Ax 0 khi nào có nghiệm tầm thường v năm 2024
|
$\left\{\begin{matrix} ax_{1}+bx_{2}+...+ bx_{n}=0\\ cx_{1}+ax_{2}+...+bx_{n}=0\\ ...\\ cx_{1}+cx_{2}+...+ax_{n}=0 \end{matrix}\right.$ Show Tìm điều kiện của a, b, c để hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường ?? Em làm thế này nhưng không ổn lắm Điều kiện là $detA= 0$ trong đó $A$ là ma trận các hệ số của hpt Em dùng khai triển Laplace với quy nạp tính được $det A =\frac{c-2a}{b+c-2a}(a-b){n}+\frac{b}{b+c-2a}(c-a){n}$ Đến đây thì chả biết giải đk det A = 0 thế nào ạ Mọi người xem giúp e có hướng nào khác làm bài này không nhé !!!!
Đã gửi 21-11-2014 - 22:53 quangbinng Trung sĩ
$\left\{\begin{matrix} ax_{1}+bx_{2}+...+ bx_{n}=0\\ cx_{1}+ax_{2}+...+bx_{n}=0\\ ...\\ cx_{1}+cx_{2}+...+ax_{n}=0 \end{matrix}\right.$ Tìm điều kiện của a, b, c để hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường ?? Em làm thế này nhưng không ổn lắm Điều kiện là $detA= 0$ trong đó $A$ là ma trận các hệ số của hpt Em dùng khai triển Laplace với quy nạp tính được $det A =\frac{c-2a}{b+c-2a}(a-b){n}+\frac{b}{b+c-2a}(c-a){n}$Đến đây thì chả biết giải đk det A = 0 thế nào ạ Mọi người xem giúp e có hướng nào khác làm bài này không nhé !!!!Cái này khó nhất tính định thức mà, nhưng mà điều kiện để có nghiệm không tầm thường là det A khác không mấy bài em bị block, em phải đánh công thức vào tiêu đề thì mới không bị block, viết chung chung là bị block. Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$ $U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$ $Av_S=\varphi(v)_T$ ----------- Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$. $S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$ $v_S=Pv_T$ ----------- https://web.facebook...73449309343792/ nhóm olp 2016 Đã gửi 22-11-2014 - 08:04 thuylinh_909 Trung sĩ
Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm n ẩn, n phương trình có nghiệm khác không khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng không mà a!!! Nếu $detA\neq 0$ thì theo định lý Cramer thì hpt có nghiệm duy nhất . Do vậy $detA= 0$ Còn về tính định thức thì đầu tiên em : - Lấy dòng n trừ đi dòng n-1 thay vào dòng cuối - Khai triển Laplace theo dòng cuối đấy $D_{n}=\begin{vmatrix} a & b &... &b &b \\ c& a & ... & b & b\\ c & c & ...&b & b\\ ... & ... &... &... & ...\\ c& c & ... &a &b \\ c & c &... & c & a \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b &...&b &b \\ c& a & ... & b& b\\ c & c &... &b & b\\ ... & ... &... &... & ...\\ c& c &... &a &b \\ 0 & 0 & ... & c-a & a-b \end{vmatrix}=(c-a)(-1)^{n+n+1}\begin{vmatrix} a &b &... &b & b\\ c& a &... & b &b \\ ...&... &... &... &... \\ c &c &... & a & b\\ c & c & ... & c & b \end{vmatrix}$ $+ (a-b)(-1)^{n+n}D_{n-1}$ $=(a-b)D_{n-1}+(a-c)\begin{vmatrix} a &b &... & b&b \\ c & a&... &b & b\\ ... & ... &... &... &... \\ c &c &.. . & a & b\\ 0 &0 &... &a-c & 0 \end{vmatrix}=(a-b)D_{n-1}+(a-c){2}(-1){n-2+n-1}\begin{vmatrix} a& b & ... & b & b\\ c & a & ... & b & b\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ c &c & ... & a &b \\ c & c& ...& c & b \end{vmatrix}=...=(a-b)D_{n-1}+(a-b){n-2}(-1){n-3}\begin{vmatrix} a & b\\ c& b \end{vmatrix}=(a-b)D_{n-1}+b(c-a)^{n-1}$ Rồi dùng sai phân ra $D_{n}=\frac{c-2a}{b+c-2a}(a-b){n}+\frac{b}{b+c-2a}(c-a){n}$ Không biết có sai chỗ nào không ạ !!!
Đã gửi 22-11-2014 - 08:07 thuylinh_909 Trung sĩ
Với cả làm sao để mở lại chủ đề bị khóa ạ !! Làm cách nào để chỉnh tiêu đề hả a ??? Đã gửi 22-11-2014 - 11:23 quangbinng Trung sĩ
Nếu $detA\neq 0$ thì theo định lý Cramer thì hpt có nghiệm duy nhất . Do vậy $detA= 0$ Còn về tính định thức thì đầu tiên em : - Lấy dòng n trừ đi dòng n-1 thay vào dòng cuối - Khai triển Laplace theo dòng cuối đấy $D_{n}=\begin{vmatrix} a & b &... &b &b \\ c& a & ... & b & b\\ c & c & ...&b & b\\ ... & ... &... &... & ...\\ c& c & ... &a &b \\ c & c &... & c & a \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b &...&b &b \\ c& a & ... & b& b\\ c & c &... &b & b\\ ... & ... &... &... & ...\\ c& c &... &a &b \\ 0 & 0 & ... & c-a & a-b \end{vmatrix}=(c-a)(-1){n+n+1}\begin{vmatrix} a &b &... &b & b\\ c& a &... & b &b \\ ...&... &... &... &... \\ c &c &... & a & b\\ c & c & ... & c & b \end{vmatrix}$ $+ (a-b)(-1){n+n}D_{n-1}$ $=(a-b)D_{n-1}+(a-c)\begin{vmatrix} a &b &... & b&b \\ c & a&... &b & b\\ ... & ... &... &... &... \\ c &c &.. . & a & b\\ 0 &0 &... &a-c & 0 \end{vmatrix}=(a-b)D_{n-1}+(a-c){2}(-1){n-2+n-1}\begin{vmatrix} a& b & ... & b & b\\ c & a & ... & b & b\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ c &c & ... & a &b \\ c & c& ...& c & b \end{vmatrix}=...=(a-b)D_{n-1}+(a-b){n-2}(-1){n-3}\begin{vmatrix} a & b\\ c& b \end{vmatrix}=(a-b)D_{n-1}+b(c-a){n-1}$ Rồi dùng sai phân ra $D_{n}=\frac{c-2a}{b+c-2a}(a-b){n}+\frac{b}{b+c-2a}(c-a)^{n}$ Không biết có sai chỗ nào không ạ !!!Cái nghiệm riêng là $\frac{c-2a}{b+c-2a}$ đúng không, còn nghiệm tổng quát của Pt sai phân tuyến tính cấp 1 dạng $D_n=(a-b)D_{n-1}$ là $c(a-b)^n$phải không nhỉ, mà cách tìm ra c thế nào ấy, anh quên mất các công thức cái của sai phân rồi @@ Anh ko biết sửa tiêu đề, nhưng mà ko mở khóa được, chỉ có điều hành viên mới mở khóa được. Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 22-11-2014 - 11:24 Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$ $U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$ $Av_S=\varphi(v)_T$ ----------- Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$. $S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$ $v_S=Pv_T$ ----------- https://web.facebook...73449309343792/ nhóm olp 2016 Đã gửi 22-11-2014 - 15:17 thuylinh_909 Trung sĩ
Em cũng không nhớ phần này lắm phải mở lại sách đấy ạ !!!! $D_{n}=D_{n}{'}+D_{n}{*}$ (1) Trong đó $D_{n}{'}=k(a-b){n}$ nghiệm của pt đặc trưng $D_{n}=(a-b)D_{n-1}$ $D_{n}{*}=p(c-a){n}$ là nghiệm riêng Thay $D_{n}{*}$ vào pt $D_{n}=(a-b)D_{n-1}+b(c-a){n-1}$ Tìm được p rồi từ $D_{1}=a$ Thay vào (1) tìm được k Đã gửi 23-11-2014 - 04:24 Kool LL Sĩ quan
$\left\{\begin{matrix} ax_{1}+bx_{2}+...+ bx_{n}=0\\ cx_{1}+ax_{2}+...+bx_{n}=0\\ \ddots\\ cx_{1}+cx_{2}+...+ax_{n}=0 \end{matrix}\right.$ Tìm điều kiện của a, b, c để hệ phương trình trên có nghiệm không tầm thường ?? Em làm thế này nhưng không ổn lắm Điều kiện là $detA= 0$ trong đó $A$ là ma trận các hệ số của hpt Em dùng khai triển Laplace với quy nạp tính được $det A =\frac{c-2a}{b+c-2a}(a-b){n}+\frac{b}{b+c-2a}(c-a){n}$Đến đây thì chả biết giải đk det A = 0 thế nào ạ Mọi người xem giúp e có hướng nào khác làm bài này không nhé !!!!$D_n=|A_n|=\left|\begin{matrix}a&b&b&...&b&b \\ c&a&b&...&b&b\\ c&c&a&...&b&b \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\ c&c&c&...&a&b \\ c&c&c&...&c&a\end{matrix}\right|_n$ $\overset{c_1'=c_1-c_2}{=}\left|\begin{matrix}a-b&b&b&...&b&b \\ c-a&a&b&...&b&b\\ 0&c&&&& \\ \vdots&\vdots&&A_{n-2}&& \\ 0&c&&&& \\ 0&c&&&&\end{matrix}\right|_n$ $\overset{d_1'=d_1-d_2}{=}\left|\begin{matrix}2a-b-c&b-a&0&...&0&0 \\ c-a&a&b&...&b&b\\ 0&c&&&& \\ \vdots&\vdots&&A_{n-2}&& \\ 0&c&&&& \\ 0&c&&&&\end{matrix}\right|_n$ $\overset{(\text{theo }c_1)}{=}(2a-b-c).\left|\begin{matrix}a&b&...&b&b\\ c&&&& \\ \vdots&&A_{n-2}&& \\ c&&&& \\ c&&&&\end{matrix}\right|_{n-1}$$-(c-a).\left|\begin{matrix}b-a&0&...&0&0 \\ c&&&& \\ \vdots&&A_{n-2}&& \\ c&&&& \\ c&&&&\end{matrix}\right|_{n-1}$ $\overset{(\text{theo }d_1)}{=}(2a-b-c).D_{n-1}-(c-a)(b-a).D_{n-2}$ Ta có pt sai phân : $D_n+(b+c-2a).D_{n-1}+(b-a)(c-a).D_{n-2}=0$ Pt đặc trưng : $k^2+(b+c-2a)k+(b-a)(c-a)=0$ $\Leftrightarrow k_1=a-b\ ;\ k_2=a-c$ $\boxed{}$ Nếu $c\ne b$ : thì nghiệm TQ là : $D_n=C_1.(a-b)^n+C_2.(a-c)^2$ với $\left.\begin{cases}C_1(a-b)+C_2(a-c)=D_1=a\\C_1(a-b)^2+C_2(a-c)^2=D_2=a^2-bc\end{cases}\right\}$ $\Rightarrow C_1=\frac{c}{c-b}\ ;\ C_2=\frac{b}{b-c}$ Suy ra $\boxed{D_n=\frac{c}{c-b}.(a-b)^n+\frac{b}{b-c}.(a-c)^n=\frac{b.(a-c)^n-c.(a-b)^n}{b-c}}$ $\boxed{}$ Nếu $c=b$ : thì nghiệm TQ là : $D_n=(C_1.n+C_2).(a-b)^n$ với $\left.\begin{cases}(C_1+C_2).(a-b)=D_1=a\\(2C_1+C_2).(a-b)^2=D_2=a^2-b^2\end{cases}\right\}$ $\Rightarrow C_1=\frac{b}{a-b}\ ;\ C_2=1$ Suy ra $\boxed{D_n=\left(\frac{bn}{a-b}+1\right).(a-b)n=[a+(n-1)b].(a-b){n-1}}$ Để hpt có nghiệm không tầm thường $\Leftrightarrow D_n\ne0$ $\Leftrightarrow\begin{cases}c\ne b \\ b(a-c)^n\ne c(a-b)^n \end{cases}$ hoặc $\begin{cases}c=b \\ a\ne (1-n)b\ \wedge\ a\ne b \end{cases}$ Đã gửi 23-11-2014 - 08:09 thuylinh_909 Trung sĩ
Không biết bài của e sai chỗ nào nhỉ ????? Đã gửi 23-11-2014 - 16:09 Kool LL Sĩ quan
Nếu $detA\neq 0$ thì theo định lý Cramer thì hpt có nghiệm duy nhất (SAI RỒI. Phải là có nghiệm duy nhất không tầm thường, tức là nghiệm khác $0$). Do vậy $detA= 0$ Còn về tính định thức thì đầu tiên em : - Lấy dòng n trừ đi dòng n-1 thay vào dòng cuối - Khai triển Laplace theo dòng cuối đấy $D_{n}=\begin{vmatrix} a & b &... &b &b \\ c& a & ... & b & b\\ c & c & ...&b & b\\ ... & ... &... &... & ...\\ c& c & ... &a &b \\ c & c &... & c & a \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b &...&b &b \\ c& a & ... & b& b\\ c & c &... &b & b\\ ... & ... &... &... & ...\\ c& c &... &a &b \\ 0 & 0 & ... & c-a & a-b \end{vmatrix}=(c-a)(-1){n+n+1}\begin{vmatrix} a &b &... &b & b\\ c& a &... & b &b \\ ...&... &... &... &... \\ c &c &... & a & b\\ c & c & ... & c & b \end{vmatrix}$ $+ (a-b)(-1){n+n}D_{n-1}$ $=(a-b)D_{n-1}+(a-c)\begin{vmatrix} a &b &... & b&b \\ c & a&... &b & b\\ ... & ... &... &... &... \\ c &c &.. . & a & b\\ 0 &0 &... &a-c & 0 \end{vmatrix}=(a-b)D_{n-1}+(a-c){2}(-1){n-2+n-1}\begin{vmatrix} a& b & ... & b & b\\ c & a & ... & b & b\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ c &c & ... & a &b \\ c & c& ...& c & b \end{vmatrix}=...=(a-b)D_{n-1}+(a-b){n-2}(-1){n-3}\begin{vmatrix} a & b\\ c& b \end{vmatrix}=(a-b)D_{n-1}+b(c-a){n-1}$ Rồi dùng sai phân ra $D_{n}=\frac{c-2a}{b+c-2a}(a-b){n}+\frac{b}{b+c-2a}(c-a)^{n}$ Không biết có sai chỗ nào không ạ !!!Sửa lại cho đúng nè : $D_{n}=\begin{vmatrix} a & b &... &b &b \\ c& a & ... & b & b\\ c & c & ...&b & b\\ ... & ... &... &... & ...\\ c& c & ... &a &b \\ c & c &... & c & a \end{vmatrix}_n$ $=\begin{vmatrix} a & b &...&b &b \\ c& a & ... & b& b\\ c & c &... &b & b\\ ... & ... &... &... & ...\\ c& c &... &a &b \\ 0 & 0 & ... & c-a & a-b \end{vmatrix}_n$ $=(a-c)\begin{vmatrix} a &b &... &b & b\\ c& a &... & b &b \\ ...&... &... &... &... \\ c &c &... & a & b\\ c & c & ... & c & b \end{vmatrix}_{n-1}$ $+ (a-b)D_{n-1}$ $=(a-b)D_{n-1}+(a-c)\begin{vmatrix} a &b &... & b&b \\ c & a&... &b & b\\ ... & ... &... &... &... \\ c &c &.. . & a & b\\ 0 &0 &... &c-a & 0 \end{vmatrix}_{n-1}$$=(a-b)D_{n-1}+(a-c)^{2}\begin{vmatrix} a& b & ... & b & b\\ c & a & ... & b & b\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ c &c & ... & a &b \\ c & c& ...& c & b \end{vmatrix}_{n-2}$ $= \overset{\text{CMtt}}{...} =(a-b)D_{n-1}+(a-c){n-2}\begin{vmatrix} a & b\\ c& b \end{vmatrix}_2=(a-b)D_{n-1}+b(a-c){n-1}$ Ta có : $D_n=(a-b)D_{n-1}+b(a-c)^{n-1}$ Rồi dùng sai phân ra $D_{n}=\frac{c(a-b){n}}{c-b}+\frac{b(a-c){n}}{b-c}$ Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 23-11-2014 - 16:16 Đã gửi 23-11-2014 - 18:46 thuylinh_909 Trung sĩ
Trong sách giáo trình của Nguyễn Hữu Việt Hưng có viết đây ạ . Thế thì đk phải là det A=0 chứ ạ ??? Hình gửi kèm
Đã gửi 23-11-2014 - 20:38 Kool LL Sĩ quan
Bạn hiểu sai rồi. Một hpt tuyến tính $A.X=B$ bất kỳ luôn luôn có nghiệm tầm thường là ma trận $X=0$. Người ta nói hpt có nghiệm duy nhất (trong đó ko tính đến nghiệm $0$ tầm thường). Có nghĩa nghiệm duy nhất muốn nói đến ở đây là nghiệm khác $0$. |
