Bài 61 trang 13 sbt hình học 12 nâng cao

LG 1

Chứng minh rằng tứ giácABCDcó hai góc đối diện là góc vuông.

Lời giải chi tiết:

\(SC \bot (AB'C'D') \Rightarrow SC \bot AB'.\) Dễ thấy \(BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AB'.\)

Từ đó suy ra :

\(AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot B'C'.\)

Tương tự ta có \(AD' \bot D'C'.\)

Như vậy tứ giácABCDcó hai gócBvàDvuông.

LG 2

Chứng minh rằng nếuSdi chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tạiAthì \(mp\left( {AB'C'D'} \right)\) luôn đi qua một đường thẳng cố định và các điểmA, B, B, C, C, D, Dcùng cách đều một điểm cố định một khoảng không đổi.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và mp(ABCD) .

Do \(\Delta \) thuộc \(\left( \alpha \right)\) nên \(\Delta \bot SC\).

Theo định lý ba đường vuông góc, ta có \(\Delta \bot AC\). Hơn nữa, \(\Delta \) nằm trong mp(ABCD) và đi qua điểmAcó định, vậy \(\Delta \) là đường thẳng cố định.

Do \(AB' \bot (SBC),AD' \bot (SCD) \)

\(\Rightarrow AB' \bot B'C,AD' \bot D'C.\)

Các tam giác vuôngABC, ADC, ABC, ADC, ACCcó chung cạnh huyền cố địnhAC, suy ra các đỉnhA, B, C, D, B, C, Dđều cách trung điểmOcủaACmột khoảng không đổi \({{AC} \over 2}.\)

LG 3

Giả sử góc giữa cạnhSCvà mặt bên (SAB) bằngx.

Tính tỉ số giữa thể tích của hình chópS.ABCDvà thể tích của hình chópS.ABCDtheox, biết rằngAB = BC.

Lời giải chi tiết:

Cách 1. Do \(BC \bot (SAB)\) nênSBlà hình chiếu củaSCtrênmp(SAB) và do đó \(\widehat {BSC} = x \). Ta có

\(\eqalign{ & V = {V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{a^2}SA(a = AB = BC), \cr & V' = {V_{S.AB'C'D'}} = {1 \over 3}{S_{AB'C'D'}}.SC'. \cr} \)

DoABCDlà hình vuông nên dễ dàng suy ra đượcSB=SD\( \Rightarrow B'D'// BD.\)

Từ đó dễ thấy \(B'D' \bot (SAC) \Rightarrow B'D' \bot AC'\)

\(\Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {1 \over 2}AC'.B'D'.\)

Ta có :

\(SB = BC\cot x = a\cot x,SC = {{BC} \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\)

\(\eqalign{ & SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = {{a\sqrt {\cos 2x} } \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}},\cr&SB' = {{S{A^2}} \over {SB}} = {{a\cos 2x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxcosx}}}}, \cr & SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{a\cos 2x} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}},\cr&B'D' = BD.{{SB'} \over {SB}} = {{a\sqrt 2 \cos 2x} \over {{{\cos }^2}x}}, \cr & AC' = {{SA.AC} \over {SC}} = a\sqrt {2\cos 2x} . \cr} \)

Vậy \(V = {{{a^3}\sqrt {\cos 2x} } \over {3\sin x}},V' = {{{a^3}{{\cos }^2}2x\sqrt {\cos 2x} } \over {3\sin x{{\cos }^2}x}} \Rightarrow {{V'} \over V} = {{{{\cos }^2}2x} \over {{{\cos }^2}x}}.\)

Cách 2.Dễ thấy :\({{V'} \over V} = {{2{V_{S.AB'C'}}} \over {2{V_{S.ABC}}}} = {{SB'.SC'} \over {SB.SC}}.\)

Từ đó dễ dàng suy ra kết quả cần tìm.