5x 2 y 2-2xy 2x-6y 1 0 chuyên toán năm 2024
Bài học các phép toán với đa thức nhiều biến các em sẽ được làm quen với cách thực hiện các phép tính cộng trừ, nhân chia đa thức cùng hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa. Mời các em cùng tham khảo bài viết. Show
1. Cộng trừ hai đa thức- Để cộng trừ hai đa thức ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Cho đa thức A = a2 + 5abc - 7ab2 + c và đa thức B = 3a2 - ab2 + 5b - 2c Giải: A + B = a2 + 5abc - 7ab2 + c + 3a2 - ab2 + 5b - 2c \= (a2 + 3a2) + 5abc - (7ab2 + ab2) + (c - 2c) + 5b \= 4a2 + 5abc - 8ab2 - c + 5b. Giải: A - B = a2 + 5abc - 7ab2 + c - (3a2 - ab2 + 5b - 2c) \= a2 + 5abc - 7ab2 + c - 3a2 + ab2 - 5b + 2c \= (a2 - 3a2) + 5abc - (7ab2 - ab2) + (c + 2c) - 5b \= -2a2 + 5abc - 6ab2 + 3c -5b. 2. Nhân hai đa thức- Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến rồi nhân các kết quả đó với nhau Ví dụ: (3a3b).(7ab) = (3.7).(a3.a).(b.b) = 21a4b2 - Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau. - Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rôi cộng các kết quả với nhau. Ví dụ: 2ab(a - 3b2) = 2ab.a - 2ab.3b2 = 2.(a.a).b - (2.3).a.(b.b2) = 2a2b - 6ab3 (a - b)(a2 + 2b) = a.a2 + a.2b - b.a2 - b.2b = a3 + 2ab - ba2 - 2b2 3. Chia đa thức cho đơn thức3.1 Chia đơn thức cho đơn thức- Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ( với A chia hết cho B), ta thực hiện các bước:
Ví dụ: (8a2b4c3):(4ab3c) = (8:4).(a2: a).(b4 : b3).(c3: c) = 2abc2 3.2 Chia đa thức cho đơn thức- Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau. Ví dụ: (25a2 - 15ab) : 5ab = (25a2 : 5ab) + ( -15ab : 5ab) \= 5ab - 3 \>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới 4. Hướng dẫn giải bài tập SGK toán 8 mới4.1 Bài tập các phép toán với đa thức nhiều biến sách cánh diềuBài 1 trang 17 SGK toán 8/1 cánh diều
\= (–xy) . (–2x2y) + (–xy) . 3xy – (–xy) . 7x \= 2x3y2 – 3x2y2 + 7x2y.
\= x . x2 + x . 2xy + x . y2 + y . x2 + y . 2xy + y . y2 \= x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3 \= x3 + (2x2y + x2y) + (xy2+ 2xy2) + y3 \= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.
\= x . x2 – x . 2xy + x . y2 – y . x2– y . (– 2xy) – y . y2 \= x3 – 2x2y + xy2 – x2y + 2xy2 – y3 \= x3 – (2x2y + x2y) + (xy2 + 2xy2) – y3 \= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3. Bài 2 trang 17 SGK toán 8/1 cánh diều
Bài 3 trang 17 SGK toán 8/1 cánh diều
\= x . x2 + x . xy + x . y2– y . x2 – y . xy– y . y2 \= x3 + (x2y – x2y) + (xy2– xy2) – y3= x3 – y3.
\= x . x2 – x . xy + x . y2 + y . x2 – y . xy + y . y2 \= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3 \= x3 + (x2y – x2y) + (xy2– xy2) + y3 \= x3 + y3.
\= 4x.6y + 4x.1 - 1.6y - 1.1 - 3x.8x - 3x.4/ \= 24xy + 4x – 6y – 1 – 24x2 – 4x \= 24xy – 24x2 + (4x – 4x) – 6y – 1 \= 24xy – 24x2 – 6y – 1. d(x + y)(x – y) + (xy4 – x3y2) : (xy2) \= x . x + x . y – x . y – y . y + (xy4) : (xy2) – (x3y2) : (xy2) \= x2 – y2 + y2– x2= (x2 – x2) + (y2– y2) = 0. Bài 4 trang 17 SGK toán 8/1 cánh diều
P = (5x2 – 2xy + y2) – (x2 + y2) – (4x2 – 5xy + 1) \= 5x2 – 2xy + y2–x2 – y2–4x2 + 5xy – 1 \= (5x2 –x2 –4x2)+(5xy – 2xy) + (y2– y2) – 1 \= 3xy – 1. Ta có: x = 1,2; x + y = 6,2 => y = 6,2 – x = 6,2 – 1,2 = 5. Giá trị của biểu thức P khi x = 1,2 và y = 5 là: 3 . 1,2 . 5 – 1 = 18 – 1 = 17.
\= (2x3 – 10x2+ 8x + 3x2– 15x + 12) –(2x3 – x2 – 10x – 6x2 + 3x + 30) \= (2x3 – 7x2– 7x+ 12) – (2x3 – 7x2 – 7x + 30) \= 2x3 – 7x2– 7x+ 12–2x3 +7x2+ 7x – 30 \= (2x3 – 2x3) +(7x2 – 7x2) +(7x – 7x) + (12– 30) = –8. Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì (x2 – 5x + 4)(2x + 3) – (2x2 – x – 10)(x – 3)= –8. Vậy giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x. Bài 5 trang 17 SGK toán 8/1 cánh diều
\= (10x – 5x2) – (x2 + x + 9x + 9) \= (10x – 5x2) – (x2 + 10x + 9) \= 10x – 5x2 – x2 – 10x – 9 \= (– 5x2 – x2) + (10x – 10x) – 9 = – 9. Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì P = – 9. Vậy biểu thức P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.
\= 3x2 + x2 – 4xy – 12x + 4xy + 12x + 1 \= (3x2 + x2) + (4xy – 4xy) + (12x – 12x) + 1 \= 4x2 + 1 Vì 4x2≥ 0 nên 4x2 + 1 > 0. Vậy biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y. Bài 6 trang 17 SGK toán 8/1 cánh diềuDiện tích vuông ban đầu là: 1212.6.8 = 24 (cm) vuông sau khi mở rộng có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x + 6 (cm); y + 8 (cm). Diện tích vuông sau khi tăng độ dài hai cạnh góc vuông là: 1212.(x+6).(y+8) = 1212xy + 4x + 3y + 24 \= 24 + 4x + 3y + 24 = 4x + 3y + 48 (cm) Vậy đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y là: 4x + 3y + 48 (cm). Bài 7 trang 17 SGK toán 8/1 cánh diềuTrong Hình 4, ta thấy: • Khu vực nhà bác Xuân là hình vuông có cạnh x (m) Diện tích khu vực nhà bác Xuân là: x2 (m2). • Mảnh đất trồng rau có dạng hình chữ nhật có chiều dài bằng x – 10 (m) và chiều rộng bằng x – 15 (m). Diện tích mảnh đất trồng rau là: (x – 10)(x – 15) = x2 – 10x – 15x + 150 \= x2 – 25x + 150 (m2). Theo đề bài, diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m2 nên ta có: x2 – (x2 – 25x + 150) = 475= x2 – x2 + 25x – 150 \= 475 = 25x – 150 = 475 = 25x = 625 \=> x = 25. Vậy khu vườn có độ dài 25 m. 4.2 Bài tập các phép toán với đa thức nhiều biến sách chân trời sáng tạoBài 1 trang 17 SGK Toán 8/1 Chân trời sáng tạo
\= x + 2y + x – y \= (x + x) + (2y – y) \= 2x + y.
\= 2x – y – 3x + 5y \= (2x – 3x) + (–y + 5y) \= –x + 4y.
\= 3x2 – 4y2 + 6xy + 7 – x2 + y2 – 8xy + 9x + 1 \= (3x2 – x2) + (– 4y2 + y2) + (6xy – 8xy) + 9x + (7 + 1) \= 2x2 – 3y2 – 2xy + 9x + 8 .
\= 4x2y – 2xy2 + 8 – 3x2y – 9xy2 + 12xy – 6 \= (4x2y – 3x2y) + (– 2xy2 – 9xy2) + 12xy + (8 – 6) \= x2y – 11xy2 + 12xy + 2 . Bài 2 trang 17 SGK Toán 8/1 Chân trời sáng tạoĐộ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hình 7 là: (7x + 5y) – (3x – y) – (x + 2y) \= 7x + 5y – 3x + y – x – 2y \= (7x – 3x – x) + (5y + y – 2y) \= 3x + 4y. Vậy độ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hình 7 là 3x + 4y. Bài 3 trang 17 SGK Toán 8/1 Chân trời sáng tạo
\= 3x.2xy – 3x.5x2y \= (3.2).(x.x).y – (3.5).(x.x2).y \= 6x2y – 15x3y.
\= 2x2y.xy – 2x2y.4xy2 + 2x2y.7y \= 2.(x2.x).(y.y) – (2.4).(x2.x).(y.y2) + (2.7).x2.(y.y) \= 2x3y2 – 8x3y3 + 14x2y2. Bài 4 trang 17 SGK Toán 8/1 Chân trời sáng tạo
\= x.(x – 5y) – y.(x – 5y) \= x.x – x.5y – y.x + y.5y \= x2 – 5xy – xy + 5y2 \= x2 – 6xy + 5y2.
\= 2x.(4x2 – 2xy + y2) + y.(4x2 – 2xy + y2) \= 2x.4x2 – 2x.2xy + 2x.y2 + y.4x2 – y.2xy + y.y2 \= 8x3 – 4x2y + 2xy2 + 4x2y – 2xy2 + y3 \= 8x3 + (– 4x2y + 4x2y) + (2xy2 – 2xy2) + y3 \= 8x3 + y3. Bài 5 trang 17 SGK Toán 8/1 Chân trời sáng tạo
\= (20 : 5).(x3 : x2).(y5 : y2) \= 4xy3.
\= 18x3y5 : [–3x3y2] \= [18 : (–3)].(x3 : x3).(y5 : y2) \= –6y3. Bài 6 trang 17 SGK Toán 8/1 Chân trời sáng tạo
\= [(4x3y2) : (2xy)] – [(8x2y) : (2xy)] + [(10xy) : (2xy)] \= (4 : 2).(x3 : x).(y2 : y) – (8 : 2).(x2 : x).(y : y) + (10 : 2).(x : x).(y : y) \= 2x2y – 4x + 5.
\= [(7x4y2) : (3x2y)] – [(2x2y2) : (3x2y)] – [(5x3y4) : (3x2y)] \= (7 : 3).(x4 : x2).(y2 : y) – (2 : 3).(x2 : x2).(y2 : y) – (5 : 3).(x3 : x2).(y4 : y) Bài 7 trang 17 SGK Toán 8/1 Chân trời sáng tạo
3x2y – (3xy – 6x2y) + (5xy – 9x2y) \= 3x2y – 3xy + 6x2y + 5xy – 9x2y \= (3x2y + 6x2y – 9x2y) + (– 3xy + 5xy) \= 2xy Thay x = 2/3 và y = -3/4 vào biểu thức thu gọn ta có: 2.2/3.(-3/4) = -1
x(x – 2y) – y(y2 – 2x) \= x.x – x.2y – y.y2 + y.2x \= x2 – 2xy – y3 + 2xy \= x2 + (– 2xy + 2xy) – y3 \= x2 – y3 Thay x = 5 và y = 3 vào biểu thức đã thu gọn ta có: 52 – 33 = 25 – 27 = –2. Bài 8 trang 17 SGK Toán 8/1 Chân trời sáng tạo- Xuồng tiêu tốn 1/10a lít dầu khi xuôi dòng 1km và 1/10a + 1/5 lít dầu khi đi ngược dòng 1km. \=> Số lít dầu tiêu tốn khi xuồng đi ngược dòng từ A đến B là: Số lít dầu xuồng tiêu tốn khi xuôi dòng từ B về A là: \=> Tổng số lít dầu tiêu tốn từ A đến B và từ B về A là: Bài 9 trang 17 SGK Toán 8/1 Chân trời sáng tạo
(6xy + 10y2) : (2y) \= [(6xy) : (2y)] + [(10y2) : (2y)] \= (6 : 2).x.(y : y) + (10 : 2).(y2 : y) \= 3x + 5y. Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là 3x + 5y.
Sđáy = V : h \= (12x3 – 3xy2 + 9x2y) : (3x) \= [(12x3) : (3x)] – [(3xy2) : (3x)] + [(9x2y) : (3x)] \= (12 : 3).(x3 : x) – (3 : 3).(x : x).y2 + (9 : 3).(x2 : x).y \= 4x2 – y2 + 3xy. Vậy diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đã cho là 4x2 – y2 + 3xy. 4.3 Bài tập các phép toán với đa thức nhiều biến sách sách kết nối tri thứcBài 1.14 trang 16 SGK toán 8/1 kết nối tri thứcTa có: • P + Q = (x2y + x3 – xy2 + 3) + (x3 + xy2 – xy – 6) \= x2y + x3 – xy2 + 3 + x3 + xy2 – xy – 6 \= x2y + (x3 + x3) + (xy2 – xy2) – xy + (3 – 6) \= x2y + 2x3 – xy – 3. • P – Q = (x2y + x3 – xy2 + 3) – (x3 + xy2 – xy – 6) \= x2y + x3 – xy2 + 3 – x3 – xy2 + xy + 6 \= x2y + (x3 – x3) – (xy2 + xy2) + xy + (6 + 3) \= x2y – 2xy2 + xy + 9. Vậy P + Q = x2y + 2x3 – xy – 3; P – Q = x2y – 2xy2 + xy + 9. Bài 1.15 trang 16 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
\= x – y + y – z + z – x \= (x – x) + (y – y) + (z – z) \= 0 + 0 + 0 = 0
\= 2x – 3y + 2y – 3z + 2z – 3x \= (2x – 3x) + (2y – 3y) + (2z – 3z) \= –x – y – z. Bài 1.16 trang 16 SGK toán 8/1 kết nối tri thứcTa có M – 5x2 + xyz = xy + 2x2 – 3xyz + 5 Suy ra: M = xy + 2x2 – 3xyz + 5 + 5x2 – xyz \= (5x2 + 2x2) – (3xyz + xyz) + xy + 5 \= 7x2 – 4xyz + xy + 5. Vậy M = 7x2 – 4xyz + xy + 5. Bài 1.17 trang 16 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
• A + B = (2x2y + 3xyz – 2x + 5) + (3xyz – 2x2y + x – 4) \= 2x2y + 3xyz – 2x + 5 + 3xyz – 2x2y + x – 4 \= (2x2y – 2x2y) + (3xyz + 3xyz) + (x – 2x) + (5 – 4) \= 6xyz – x + 1. • A – B = (2x2y + 3xyz – 2x + 5) – (3xyz – 2x2y + x – 4) \= 2x2y + 3xyz – 2x + 5 – 3xyz + 2x2y – x + 4 \= (2x2y + 2x2y) + (3xyz – 3xyz) – (2x + x) + (5 + 4) \= 4x2y – 3x + 9. Vậy A + B = 6xyz – x + 1; A – B = 4x2y – 3x + 9.
A = 2 . 0,52 . (−2) + 3 . 0,5 . (−2) . 1 – 2 . 0,5 + 5 \= 2 . 0,25 . (−2) + 1,5 . (−2) – 1 + 5 \= 0,5 . (−2) – 3 + 4 = −1 – 3 + 4 = 0. Thay x = 0,5; y = −2 và z = 1 vào biểu thức A + B, ta được: A + B = 6 . 0,5 . (−2) . 1 – 0,5 + 1 \= 3 . (−2) – 0,5 + 1 = −6 + 0,5 = −5,5. Vậy tại x = 0,5; y = −2 và z = 1 thì A = 0 và A + B = −5,5. Bài 1.24 trang 21 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
Bài 1.25 trang 21 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
\= −x2y3 + 0,5x3y2 − 2xy3 Bài 1.26 trang 21 SGK toán 8/1 kết nối tri thứcTa có x(x2 – y) – x2(x + y) + xy(x – 1) \= x . x2 – x . y – x2 . x – x2 . y + xy . x – xy . 1 \= x3 – xy – x3 – x2y + x2y – xy \= (x3 – x3) + (x2y – x2y) – (xy + xy) = –2xy. Bài 1.27 trang 21 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
\= x2 . xy – xy . xy + 1 . xy + x2 . 3 – xy . 3 + 1 . 3 \= x3y – x2y2 + xy + 3x2 – 3xy + 3 \= x3y – x2y2 + (xy – 3xy) + 3x2 + 3 \= x3y – x2y2 – 2xy + 3x2 + 3. Bài 1.28 trang 21 SGK toán 8/1 kết nối tri thứcTa có (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7 \= x . 2x + x . 3 – 5 . 2x – 5 . 3 – 2x . x + 2x . 3 + x + 7 \= 2x2 + 3x – 10x – 15 – 2x2 + 6x + x + 7 \= (2x2 – 2x2) + (3x – 10x + 6x + x) + (7 – 15) \= –8. Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x. Bài 1.29 trang 21 SGK toán 8/1 kết nối tri thứcTa có: • (2x + y)(2x2 + xy – y2) \= 2x . 2x2 + 2x . xy – 2x . y2 + y . 2x2 + y . xy – y . y2 \= 4x3 + 2x2y – 2xy2 + 2x2y + xy2 – y3 \= 4x3 + (2x2y + 2x2y) + (xy2 – 2xy2) – y3 \= 4x3 + 4x2y – xy2 – y3. • (2x – y)(2x2 + 3xy + y2) \= 2x . 2x2 + 2x . 3xy + 2x . y2 – y . 2x2 – y . 3xy – y . y2 \= 4x3 + 6x2y + 2xy2 – 2x2y – 3xy2 – y3 \= 4x3 + (6x2y – 2x2y) + (2xy2 – 3xy2) – y3 \= 4x3 + 4x2y – xy2 – y3. Do đó (2x + y)(2x2 + xy – y2) = (2x – y)(2x2 + 3xy + y2) = 4x3 + 4x2y – xy2 – y3. Vậy (2x + y)(2x2 + xy – y2) = (2x – y)(2x2 + 3xy + y2). Bài 1.30 trang 24 SGK toán 8/1 kết nối tri thứca.
Suy ra N = −xy . 0,5xy2z = −0,5(x . x)(y . y2)z = −0,5x2y3z. Vậy N = −0,5x2y3z. Bài 1.31 trang 24 SGK toán 8/1 kết nối tri thức
Do đó, đa thức A = 9xy4 – 12x2y3 + 6x3y2 không chia hết cho đơn thức B = 3x2y.
Ta có: A : B = 9xy4 : (−3xy2) – 12x2y3 : (−3xy2) + 6x3y2 : (−3xy2) \= −3y2 + 4xy − 2x2. Bài 1.32 trang 24 SGK toán 8/1 kết nối tri thứcTa có (7y5z2 – 14y4z3 + 2,1y3z4) : (−7y3z2) \= 7y5z2 : (−7y3z2) – 14y4z3 : (−7y3z2) + 2,1y3z4 : (−7y3z2) \= −y2 + 2yz – 0,3z2. Trên đây là tổng hợp kiến tức về các phép toán với đa thức nhiều biến cùng hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Để tìm hiểu thêm nhiều bài học khác trong chương trình toán 8, các em hãy theo dõi các bài viết mới nhất của VUIHOC nhé! |