BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Khoảng cách và góc Loại 1. Khoảng cách
- Tóm tắt lý thuyết 1. Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách từ điểm A x1; y1;z1 đến điểm B x 2 ; y 2 ; z 2 chính là độ dài đoạn thẳng AB
AB
x1 x2 2 y1 y 2 2 z1 z 2 2 .
2. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng Giả sử là đường thẳng đi qua điểm M và nhận véc-tơ u làm véc-tơ chỉ phương. Khi đó,
khoảng cách d M; từ điểm M tới đường thẳng được tính bởi công thức
M 0M, u d M, . u 3. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng Khoảng cách d A; P từ điểm A x0 ; y 0 ;z 0 tới mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 được tính bởi công thức
d A, P
Ax0 By 0 Cz 0 D A 2 B 2 C2
.
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên đường này tới đường kia.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: nếu 1 , 2 là hai đường thẳng chéo nhau. 1 qua M1 , có véctơ chỉ phương là u1 . 2 qua M 2 , có véctơ chỉ phương là u 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng nói trên chính là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng và được tính bởi công thức u1 ,u 2 .M1M 2 d 1 , 2 . u1 ,u 2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
5. Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng
Nếu đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách bằng 0 .
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm của đường thẳng tới mặt phẳng.
6. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng không song song bằng 0 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Nếu
Q :Ax By Cz D' 0
P : Ax By Cz D 0
và
[ D D' ] thì khoảng cách d P , Q giữa hai mặt phẳng
được tính bởi công thức d P , Q
| D D' |
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
.
2
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
- Một số ví dụ x 2 t Ví dụ 1. Cho đường thẳng : y 2t và mặt phẳng P : 2x 3y z 7 0 . Tìm tọa độ z 5 2t
điểm M thuộc đường thẳng sao cho khoảng cách từ M đến P bằng 6 14 . 7
Giải Vì điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ có dạng M 2 t; 2t;5 2t . Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng ta có
d M; Khoảng cách nói trên bằng
6 t 1 14
.
14 khi và chỉ khi 6 t 1 14
6 14 , hay t 1 2 . 7
Giải phương trình trên ta được t 3 hoặc t 1 . Suy ra M 5; 6;11 hoặc M 1;2;3 . Ví dụ 2. Cho hai mặt phẳng
: x 2y 3z 1 0
,
: 2x 3y z 1 0
và điểm
M 1; 1;1 . Lập phương trình mặt phẳng P vuông góc với cả hai mặt phẳng , và
cách M một khoảng bằng 2 3 . Giải Mặt phẳng P vuông góc với các mặt phẳng , nên mặt phẳng P nhận véc-tơ pháp tuyến n1 1;2; 3 của mặt phẳng và véc-tơ pháp tuyến n 2 2; 3;1 của mặt phẳng làm các véc-tơ chỉ phương. Do đó mặt phẳng P nhận véc-tơ n n1 ,n 2 7; 7; 7 làm véc-tơ chỉ phương. Véc-tơ n ' 1;1;1 cùng phương với véc-tơ n nên cũng là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Suy ra phương trình mặt phẳng P có dạng
P : x y z D 0 . Từ giả thiết P cách M một khoảng bằng 2 3 ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
d M, P 2 3 , hay
m1 3
2 3.
Giải phương trình nói trên, ta thu được m 7 hoặc m 5 . Vậy P : x y z 7 0 hoặc
P : x y z 5 0 .
- Bài tập
Goùc
i.Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng
o Nếu hai đường thẳng d1 , d 2 có véctơ chỉ phương lần lượt là u1 , u 2 thì góc [ 0;90 ] giữa chúng được xác định bởi
u1 .u 2 cos . u1 . u 2 ii.Goùc giöõa hai maët phaúng
o Nếu hai mặt phẳng P và Q có véctơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n 2 thì góc [ 0;90 ] giữa chúng được xác định bởi
n1 .n 2 cos . n1 . n 2 iii.Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
Nếu đường thẳng d có véctơ chỉ phương là u và mặt phẳng
P
có véctơ pháp tuyến là n thì góc
o [ 0;90 ] giữa chúng được xác định bởi
u.n sin . u.n
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
5