Bài tập về hai đường tròn cắt nhau năm 2024

Bài toán về vị trí tương đối của hai đường tròn xuất hiện nhiều ở các đề thì toán lớp 9 và thi tuyển sinh lớp 10 với các mức độ từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết sau đây sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu 3 vị trí của hai đường tròn: Cắt nhau, tiếp xúc nhau và không giao nhau. Từ đó ứng dụng giải các dạng toán về tiếp xúc đường tròn.

Hình minh họa về 3 vị trí của 2 đường tròn

Tính chất của đường nối tâm

– Đường nối tâm [đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn] là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.

Chú ý: Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

– Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn [O;R] và [O’;r] với quy ước R>r, chúng ta có 3 vị trí tương đối của hai đường tròn như sau:

Hai đường tròn cắt nhau

Hình ảnh minh họa O và O’ cắt nhau tại A và B

Hai đường tròn được coi là cắt nhau khi chúng có hai điểm chung. Khi đó ta có:

– A, B gọi là 2 giao điểm

– Đoạn AB gọi là dây chung

– Đường thẳng OO’ được gọi là đường nối tâm

– Đoạn thẳng OO’ được gọi là đoạn nối tâm

– Quy ước OA = R và O’A = r thì khi đó: |R – r| < OO’ < R + r

– Đường nối tâm trong trường hợp này là đường trung trực của dây chung. ⟹ OO’ là đường trung trực của AB.

Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi có một điểm chung. Có 2 trường hợp:

Quy ước: R > r, đường tròn [O;R] và [O’;r] tiếp xúc trong tại A thì:

– A nằm trên đường nối tâm

– OO’ = R – r

Đường tròn [O;R] và [O’;r] tiếp xúc trong tại A

Quy ước: R > r, đường tròn [O;R] và [O’;r] tiếp xúc ngoài tại A thì:

– A nằm trên đường nối tâm

– OO’ = R + r

Đường tròn [O;R] và [O’;r] tiếp xúc ngoài tại A

Hai đường tròn không giao nhau

Khi R>r và [O;R] và [O’;r] đựng nhau thì: OO’ > R + r

Hai đường tròn [O:R] và [O’;r] ở ngoài nhau

Khi R>r và [O;R] và [O’;r] đựng nhau thì: OO’ < R – r

Hai đường tròn [O;R] và [O’;r] đựng nhau

Khi R > r, hai đường tròn [O;R] và [O’;r] đồng tâm khi: OO’ = 0

Hai đường tròn [O;R] và [O’;r] đồng tâm nhau

Bảng tổng kết các vị trí tương đối hai đường tròn

Liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r

Tiếp tuyến chung hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

Đường thẳng d1, d2 là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn [O;R] và [O’;r]

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn.

Câu 1. Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O’ bán kính r [R ≥ r]. Viết các hệ thức tương ứng giữa r, R và OO’ vào bảng sau.

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Câu 2. Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O’ bán kính r. Điền vào chỗ trống trong bảng sau.

Dạng 2. Bài tập về hai đường tròn cắt nhau

Câu 1. Cho đường tròn [O; 6 cm] O và đường tròn [O’; 5 cm] có đoạn nối tâm OO’ = 8 cm. Biết đường tròn [O] và [O’] cắt OO’ lần lượt tại N, M [hình bên]. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Hướng dẫn giải

Ta có:

OM + MN = ON ⇒ OM + MN = 6

O’N + MN = O’M ⇒ O’N + MN = 5

Suy ra: OM + MN + O’N + MN = 11

⇒ OO’ + MN = 11 ⇒ MN = 3 cm

Câu 2. Cho hai đường tròn [O; 4 cm] và [O′; 3 cm] có OO′ = 5 cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại A và B. Tính độ dài AB.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Py-ta-go đảo cho ∆OAO’ ta có:

OO’2 = OA2 + O’A2 ⇔ 52 = 42 + 32

Suy ra: ∆OAO’ vuông tại A

Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Vì hai đường tròn [O; 4 cm] và [O’; 3 cm] cắt nhau tại A và B suy ra OO’ ⊥ AB [Tính chất đường nối tâm với dây chung]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OO’A

Ta có:

Do đó: AB = 2AH = 2⋅2,4 = 4,8 cm

Câu 3. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính độ dài dây cung chung DF của đường tròn đường kính AE và đường tròn đường kính CD.

Hướng dẫn giải

Gọi DF cắt AE tại H ⇒ AE ⊥ DF

Tam giác DAE vuông tại D nên ta có:

Ta có:

Câu 4. Cho hai đường tròn [O1; R] và [O2; R’] cắt nhau tại K và H đường thẳng O1H cắt [O1] tại A cắt [O2] tại B, đường thẳng O2H cắt [O1] tại C, cắt [O2] tại D.

1. Chứng minh ba điểm A, K, D thẳng hàng.

1. Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, HK đồng quy tại một điểm.

Hướng dẫn giải

1. Ta có tam giác HKD nối tiếp đường tròn [O2] có cạnh HD là đường kính nên tam giác HKD vuông tại K suy ra: HK ⊥ KD

Tương tự ta có: HK ⊥ KA suy ra A, K, D thẳng hàng

1. Các tam giác ACH, AKH nội tiếp đường tròn [O1] có cạnh HA là đường kính nên tam giác ACH vuông tại C, tam giác AKH vuông tại K suy ra DC ⊥ AC ⇒ DH ⊥ AC [1]

Tương tự ta có: HA ⊥ BD [2]

Lại có: HK ⊥ KA ⇒ HK ⊥ DA [3]

Từ [1], [2], [3] suy ra AC,BD,HK đồng quy [ba đường cao của tam giác AHD]

Câu 5. Cho hai đường tròn [O1; R] và [O2; R’] cắt nhau tại A, B [O1, O2 nằm khác phía so với đường thẳng AB]. Một cát tuyến PAQ xoay quanh A [P ∈ [O1], Q ∈ [O2]] [sao cho A nằm giữa P và Q. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PAQ trong mỗi trường hợp.

1. A là trung điểm của PQ

1. PQ có độ dài lớn nhất

1. Chu vi tam giác BPQ lớn nhất

1. SΔBPQ lớn nhất.

Hướng dẫn giải

1. Giả sử đã xác định được vị trí của cát tuyến PAQ sao cho PA = AQ

Kẻ O1H vuông góc với dây PA thì PH = HA = PA

Kẻ O2K vuông góc với dây AQ thì AK = KQ = AQ

Nên AH = AK

Kẻ Ax // O, H // O2K cắt O, O2 tại I thì O1I = IO2 và Ax ⊥ PQ.

Từ đó suy ra cách xác định vị trí của cát tuyến PAQ đó là cát tuyến PAQ vuông góc với IA tại A với I là trung điểm của đoạn nối tâm O1O2

1. Trên hình, ta thấy PA = HK

Kẻ O2M ⊥ O1H thì tứ giác MHKO2 có ba góc vuông nên là hình chữ nhật do đó HK = MO2.

Lúc đó: O2M là đường vuông góc kẻ từ O2 đến đường thẳng O1H, O2O1 là đường xiên kẻ từ O2 đến đường thẳng O1H.

Nên O2M ≤ O1O2 hay PQ = 2HK = 2O2M ≤ 2O1O2 [không đổi]

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ M ≡ O hay PQ // O1O2

Vậy ở vị trí cát tuyến PAQ // O1O2 thì PQ có độ dài lớn nhất.

1. Qua A kẻ cát tuyến CAD vuông góc với BA.

Thì tam giác ABC và ABD vuông tại A lần lượt nội tiếp các đường tròn [O1], [O2] nên O1 là trung điểm của BC và O2 là trung điểm của BD.

Lúc đó: O1O2 là đường trung bình của tam giác BCD nên O1O2 // CD suy ra PQ ≤ 2O1O2 [1] [theo câu b].

Lại có: BQ ≤ BD [2], BP ≤ BC [3].

Từ [1], [2], [3] suy ra chu vi tam giác BPQ là:

C = PQ + BQ + BP ≤ 2[O1O2 + R1 + R2] [không đổi].

Dấu bằng có khi P ≡ C, Q ≡ D.

Vậy chu vi tam giác BPQ đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến PAQ vuông góc với dây BA tại A.

1. Kẻ BN ⊥ PQ thì BN ≤ BA

Lúc đó: SBPQ = ⋅BN⋅PQ ≤ ⋅BA⋅CD không đổi.

Vậy SBPQ đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến PAQ vuông góc với dây chung BA tại A.

Dạng 3. Bài tập về hai đường tròn tiếp xúc

Câu 1. Cho hai đường tròn [I; 2 cm] và [J; 3 cm] tiếp xúc ngoài nhau. Tính độ dài đoạn nối tâm IJ.

Hướng dẫn giải

Độ dài đoạn nối tâm IJ bằng: 2 + 3 = 5 cm.

Câu 2. Cho hai đường tròn [O; 4 cm] và [O’; 11 cm]. Biết khoảng cách OO’ = 2a + 3 [cm] với a là số thực dương. Tìm a để hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hướng dẫn giải

Các trường hợp có thể xảy ra là:

– Hai đường tròn tiếp xúc ngoài [xem hình 1], ta có

OO’ = R + R’ ⇔ 2a + 3 = 15 ⇔ a = 6 cm.

– Hai đường tròn tiếp xúc trong [xem hình 2], ta có

OO’ = |R – R’| ⇔ 2a + 3 = |4 – 11| ⇔ a = 2 cm.

Vậy a = 6 cmvà a = 2 cm.

Câu 3. Cho hai đường tròn [O; R] và [O’; R’] tiếp xúc ngoài tại A với [R > R’]. Đường nối tâm OO’ cắt [O], [O’] lần lượt tại B, C. Dây DE của [O] vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.

1. Chứng minh BDCE là hình thoi

1. Gọi I là giao điểm của EC và [O’]. Chứng minh D, A, I thẳng hàng

1. Chứng minh KI là tiếp tuyến của [O’].

Hướng dẫn giải

1. Vì BC vuông góc với đường thẳng DE nên DK = KE, BK = KC [theo giả thiết] do đó tứ giác BDCE là hình bình hành, lại có BC ⊥ DE nên là hình thoi.

1. Vì tam giác BDA nội tiếp đường tròn [O1] có BA là đường kính nên ΔBDA vuông tại D.

Gọi I’ là giao điểm của DA với CE thì [1] [vì so le trong với ].

Lại có: ΔAIC nội tiếp đường tròn [O2] có AC là đường kính nên tam giác AIC vuông tại I, hay [2].

Từ [1] và [2] suy ra I ≡ I’.

Vậy D, A, I thẳng hàng.

1. Vì tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE

Nên KD = KI = KE ⇒ [1].

Lại có: [2] do cùng phụ với và [3], vì O2C = O2I là bán kính của đường tròn [O2]

Từ [1],[2],[3]: hay do đó KI vuông góc với bán kính O2I của đường tròn [O2]

Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn [O2]

Câu 4. Cho hai đường tròn [O] và [O’] tiếp xúc ngoài tại A. Qua A kẻ một cát tuyến cắt [O] tại C, cắt đường tròn [O’] tại D

1. Chứng minh: OC // O’D

1. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN, gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M, N qua OO’. Chứng minh MNQP là hình thang cân và MN + PQ = MP + NQ

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau khi nào?

Tiếp xúc ngoài: Hai đường tròn chạm nhau tại một điểm khi khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính [ I 1 I 2 = R 1 + R 2 ]. Tiếp xúc trong: Một đường tròn nằm gọn trong đường tròn kia và chỉ có một tiếp điểm khi khoảng cách giữa hai tâm bằng hiệu hai bán kính [ I 1 I 2 = | R 1 − R 2 | ].

Hai đường tròn cắt nhau thì có bao nhiêu điểm chung?

- Hai đường tròn có hai điểm chung [hình 1] được gọi là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung đó gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây cung. - Hai đường tròn chỉ có một điểm chung [hình 2] được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hai đường tròn không cắt nhau thì có bao nhiêu tiếp tuyến chứng?

Khái Niệm về Tiếp Tuyến Chung Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn tại các điểm khác nhau. Khi hai đường tròn không giao nhau hoặc tiếp xúc ngoài, chúng có hai tiếp tuyến chung ngoài và khi tiếp xúc trong, có một tiếp tuyến chung trong.

Khi nào đường thẳng và đường tròn cắt nhau?

Đường thẳng cắt đường tròn: Đường thẳng này có hai điểm chung với đường tròn. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn: Đường thẳng này có một điểm chung duy nhất với đường tròn, được gọi là tiếp điểm. Đường thẳng không cắt đường tròn: Đường thẳng này không có điểm chung nào với đường tròn.