 ở phần đầu của căn.

Tất cả những số thuộc tập hợp số thực thì đều có căn bậc 3. Đây là một trong những tính chất khác với căn bậc hai là căn bậc chẵn. Căn bậc hai yêu cầu các số thực không âm. Căn bậc 3 thì không giống như vậy. Ví dụ: 3√-8 = -2

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai

Định nghĩa:

Với A là một biểu thức đại số, ta gọi √A là căn thức bậc hai của A.

Điều kiện xác định hay điều kiện để một căn thức có nghĩa

Điều kiện để √A xác định (có nghĩa) là A phải lấy giá trị không âm.

Ví dụ:

√3x xác định ⇔ 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

√3 – 7x xác định ⇔ 3 – 7x ≥ 0⇔ x ≥ 3/7.

√2 – 3x xác định ⇔ 2 – 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2/3.

√x – 6 xác định ⇔ x – 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6.

Hằng đẳng thức căn bậc hai

Muốn khai căn một biểu thức, ta dùng hằng đẳng thức sau:

• √A2 = |A| = A nếu A ≥ 0
• √A2 = |A| = -A nếu A ≤ 0.

Ví dụ 1: Thực hiện các phép biến đổi sau:

1. √(3 – √11)2

2. 3√(a – 2)2 với a < 2

Lời giải:

1. Ta có: √(3 – √11)2 = |3 – √11| = √11 – 3 vì √11 > 3.

2. Ta có: √(a – 2)2 = |a – 2| = 2 – a vì a < 2

Khi đó: 3√(a – 2)2 = 3(2- a) = 6 – 3a.

Ví dụ 2: Tìm x biết:

1. √(x2) = |-7|

2. √(9x2) = |-12|

Lời giải:

1. √(x2) = |-7|

Ta có: √(x2) = |-7|

⇔ √(x2) = 7

⇔ x2 = 49

⇔ x = 7

2. √(9x2) = |-12|

Ta có: √(9x2) = |-12|

⇔ √(9x2) = 12

⇔ 9x2 = 122

⇔ x2 = 16

⇔ x = 4

Quan hệ giữa phép khai phương và phép nhân

Với các số a và b không âm, ta có đẳng thức sau đây: √(a.b) = √a . √b

Lưu ý:

• Với hai biểu thức không âm A và B, chúng ta cũng sẽ có đẳng thức như sau: √A.B = √A . √B
• Nếu không có điều kiện A và B không âm thì ta không thể viết được đẳng thức khai phương trên.

Ví dụ: √[(-9).(4)] hoàn toàn có nghĩa nhưng đẳng thức √(-9).√(-4) lại vô lý, không xác định.

Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích, với điều kiện các thừa số trong tích đó phải là những số không âm. Ta có thể lấy căn từng thừa số trong tích rồi sau đó nhân các kết quả của phép căn lại với nhau.

Mở rộng: Với các số a, b, c, thỏa mãn a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, ta có: √(a.b.c) = √a . √b . √c.

Ví dụ: Thực hiện phép toán sau:

1. √32 + √8

2. √0,09.64

3. √[2^4.(-7)^2]

4. √12,1.360

5. √2^2.3^4

Lời giải:

1. √32 + √8 = √(16.2) + √(4.2) = √16 + √2 + √4 + √2 = 4√2 + 2√2 = 6√2.

2. √0,09.64 = √0.09 . √64 = 0,3.8 = 2,4.

3. √[2^4.(-7)^2] = √2^4 . √(-7)2 = 2^2 . [-(-7)] = 4.7 = 28.

4. √12,1.360 = √121.36 = √121 . √36 = 11.6 = 66.

5. √2^2.3^4 = √2^2 . √3^4 = 2.3^2 = 2.9 = 18.

Quy tắc khai phương một tích

Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của những số lớn hơn hoặc bằng 0. Ta có thể nhân các số dưới dấu căn lại với nhau, sau đó lấy căn kết quả vừa tìm được.

Mở rộng: Với các số a, b, c không ta có: √a . √b . √c = √(a.b.c).

Với biểu thức A thỏa mãn: A ≥ 0, ta có: (√A)2 = √(A2) = A.

Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức sau, đưa nó về dạng thu gọn:

√9(x2 -2x + 1) = √9. √(x2 – 2x + 1)

\= 3. √(x – 1)2

\= 3|x – 1|.

Ví dụ 2: Thực hiện các phép toán dưới đây:

1. √7.√63

2. √2,5.√30.√48

3. √0,4.√6.4

4. √2,7.√5.√1,5

Lời giải:

1. √7.√63 = √7.63 = √441 = 21

2. √2,5.√30.√48 = √2,5.30.48 = √3600 = 60

3. √0,4.√6.4 = √0,4.6,4 = √2,56 = 1,6

4. √2,7.√5.√1,5 = √2,7.5.1,5 = √0,09.15.15 = 0,3.15 = 4,5.

Quan hệ giữa phép khai phương và phép chia

Với số a không âm và số b dương ta có: √(a/b) = √a / √b.

Quy tắc lấy căn của một thương

Muốn khai phương của một thương a/b, trong đó a không âm và b dương, ta có thể khai phương lần lượt a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thức hai.

Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:

1. A = √25/49

2. B = √144/21

Lời giải:

1. A = √25/49

Ta có: A = √25/49

\= √25 / √49 = 5/7.

2. B = √144/21

Ta có: B = √144/21

\= √144 / √21 = 12/11.

Quy tắc chia các căn bậc hai

Muốn chia các căn bậc hai của số a không âm cho số b dương, ta có thể chia a cho b rồi khai phương kết quả đó.

Chú ý: Một cách tổng quát, với biểu thức A ≥ 0 và biểu thức B > 0, ta có:

√(A/B) = √A / √B.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: √27y3 / √3y với y > 0.

Lời giải:

Ta có: √27y3 / √3y

\= √(27y3/3y)

\= √(9y2) = |3y| = 3y.

Ví dụ 2: Thực hiện phép toán sau đây:

1. √75 / √3

2. √320 / √5

Lời giải:

1. √75 /√3

\= √(75/3) = √25 = 5

2. √320 /√5

\= √(320/5) = √64 = 8.

Quy tắc chia các căn bậc hai

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Về cơ bản, đối với các biểu thức có chứa căn bậc hai, ta có thể áp dụng một số phép biến đổi đơn giản như sau để việc tính toán ở các bước tiếp theo được dễ dàng, thuận tiện, tránh mắc phải những sai lầm đáng tiếc:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Ta có công thức tổng quát sau: √A2B = |A|.√B với B ≥ 0.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

Ta áp dụng công thức sau:

A√B = √A2B với A ≥ 0; B ≥ 0.

A√B = -√A2B với A ≤ 0; B ≥ 0.

Khử mẫu ở biểu thức chứa căn

Ta áp dụng công thức sau:

√(A/B) = √(AB)/B2 = 1/|B| . √AB với AB ≥ 0; B ≠ 0.

Trục căn thức ở mẫu

Ta áp dụng công thức dưới đây:

M/√A = (M√A)/A với A > 0

M / (√A ± √B) = [M(√A ∓ √B)]/(A – B) với A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B.

Đưa biểu thức chứa căn về dạng thu gọn

Bước 1: Dùng các phép biến đổi bên trên để đưa các căn thức bậc hai phức tạp ban đầu về dạng đơn giản, thuận lợi cho việc tính toán.

Bước 2: Áp dụng thứ tự thực hiện phép tính đã được học để tính toán.

Ví dụ: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các số sau:

1. 5√2; 2√5; 2√3; 3√2

2. √27; 6√(1/3); 2√8; 5√3

Lời giải:

1. Đưa thừa số bên ngoài vào trong dấu căn ta được:

2√5 = √20; 5√2 = √50; 3√2 = √18; 2√3 = √12

Mà ta lại có: √12 < √18 √20 < √50

Suy ra: 2√3 < 3√2 < 2√5 < 5√2.

2. Đưa thừa số bên ngoài dấu căn vào trong ta được:

2√8 = √32; 6√(1/3) = √12; 5√3 = √75

Mà ta lại có: √12 < √27 < √32 < √75

Suy ra: 6√(1/3) < √27 < 2√8 < 5√3.

Nhận xét: Khi so sánh các căn thức với nhau, ta nên đưa các thừa số vào dấu căn, sau đó mới so sánh.

Ví dụ: Tính:

Lời giải:

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức dưới đây luôn đúng:

Lời giải:

Biến đổi vế trái ta được:

\=> Điều phải chứng minh.

Tham khảo thêm:

Tạm kết

Bài viết trên đã củng cố cho các em những kiến thức về căn bậc 2 và căn bậc 3. Hy vọng bài viết sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức và có thể vận dụng thành thạo vào làm các bài tập thực hành. Chúc các em học tốt môn Toán và hãy đón chờ những bài viết mới của Cmath để bổ sung và ôn luyện kiến thức cho mình nhé!