Viết phương trình đường thẳng là một trong những chuyên đề rất cần thiết cho học sinh lớp 9. Qua chuyên đề này các em sẽ được ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Cùng theo dõi bài viết sau đây nhé!
Các dạng toán viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cơ bản
1. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A [m;n] và B [p;q].
- Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng y = ax + b
- Bước 2: Đường thẳng đi qua 2 điểm A[m; n], B[p; q] nên ta có hệ phương trình sau:
- Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a, b
- Bước 4: Kết luận
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm A[1; 2] và B[-1; -1]
ĐÁP ÁN
Vì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A[1; 2] và B[-1; -1] nên ta có hệ phương trình sau:
Vậy phương trình đường thẳng là
2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b khi biết hệ số góc k và đi qua điểm A [m;n]
- Bước 1: Vì đường thẳng có hệ số góc là k nên phương trình tổng quát của đường thẳng là y = kx + b
- Bước 2: Thay x = m, y = n vào phương trình tìm b
- Bước 3: Kết luận
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng biết hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A[-1; 3].
ĐÁP ÁN
Vì đường thẳng có hệ số góc bằng 3 nên phương trình tổng quát của đường thẳng là y = 3x + b
Vì đường thẳng đi qua điểm A[-1; 3] nên ta có 3 = 3.[-1] + b ⇔ b = 6
Vậy phương trình đường thẳng là y = 3x + 6
3. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A [m;n] và song song với đường thẳng y=a'x+b'
- Bước 1: Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = a’x + b’ nên a = a’
suy ra ta có phương trình đường thẳng y = a'x + b
- Bước 2: Thay x = m, y = n vào phương trình tìm b.
- Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng đi qua A[ -2; 3] và song song với đường thằng y = -x + 1
ĐÁP ÁN
Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = -x + 1 nên a = -1
suy ra phương trình của đường thẳng là y = -x +b
Đường thẳng đi qua điểm A[-2; 3] nên ta có 3 = -2 + b ⇔ b = 5
Vậy phương trình đường thẳng là y = -x + 5
4. Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A [m,n] và vuông góc với đường thẳng y=a'x+b'
- Bước 1: Đồ thị hàm số y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = a’x + b’ nên a.a’ = -1 sau đó thay a vừa tìm được vào hàm số
- Bước 2: Thay x = m, y = n vào phương trình tìm b.
- Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = - x + 1 và đi qua điểm A[-1; 0]
ĐÁP ÁN
Vì đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = -x + 1 nên ta có a.[-1] = -1 ⇔ a = 1
suy ra phương trình đường thẳng y = x + b
Đường thẳng đi qua điểm A[-1; 0] nên ta có 0 = -1 + b ⇔ b = 1
Vậy phương trình đường thẳng là y = x + 1
5. Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A [m,n] và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng c
Bài toán đưa về: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm A [m;n] và B [c;0].
Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng đi qua điểm A [2;3] và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1
ĐÁP ÁN
Đường thẳng đi qua điểm A[2; 3] suy ra 3 = 2a + b [1]
Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1 suy ra 0 = -a + b [2]
Từ [1] và [2] suy ra a = b = 1
Vậy phương trình đường thẳng là y = x + 1
6. Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A [m;n] và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c
Bài toán đưa về: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm A [m; n] và B [0;c].
Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng đi qua điểm A [-2;2] và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4
ĐÁP ÁN
Đường thẳng đi qua điểm A[-2; 2] suy ra 2 = -2a + b [1]
Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 suy ra b = 4 [2]
Thế [2] vào [1] ta được a = 1
Vậy phương trình đường thẳng là y = x + 4
Trên đây là những cách viết phương trình đường thẳng cơ bản. Chắc hẳn qua bài viết các em đã nắm được nội dung kiến thức của đề thi rồi đúng không? Hy vọng qua bài viết này các em có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 9.
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là tài liêu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em lớp 9 tham khảo.
Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về phương trình tổng quát của đường thẳng, phương trình chứa tham số, cách viết và các bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm. Qua đó giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải nhanh các bài Toán 9.
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là: ] nhận ] làm vectơ pháp tuyến.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm ] nhận ] làm vecto chỉ phương, Ta có:
![B\left[ {x,y} \right] \in d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = t\overrightarrow u \Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{{20}{c}} {x - {x_0} = at} \ {y - {y_0} = bt} \end{array}} \right.][//tex.vdoc.vn/?tex=B%5Cleft[%20%7Bx%2Cy%7D%20%5Cright]%20%5Cin%20d%20%5CLeftrightarrow%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%20%20%3D%20t%5Coverrightarrow%20u%20%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7Bx%20-%20%7Bx_0%7D%20%3D%20at%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7By%20-%20%7By_0%7D%20%3D%20bt%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.]
![\Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{{20}{c}} {x = {x_0} + at} \ {y = {y_0} + bt} \end{array}} \right.;\left[ {{a^2} + {b^2} \ne 0,t \in \mathbb{R}} \right]][//tex.vdoc.vn/?tex=%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7Bx%20%3D%20%7Bx_0%7D%20%2B%20at%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7By%20%3D%20%7By_0%7D%20%2B%20bt%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.%3B%5Cleft[%20%7B%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%7Bb%5E2%7D%20%5Cne%200%2Ct%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%7D%20%5Cright]]
- Đường thẳng d đi qua điểm ], nhận ] là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là với ]
3. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Sử dụng định nghĩa
Bài toán: Cho hai điểm A[a, b], B[c, d]. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Phương pháp:
Bước 1: Tính: ] [vectơ chỉ phương của đường thẳng d]
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: ]
Bước 3: Phương trình đường thẳng d:
%5Cleft[%20%7Bx%20-%20a%7D%20%5Cright]%20%2B%20%5Cleft[%20%7Bc%20-%20a%7D%20%5Cright]%5Cleft[%20%7By%20-%20b%7D%20%5Cright]%20%3D%200]
- Sử dụng phương trình tổng quát
Bài toán: Cho hai điểm A[a, b], B[c, d]. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
Phương pháp:
Bước 1: Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng d là y = mx + n [*]
Bước 2: Thay tọa độ A, B vào phương trình tổng quát ta thu được hệ phương trình ẩn m, n
![\left{ {\begin{array}{{20}{c}} {b = am + n} \ {d = cm + n} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {m;n} \right] = \left[ {?;?} \right]][//tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7Bb%20%3D%20am%20%2B%20n%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7Bd%20%3D%20cm%20%2B%20n%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft[%20%7Bm%3Bn%7D%20%5Cright]%20%3D%20%5Cleft[%20%7B%3F%3B%3F%7D%20%5Cright]]
Thay m, n vừa tìm được vào phương trình [*] ta suy ra phương trình cần tìm.
4. Bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A [1;2] và B [2;3]. Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng định nghĩa Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát
]
Phương trình tham số:
]
Phương trình tổng quát:
![\begin{matrix}
- 1.\left[ {x - 1} \right] + 1.\left[ {y - 2} \right] = 0 \hfill \ \Rightarrow y = x + 1 \hfill \ \end{matrix}][////i0.wp.com/tex.vdoc.vn/?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%20%20-%201.%5Cleft[%20%7Bx%20-%201%7D%20%5Cright]%20%2B%201.%5Cleft[%20%7By%20-%202%7D%20%5Cright]%20%3D%200%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CRightarrow%20y%20%3D%20x%20%2B%201%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D]
]
Phương trình tham số:
Gọi phương trình tổng quát là:
y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có: ![\left{ {\begin{array}{{20}{c}} {2 = a.1 + b} \ {3 = a.2 + b} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {a;b} \right] = \left[ {1;1} \right]][//tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7B2%20%3D%20a.1%20%2B%20b%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B3%20%3D%20a.2%20%2B%20b%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft[%20%7Ba%3Bb%7D%20%5Cright]%20%3D%20%5Cleft[%20%7B1%3B1%7D%20%5Cright]]
Vậy PT tổng quát cần tìm là:
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết
- Đi qua 2 điểm A[-3,2], B [5,-4]. Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.
- Đi qua A [3,1] song song với đường thẳng y = -2x + m -1
Hướng dẫn giải
- Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
![\left{ {\begin{array}{{20}{c}} {2 = - 3a + b} \ { - 4 = 5a + b} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {a;b} \right] = \left[ { - \frac{3}{4}; - \frac{1}{4}} \right]][//tex.vdoc.vn/?tex=%5Cleft%5C%7B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7B2%20%3D%20%20-%203a%20%2B%20b%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%20-%204%20%3D%205a%20%2B%20b%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.%20%5CRightarrow%20%5Cleft[%20%7Ba%3Bb%7D%20%5Cright]%20%3D%20%5Cleft[%20%7B%20-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%3B%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%7D%20%5Cright]]
Vậy PT tổng quát cần tìm là:
Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: ]
%20%5CRightarrow%20%5Cleft%7C%20%7B%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%20%7D%20%5Cright%7C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D]
Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: ]
%20%5CRightarrow%20%5Cleft%7C%20%7B%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%20%7D%20%5Cright%7C%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D]
- Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1
⇒ a = -2
Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b
Mà đường thẳng qua điểm A[3; 1]
⇒ 1 = 3.[-2] + b ⇒ b = 7
Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7
Bài 3: Cho hàm số %20x%5E%7B2%7D%2B6[m-2]%20x-1]. Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1
Cách giải:
Ta có :%20x%2B6[m-2]]
Hàm số có hai cực trị %5E%7B2%7D-4[m-2]%3E0]
%5E%7B2%7D%3E0%20%5CLeftrightarrow%20m%20%5Cneq%203]
Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4