Tài liệu gồm 24 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng [giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang], hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề chứng minh chia hết bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 – 7, giúp các em học sinh khối lớp 6, lớp 7 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 6, Toán 7 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh.
DẠNG 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT. DẠNG 2: CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀ ĐỒNG DƯ THỨC. DẠNG 3: NHÓM HỢP LÝ.
- Tài Liệu Toán 6
- Tài Liệu Toán 7
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại [zalo ]: 0393.732.038
Điện thoại: 039.373.2038 [zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ]
Kênh Youtube: //bitly.com.vn/7tq8dm
Email: tailieumontoan.com@gmail.com
Group Tài liệu toán đặc sắc: //bit.ly/2MtVGKW
Page Tài liệu toán học: //bit.ly/2VbEOwC
Website: //tailieumontoan.com
Phương pháp chứng minh chia hết ta sử dụng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích trong chương trình sách giáo khoa toán 6
Bài 1: 4a – 3b chia hết 19 thì 5a + b chia hết 19 Bài 2: Cho a, b $\in $N thỏa mãn [5a + 3b ] $\vdots $ 19. Chứng minh [8a + b ] $\vdots $ 19 Bài 3: Cho các số nguyên x , y thỏa mãn : A = 6x + 7y chia hết cho 8. Chứng minh rằng B = 10x + 9y chia hết cho 8.
Video giải chi tiết bài 1, bài 2, bài 3
Bài 4: Cho các số nguyên x,y thỏa mãn 2x + y chia hết cho 17. Hỏi 23x + 3y luôn chia hết cho bao nhiêu ? Hướng dẫn giải. Ta có: [2x + y] : 17 = k [ với $k\in N$] => 2x + y = 17k => y = 17k – 2x Ta có: 23x + 3y \= 23x + 3.[17k -2x] \= 23x + 51k – 6x \= 17x + 51k \= 17.[x + 3k] Do 17[x + 3k] luôn chia hết cho 17 \=> 23x + 3y luôn chia hết cho 17 \=> Điều phải chứng minh. Bài 5: Cho a, b là các số tự nhiên và [a + 5b] chia hết cho 2 . Hỏi 5a + 11b luôn chia hết cho số nào ? Hướng dẫn giải. Ta có: [a + 5b] : 2 = k [ với $k\in N$] \=> a + 5b = 2k \=> a = 2k – 5b Ta có: 5a + 11b \= 5[2k -5b] + 11b \= 10k – 25b + 11b \= 10k – 14b \= 2[5k – 7b] Do 2[5k – 7b] luôn chia hết cho 2 \=> 5a + 11b luôn chia hết cho 2
Bài toán chia hết luôn đòi hỏi sự ghi nhớ các dấu hiệu và các tính chất chia hết, đồng thời vận một cách linh hoạt các phép biến đổi. Vì vậy mà các em cần nắm vững phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải qua các bài tập vận dụng.
Bài viết này HayHocHoi sẽ giúp các em ôn lại phương pháp chứng minh chia hết, qua đó vận dụng giải một số bài tập vận dụng để các em nắm chắc nội dung này.
- Cách chứng minh chia hết
Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho số nguyên a, ta phân tích:
• Nếu A có dạng tích m.n.p thì cần chỉ ra m [hoặc n, hoặc p] chia hết cho a. Hoặc
m chia hết cho a1;
n chia hết cho a2;
p chia hết cho a3
Với a = a1.a2.a3
• Nếu A có dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi chia m, n, p cho a phải chia hết cho a.
• Nếu A có dạng hiệu m - n thì cần chỉ ra m, n chia hết cho a có cùng số dư.
II. Bài tập chứng minh chia hết lớp 6
* Bài tập 1: Chứng minh rằng S = 5 + 52 + 53 +...+ 59 + 510 chia hết cho 6.
* Lời giải:
- Nhóm tổng S thành tổng các bội số của [6] như sau:
S = [5 + 52] + [53 + 54] + ... + [59 + 510]
\= 5[1 + 5] + 53[1 + 5] + ... + 59[1 + 5]
\= 6.5 + 6.53 + ... + 6.59
Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho 6 nên S chia hết cho 6.
* Bài tập 2: Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 6a + 11b chia hết cho 31 thì a + 7b cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng không?
* Lời giải:
- Mục tiêu là ta cần phân tích [6a + 11b] về dạng [a + 7b] nên ta phân tích:
6a + 11b = 6a + 42b - 31b = 6[a + 7b] - 31b [*]
Vì mà bài ta: 6a + 11b nên suy ra \vdots&space;31]
mà 6 và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau [tức ước chung lớn nhất của 6 và 31 là 1]
nên suy ra: \vdots&space;31]
Ngược lại: Nếu \vdots&space;31] lại có
Từ [*] suy ra: \vdots&space;31]
Vậy điều ngược lại cũng đúng.
* Bài tập 3: Tìm số nguyên x sao cho:
- 3x + 4 chia hết cho x - 3
- x + 1 là ước số của x2 + 7
* Lời giải:
- 3x + 4 chia hết cho x - 3
Mục đích ta cần phân tích 3x + 4 về dạng xuất hiện x - 3 nên có:
3x + 4 = 3x - 9 + 13 = 3[x - 3] + 13
Ta thấy: \vdots&space;[x-3]] nên &space;\vdots&space;[x&space;-&space;3]] khi và chỉ khi ]
Suy ra: x - 3 ∈ Ư[13] = {-13; -1; 1; 13} nên ta có các trường hợp sau
• x - 3 = -13 ⇒ x = -10
• x - 3 = -1 ⇒ x = 2
• x - 3 = 1 ⇒ x = 4
• x - 3 = 13 ⇒ x = 16
Vậy x ∈ {-10; 2; 4; 16}
- x + 1 là ước số của x2 + 7
Ta có: x2 + 7 = x2 + x - x - 1 + 8 = x[x + 1] - [x + 1] + 8
Vì \vdots&space;[x+1]] và \vdots&space;[x+1]]
nên \vdots&space;[x+1]\Leftrightarrow&space;8\vdots&space;[x+1]]
Suy ra x + 1 ∈ Ư[8] = {-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8} nên ta có các trường hợp sau:
• x + 1 = -8 ⇒ x = -9
• x + 1 = -4 ⇒ x = -5
• x + 1 = -2 ⇒ x = -3
• x + 1 = -1 ⇒ x = -2
• x + 1 = 1 ⇒ x = 0
• x + 1 = 2 ⇒ x = 1
• x + 1 = 4 ⇒ x = 3
• x + 1 = 8 ⇒ x = 7
Vậy x ∈ {-9; -5; -3; -2; 0; 1; 3; 7}
* Bài tập 4: Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng:
5a + 2b chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9a + 7b chia hết cho 17.
* Lời giải:
- Xét hiệu: 5.[9a + 7b] - 9.[5a + 2b]
\= 45a + 35b - 45a - 18b = 17b
Ta thấy: 17b 17 nên:
+ Nếu [9a + 7b] 17 thì 9.[5a + 2b] 17
mà 9 và 17 là hai số nguyên tố cùng nhau nên [5a + 2b] 17
+ Nếu [5a + 2b] 17 thì 5.[9a + 7b] 17
mà 5 và 17 là hai số nguyên tố cùng nhau nên [9a + 7b] 17
* Bài tập 5: Chứng minh rằng S chia hết cho [39] biết:
S = 3 + 32 + 33 + ... + 39.
* Bài tập 6: Cho số a = 11...111 gồm 21 chữ số 1.
Chứng minh rằng a chia hết cho 111.
* Bài tập 7: Tìm số nguyên y sao cho:
- 2y - 5 chia hết cho y - 1
- y + 2 là ước số của y2 + 8
* Bài tập 8: Tìm cặp số nguyên x sao cho:
- [x + 1].[y - 1] = 7;
- -y[x + 2] = 8;
Hy vọng với bài viết hệ thống lại cách chứng minh chia hết và Bài tập vận dụng Toán lớp 6 ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHọcHỏi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt!
Làm sao để chia hết cho 6?
Dấu hiệu chia hết cho 6: các chữ số vừa có thể chia hết cho 2 vừa có thể chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
Số chia hết cho 8 là số như thế nào?
Các dấu hiệu chia hết cho các số 1–30.
Dấu hiệu chia hết cho 9 là gì?
Để biết được số nào chia hết cho 9, đó là những số có tổng các chữ số đó có thể chia hết được cho 9. * Lưu ý: Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9. Hay nếu tổng các chữ số của số nào đó chia cho 9 nhưng còn dư thì số đó là số dư và không chia hết được cho 9.
Dấu hiệu chia hết cho 2 là gì?
Cách nhận biết dấu hiệu chia hết cho 2Nếu chữ số tận cùng của số đang xét là số chẵn [0, 2, 4, 6, hoặc 8] thì số đó chia hết cho 2. Nếu chữ số tận cùng của số đang xét là số lẻ [1, 3, 5, 7, hoặc 9] thì số đó không chia hết cho 2.