Cho nửa đường tròn đường kính \[AB,\] tâm \[O.\] Đường tròn tâm \[A\] bán kính \[AO\] cắt nửa đường tròn đã cho tại \[C.\] Đường tròn tâm \[B\] bán kính \[BO\] cắt nửa đường tròn đã cho tại \[D.\] Đường thẳng qua \[O\] và song song với \[AD\] cắt nửa đường tròn đã cho tại \[E.\]
\[a]\] \[\widehat {ADC}\] và \[\widehat {ABC}\] có bằng nhau không\[?\] Vì sao\[?\]
\[b]\] Chứng minh \[CD\] song song với \[AB.\]
\[c]\] Chứng minh \[AD\] vuông góc với \[OC\]
\[d]\] Tính số đo của \[\widehat {DAO}\].
\[e]\] So sánh hai cung \[BE\] và \[CD.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
+] Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
+] Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
+] Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc.
+] Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Trong đường tròn \[[O]\] ta có:
\[\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\] [\[2\] góc nội tiếp cùng chắn cung \[\overparen{AC}\]]
\[b]\] \[∆ACB\] nội tiếp trong đường tròn \[[O]\] có \[AB\] là đường kính nên \[∆ABC\] vuông tại \[C\]
\[ \Rightarrow CO = OA = \displaystyle{1 \over 2}AB\] [tính chất tam giác vuông]
Mà \[AC = AO\] [bán kính đường tròn \[[A]\]]
Suy ra: \[AC = AO = OC\]
\[ \Rightarrow \]\[ ∆ACO\] đều \[ \Rightarrow \widehat {AOC} = {60^o}\]
Ta có: \[∆ADB\] nội tiếp trong đường tròn đường kính \[AB\] nên \[∆ADB\] vuông tại \[D\]
\[ \Rightarrow DO = OB = OA = \displaystyle {1 \over 2}AB\] [tính chất tam giác vuông]
\[BD = BO\] [bán kính đường tròn \[[B]\]]
Suy ra: \[BO = OD = BD\]
\[ \Rightarrow \] \[∆BOD\] đều
\[ \Rightarrow \widehat {ODB} = \widehat {BOD} = {60^o}\]
Mà \[\widehat {AOC} + \widehat {COD} + \widehat {BOD} = {180^o}\]
Suy ra: \[\widehat {COD} = {60^o}\]
Kết hợp với: \[OC = OD\] [vì cùng bằng \[\displaystyle {1 \over 2}AB\]]
Suy ra: \[∆COD\] đều
\[ \Rightarrow \widehat {ODC} = {60^o} \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {BOD}\]
\[ \Rightarrow \] \[CD // AB\] [vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
\[c]\] Ta có: \[∆AOC\] đều [chứng minh trên] \[ \Rightarrow OA = AC = OC\]
\[∆OCD\] đều [chứng minh trên] \[ \Rightarrow OC = OD = CD\]
Suy ra: \[AC = AO = OD = DC\]
Vậy: tứ giác \[AODC\] là hình thoi. Suy ra \[ AD \bot OC.\]
\[d]\] \[∆BOD\] đều [chứng minh trên] \[ \Rightarrow \widehat {OBD} = {60^o}\] hay \[\widehat {ABD} = {60^o}\]
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Bài III.1
Giải các hệ phương trình:
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp [nếu cần] sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 [tức là phương trình một ẩn].
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lời giải chi tiết:
\[a]\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[[x; y] = [3; 1]\].
\[b]\] Điều kiện: \[y \ne \displaystyle{5 \over 2};y \ne \displaystyle{4 \over 3}\]
Ta thấy \[x=7;y=6\] thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[[x; y] = [7; 6]\].
Bài III.2
Năm nay người ta áp dụng kĩ thuật mới trên hai cánh đồng trồng lúa ở ấp Minh Châu. Vì thế lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai lượng lúa thu được tăng 20%. Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được \[630\] tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu lúa, biết rằng trên cả hai cánh đồng này năm ngoái chỉ thu được \[500\] tấn?
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi khối lượng lúa thu được năm ngoái trên cánh đồng thứ nhất và cánh đồng thứ hai lần lượt là \[x\] [tấn], \[y\] [tấn].
Điều kiện: \[x > 0; y > 0\]
Năm ngoái trên cả hai cánh đồng lượng lúa thu được là \[500\] tấn, ta có phương trình:
\[x + y = 500\]
Lượng lúa thu được năm nay trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái tức là tăng \[\displaystyle{3 \over {10}}x\] [tấn]
Lượng lúa thu được năm nay trên cánh đồng thứ hai tăng lên 20% so với năm ngoái tức là tăng \[\displaystyle{2 \over {10}}y\] [tấn]
Năm nay lượng lúa trên cả hai cánh đồng tăng được \[630 – 500 = 130\] tấn, ta có phương trình:
\[\displaystyle{3 \over {10}}x + {2 \over {10}}y = 130\]
Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {x + y = 500} \cr {\displaystyle{3 \over {10}}x + {2 \over {10}}y = 130} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x + y = 500} \cr {3x + 2y = 1300} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {2x + 2y = 1000} \cr {3x + 2y = 1300} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 300} \cr {x + y = 500} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 300} \cr {y = 200} \cr} } \right. \cr} \]
Giá trị \[x = 300; y = 200\] thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy năm nay trên cánh đồng thứ nhất thu được: \[x+\displaystyle{3 \over {10}}x=300 + \displaystyle{{3} \over {10}}.300 = 390\] tấn.
Năm nay trên cánh đồng thứ hai thu được: \[630 – 390 = 240\] tấn.
Bài III.3
Người ta trộn hai loại quặng sắt với nhau, một loại chứa 72% sắt, loại thứ hai chứa 58% sắt được một loại quặng chứa 62% sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm \[15\] tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt. Tìm khối lượng quặng của mỗi loại đã trộn.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước 1: Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi khối lượng quặng loại thứ nhất là \[x\] [tấn], loại thứ hai là \[y\] [tấn].
Điều kiện: \[x > 0; y > 0\]
Lượng sắt nguyên chất có trong mỗi loại quặng bằng lượng sắt có trong hỗn hợp nên ta có phương trình:
\[\displaystyle{{72} \over {100}}x + {{58} \over {100}}y = {{62} \over {100}}\left[ {x + y} \right]\]
Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm \[15\] tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt, khi đó ta có phương trình:
Ta có hệ phương trình:
Cả hai giá trị \[x = 12; y = 30\] thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy khối lượng quặng loại thứ nhất là \[12\] tấn, loại thứ hai là \[30\] tấn.
Bài III.4
Một người đi ngựa và một người đi bộ đều đi từ bản \[A\] đến bản \[B\]. Người đi ngựa đến \[B\] trước người đi bộ \[50\] phút rồi lập tức quay trở về \[A\] và gặp người đi bộ tại một địa điểm cách \[B\] là \[2km\]. Trên cả quãng đường từ \[A\] đến \[B\] và ngược lại, người đi ngựa đi hết \[1\] giờ \[40\] phút. Hãy tính khoảng cách \[AB\] và vận tốc của mỗi người.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :
Bước \[1\]: Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \[2\]: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước \[3\]: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
- Công thức tính quãng đường đi được: \[S=v.t;\]
Trong đó \[S\] là quãng đường đi được \[[km]\]; \[v\] là vận tốc \[[km/h]\]; \[t\] là thời gian \[[h]\].
Lời giải chi tiết:
Gọi khoảng cách giữa hai bản \[A\] và \[B\] là \[x \ [km]\], vận tốc của người đi bộ là \[y \ [km/h]\].
Điều kiện: \[x > 0; y > 0\]
Đổi \[1\] giờ \[40\] phút \[ = \displaystyle{5 \over 3} \] giờ
Người đi ngựa đi từ \[A\] đến \[B\] và ngược lại hết \[ \displaystyle{5 \over 3} \ [h]\] nên người đi ngựa đi từ \[A\] đến \[B\] hết \[\displaystyle{5 \over 3}:2 = {5 \over 6} \ [h]\] .
Vận tốc của người đi ngựa là \[\displaystyle x:{5 \over 6} = {6 \over 5}x [km/h]\]
Thời gian người đi bộ đi hết quãng đường \[AB\] là \[\displaystyle{x \over y} \ [h]\]
Người đi ngựa đến \[B\] trước người đi bộ \[50\] phút tức là \[ \displaystyle{5 \over 6}\] giờ, ta có phương trình:
\[\displaystyle{x \over y} - {5 \over 6} = {5 \over 6} \Leftrightarrow \displaystyle{x \over y} = {5 \over 3} \\ \Leftrightarrow3x = 5y \ \ [1]\]
Từ \[[1]\] suy ra \[ 6x = 10y\]\[ \Leftrightarrow \displaystyle{6 \over 5}x = 2y.\] Điều này có nghĩa là vận tốc của người đi ngựa gấp đôi vận tốc của người đi bộ hay vận tốc của người đi ngựa là \[2y [km/h].\]
Từ lúc đi đến lúc gặp nhau người đi bộ đi được \[x – 2 [km]\], người đi ngựa đi được \[x + 2 [km].\]
Vì từ lúc đi đến lúc gặp nhau thời gian hai người đi bằng nhau nên ta có phương trình:
\[\eqalign{ & {{x - 2} \over y} = {{x + 2} \over {2y}} \cr & \Leftrightarrow 2x - 4 = x + 2 \cr} \]
Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {3x = 5y} \cr {2x - 4 = x + 2} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {3x = 5y} \cr {x = 6} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {3.6 = 5y} \cr {x = 6} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 6} \cr {y = 3,6} \cr} } \right. \cr} \]
Ta thấy \[x = 6\] và \[y = 3,6\] thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy khoảng cách \[AB\] là \[6km\], vận tốc của người đi bộ là \[3,6 \ km/h\], vận tốc của người đi ngựa là \[7,2 \,km/h\].