Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Sử dụng kết quả: Hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.
Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy [trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy].
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực [P] của một cạnh bên.
Bước 3: Xác định \[I = \left[ P \right] \cap d\], khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Giả sử ta có hình chóp \[S.ABCD\], có các cạnh bên \[SA = SB = SC = SD = …\]
Kẻ \[SH \bot [ABCD]\], ta chứng minh được \[△SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △…\] [cạnh huyền – cạnh góc vuông]
Suy ra \[HA = HB = HC = HD = …\] \[ \Rightarrow \] H là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD.
Trong tam giác \[SAH\] chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh \[SA\], đường này cắt \[SH\] ở điểm \[I \Rightarrow IA = IS\].
Do đó: \[IS = IA = IB = IC = ID = …\] hay điểm \[I\] cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó \[I\] là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.
Câu 3 trang 50 SGK Hình học 12:
Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu [các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu].
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
Sử dụng kết quả: Hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.
Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy [trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy].
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực [P] của một cạnh bên.
Bước 3: Xác định I = [P] ∩ d, khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Cho hình chóp S.A1A2A3...An có các cạnh bên bằng nhau.
Gỉa sử I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy.
Ta có: SA1 = SA2 = SA3 = ... = SAn
Suy ra ΔSIA1= ΔSIA2 = ΔSIA3 = ... = ΔSIAn
Suy ra IA1 = IA2 = IA3 = ... = IAn
Đa giác A1A2A3...An là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn tâm I bán kính IA, trục SI.
Trong mp[SAI], đường trung trực của SA1 cắt SI tại O, ta có:
OS = OA1 [1]
OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn [2]
Từ [1] và [2] suy ra OS = OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn
Vậy hình chóp S.A1A2A3...An nội tiếp được trong một mặt cầu.
- Giải Toán 12: Ôn tập chương 2
Sử dụng kết quả: Hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.
Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy [trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy].
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực [P] của một cạnh bên.
Bước 3: Xác định \[I = \left[ P \right] \cap d\], khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Lời giải chi tiết
Giả sử ta có hình chóp \[S.ABCD\], có các cạnh bên \[SA = SB = SC = SD = ...\]
Kẻ \[SH \bot [ABCD]\], ta chứng minh được \[△SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △...\] [cạnh huyền - cạnh góc vuông]
Suy ra \[HA = HB = HC = HD = ...\] \[ \Rightarrow \] H là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD.
Trong tam giác \[SAH\] chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh \[SA\], đường này cắt \[SH\] ở điểm \[I \Rightarrow IA = IS\].
Do đó: \[IS = IA = IB = IC = ID = ...\] hay điểm \[I\] cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó \[I\] là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.
Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.
Hướng dẫn:
Chứng minh tồn tại một điểm cách đều các đỉnh của hình chóp
Giả sử hình chóp \[S.ABCD... \]có \[SA = SB = SC = SD = ...\]
Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy. Suy ra \[SH\bot [ABCD]\].
Vì \[SA = SB = SC = SD = ...\] nên \[HA = HB = HC = HD = .....\]
Vậy hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp trong một đường tròn tâm H bán kính HA.
Gọi O là giao điểm của mặt phẳng trung trực của SA với SH thì O cách đều các đỉnh của hình chóp.
Vậy hình chóp nội tiếp được trong một mặt cầu.
Đề bài
Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kết quả: Hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.
Bước 1: Xác định trục \[d\] của mặt đáy [trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy].
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực \[[P]\] của một cạnh bên.
Bước 3: Xác định \[I = \left[ P \right] \cap d\], khi đó \[I\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Lời giải chi tiết
Giả sử ta có hình chóp \[S.{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\] với \[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\] là đa giác đáy.
Ta có: \[S{A_1} = S{A_2} = S{A_3} = ... = S{A_n}\]
Kẻ \[SH\] vuông góc với mặt phẳng đáy. Dễ thấy: \[\Delta \;SH{A_1} = \Delta \;SH{A_2} = \Delta \;SH{A_3} = ... = \Delta \,SH{A_n}\] [cạnh huyền - cạnh góc vuông]
\[ \Rightarrow H{A_1} = H{A_2} = H{A_3} = ... = H{A_n}\]
\[ \Rightarrow \] H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy \[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\]
Xét tam giác \[\Delta \,SH{A_1}\], kẻ đường trung trực của cạnh \[S{A_1}\], đường này cắt \[SH\] ở điểm \[I\]
\[\Rightarrow IA = IS\].
Xét \[\Delta \;SI{A_1},\Delta \;SI{A_2},\Delta \;SI{A_3},...,\Delta \,SI{A_n}\] ta có:
\[\left. \begin{array}{l}IS \text{ chung} \\S{A_1} =S{A_2} = ... = \,S{A_n}\\\widehat {SI{A_1}} =\widehat {SI{A_2}} = ... = \widehat {SI{A_n}}
\end{array} \right\}\]
\[ \Rightarrow \Delta SI{A_1} = \Delta SI{A_2} = ... = \Delta SI{A_n}\]
\[ \Rightarrow I{A_1} = \;I{A_2} = \;I{A_3} = ... = \,I{A_n} = IS\]
hay điểm \[I\] cách đều các đỉnh của hình chóp, do đó \[I\] là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.
Loigiaihay.com
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài 3 [trang 50 SGK Hình học 12]: Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu [các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu].
Lời giải:
Quảng cáo
Cho hình chóp S.A1A2A3...An có các cạnh bên bằng nhau.
Gỉa sử I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy.
Ta có: SA1 = SA2 = SA3 = ... = SAn
Suy ra ΔSIA1= ΔSIA2 = ΔSIA3 = ... = ΔSIAn
Suy ra IA1 = IA2 = IA3 = ... = IAn
Đa giác A1A2A3...An là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn tâm I bán kính IA, trục SI.
Quảng cáo
Trong mp[SAI], đường trung trực của SA1 cắt SI tại O, ta có:
OS = OA1 [1]
OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn [2]
Từ [1] và [2] suy ra OS = OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn
Vậy hình chóp S.A1A2A3...An nội tiếp được trong một mặt cầu.
Quảng cáo
Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 2 khác :
Các bài giải Hình học 12 Chương 2 khác:
on-tap-chuong-2-hinh-hoc-12.jsp