1 cos4x sin2x 3cos 2x có bao nhiêu nghiệm

Trên giá sách có các quyển vở không nhãn xếp cạnh nhau với bề ngoài, khối lượng và kích thước giống hệt nhau, trong đó có 5 quyển ghi môn Toán, 5 quyển ghi môn Ngữ Văn và 3 quyển ghi môn Tiếng Anh. Lấy ngẫu nhiên hai quyển vở. Xét các biến cố:

M: “Trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Tiếng Anh”;

N: “Trong hai quyển vở được lấy, chỉ có 1 quyển ghi môn Ngữ Văn”.

Khi đó, biến cố giao của hai biến cố M và N là:

Bạn đang xem tài liệu "Ôn thi tốt nghiệp Toán 12: Phương trình bậc nhất theo sin và cosin (phương trình cổ điển)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN) ( ) ( )a sin u bcosu c * . a, b R \ 0+ = ∈ Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho + ≠2 2a b 0 Đặt [ ] 2 2 2 2 a bcos và sin với 0,2 a b a b α = α = α ∈ π

• + ( ) ( ) 2 2 2 2 cThì * sinu cos cosu sin a b csin u a b ⇔ α + α =
• ⇔ + α =
• Cách 2 : Nếu là nghiệm của () thì : u k2= π + π asin bcos c b cπ + π = ⇔ − = Nếu đặt u k≠ π + π2 ut tg 2 = thì () thành : 2 2 2 2t 1 ta b 1 t 1 t −+ =+ + c ( ) ( ) ( )2b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔ + − + − = + ≠ Phương trình có nghiệm ( ) ( )2' a c b c b 0⇔ Δ = − + − ≥ 2 2 2 2 2 2a c b a b c⇔ ≥ − ⇔ + ≥ Giải phương trình (1) tìm được t. Từ ut tg 2 = ta tìm được u. Bài 87 : Tìm 2 6x , 5 7 π π⎛∈ ⎜⎝ ⎠ ⎞⎟ thỏa phương trình : ( )cos7x 3 sin7x 2 − = − Chia hai vế của () cho 2 ta được : ( ) ⇔ − = − π π⇔ − + = π π⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 3 2* cos7x sin7x 2 2 2 2sin cos7x cos sin7x 6 6 sin 7x sin 6 4 2 π π π π⇔ − = + π − = +37x k2 hay 7x h2 6 4 6 4 π , ( )∈k, h Z π π π π⇔ = + = + ∈ 5 k2 11 h2x hay x , k , 84 7 84 7 h Do 2 6x , 5 7 π π⎛∈ ⎜⎝ ⎠ ⎞⎟ nên ta phải có : π π π π π π π π< + < < + < ∈ 2 5 k2 6 2 11 h2 6hay ( k, h ) 5 84 7 7 5 84 7 7 ⇔ < + < < + < ∈ 2 5 k2 6 2 11 h2 6hay ( k, h ) 5 84 7 7 5 84 7 7 Suy ra k = 2, =h 1,2 5 4 53 11 2 35Vậy x x 84 7 84 84 7 84 11 4 59x 84 7 84 π π π π= + = π ∨ = + = π π∨ = + = π π Bài 88 : Giải phương trình ( )33sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x − = + Ta có : ( ) ( )3 3sin 3x 4sin 3x 3 cos9x 1⇔ − − = sin9x 3 cos9x 1⇔ − = 1 3sin9x cos9x 2 2 ⇔ − 1 2 = 1sin 9x sin 3 2 π π⎛ ⎞⇔ − = =⎜ ⎟⎝ ⎠ 6 π π π π⇔ − = + π − = + π ∈ 59x k2 hay 9x k2 , k 3 6 3 6 π π π π⇔ = + = + ∈ k2 7 k2x hay x , 18 9 54 9 k Bài 89 : Giải phương trình ( )1tgx sin2x cos2x 2 2cos x 0 cos x ⎛ ⎞− − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠ Điều kiện : cos x 0≠ Lúc đó : ( ) sin x 2 sin2x cos2x 4cos x 0 cos x cos x ⇔ − − + − = 2sin x sin2x cos x cos x cos2x 4 cos x 2 0⇔ − − + − = ( )2sin x 1 2cos x cos x cos2x 2cos2x 0⇔ − − + = = ≠ sin xcos2x cosxcos2x 2cos2x 0⇔ − − + = ⇔ = − − +c os2x 0 hay sin x cos x 2 0 ( ) ( ) ⎡ = = − =⎢⇔ ⎢ + = + <⎢⎣ 2 2 2 2 cos 2x 0 nhận do cos 2x 2cos x 1 0 thì cos x 0 sin x cos x 2 vô nghiệm vì 1 1 2 ( ) π⇔ = + ∈ π π⇔ = + ∈ 2x 2k 1 , k 2 kx , k 4 2 Bài 90 : Giải phương trình ( )3 18sin x cos x sin x = + Điều kiện : sin2x 0≠ Lúc đó () 28sin xcosx 3 sin x cosx⇔ = + ( ) ( ) ⇔ − = + ⇔ − = − ⇔ − + = − ⇔ = − + π⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ π π⇔ = + + π ∨ = − − + π π π⇔ = + π ∨ = − + ∈ 4 1 cos 2x cos x 3 sin x cos x 4 cos 2x cos x 3 sin x 3cos x 2 cos 3x cos x 3 sin x 3cos x 3 1cos 3x sin x cosx 2 2 cos 3x cos x 3 3x x k2 3x x k2 3 3 kx k x , k 6 12 2 π Nhận so vớiđiều kiện sin2x 0≠ Cách khác : () 28sin xcosx 3 sin x cosx⇔ = + ( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này ) ⇔ − = +28(1 cos x) cos x 3 sin x cos x ⇔ − = +38cos x 8cos x 3 sin x cos x ⇔ − = −36cos x 8cos x 3 sin x cos x ⇔ − = −3 1 34 cos x 3cos x cos x sin x 2 2 π⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ π π⇔ = + + π ∨ = − − + π π π⇔ = + π ∨ = − + ∈ π cos 3x cos x 3 3x x k2 3x x k2 3 3 kx k x , k 6 12 2 Bài 91 : Giải phương trình ( )9sin x 6cos x 3sin 2x cos2x 8 + − + = Ta có : () ( )29sin x 6cos x 6sin x cos x 1 2sin x 8⇔ + − + − = ( ) ( ) ⇔ − − + − ⎛ ⎞⇔ − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ 26 cos x 6sin x cos x 2sin x 9sin x 7 0 76cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 0 2 = = ( ) ⎛ ⎞⇔ − = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠ =⎡⎢⇔ + = + <⎢⎣ 2 2 2 71 sin x 0 hay 6 cos x 2 sin x 0 2 sin x 1 6cos x 2sin x 7 vô nghiệm do 6 2 7 π⇔ = + π ∈ x k2 , k 2 Bài 92 : Giải phương trình: ( )sin 2x 2cos2x 1 sin x 4 cos x + = + − Ta có : () ( )22sin x cos x 2 2cos x 1 1 sin x 4 cos x⇔ + − = + − ( ) ⇔ − + + − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ − = + + = + < 2 2 2 2 2sin x cos x sin x 4 cos x 4 cos x 3 0 1 1 32sin x cos x 4 cos x cos x 0 2 2 2 1cos x 0 hay 2sin x 4 cos x 6 0 vô nghiệm do 2 4 6 2 π⇔ = ± + πx k 3 2 Bài 93 : Giải phương trình ( )2sin 2x cos2x 7sin x 2cos x 4 − = + − Ta có : () ( )24 sin x cos x 1 2sin x 7sin x 2cos x 4⇔ − − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ − + − + = ⎛ ⎞⇔ − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇔ − + − − = ⇔ − = + − = + < 2 2 2 2 2 cos x 2sin x 1 2sin x 7 sin x 3 0 12 cos x 2sin x 1 2 sin x sin x 3 2 2 cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 3 0 2sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 vô nghiệm vì 1 2 3 π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ 5x k2 x k2 , k 6 6 Bài 94 : Giải phương trình ( )sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 − = + − Ta có () ( )22sin x cos x 1 2sin x 3sin x cos x 2⇔ − − = + − ( ) ( ) ( ) ( ⇔ − + − + ⇔ − + − − ⇔ − = + − = 2cos x 2sin x 1 2sin x 3sin x 1 0 cos x 2sin x 1 sin x 1 2sin x 1 0 2sin x 1 0 hay cos x sin x 1 0 ) = = π⎛ ⎞⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 1sin x hay 2 cos x x 1 2 4 = π π π π⇔ = + π ∨ = + π − = ± + π ∈ 5x k2 x k2 hay x k2 , k 6 6 4 4 π π π⇔ = + π ∨ = + π = + π ∨ = π ∈ 5x k2 x k2 hay x k2 x k2 , k 6 6 2 Bài 95 : Giải phương trình ( ) ( )2sin2x 3 cos2x 5 cos 2x *6π⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ Đặt t sin2x 3 cos2x= + , Điều kiện a b t a b− + = − ≤ ≤ = +2 2 2 22 2 Thì 1 3t 2 sin2x cos2x 2cos 2x 2 2 ⎛ ⎞ 6 π⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − Vậy () thành: − = ⇔ − − = ⇔ = ∨ = −2 2t 5t 5 2t t 10 0 t ( loại ) t 2 2 2 Do đó ( ) ⇔ cos 2x 1 6 π⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ π π⇔ − = π + π ⇔ = +72x k2 x k 6 1 π 2 Bài 96 : Giải phương trình ( )+ + =32 cos x cos2x sin x 0 Ta có () 3 22 cos x 2 cos x 1 sin x 0⇔ + − + = ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 cos x cos x 1 1 sin x 0 2 1 sin x 1 cosx 1 sin x 0 1 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0 ⇔ + − + = ⇔ − + − − = ⇔ − = + + − = 2 1 sin x 0 hay 1 2sin x cos x 2(sin x cosx) 0 1 sin x 0 hay (sin x cos x ) 2(sin x cos x) 0 ⇔ − = + + + = ⇔ − = + + + = ( )2 2 2sin x 1 haysin x cos x 0 hay sin x cos x 2 0 vô nghiệm do: 1 1 2⇔ = + = + + = + < sin x 1 hay tgx 1⇔ = = − x k2 hay x k2 , k 2 4 π π⇔ = + π = − + π ∈¢ Bài 97 : Giải phương trình ( )21 cos2x1 cot g2x *sin 2x −+ = Điều kiện : sin 2x 0 cos2x 1≠ ⇔ ≠ ± Ta có () 2 1 cos2x 11 cot g2x 1 cos2x1 cos 2x 1cot g2x 1 1 cos2x cos2x cos2x sin 2x 1 cos2x −⇔ + = = +− ⇔ = −+ −⇔ = + ( )= ≠ ±⎡⎢⇔ −⎢ =⎢ +⎣ ⇔ = ∨ + = − ⇔ = ∨ + = cos2x 0 nhận do 1 1 1 sin 2x 1 cos2x cos2x 0 1 cos2x sin 2x cos2x 0 sin 2x cos2x 1− 1cos2x 0 sin 2x sin 4 42 52x k 2x k2 2x k2 , k 2 4 4 4 4 π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = ∨ + = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π π π π π⇔ = + π∨ + = − + π∨ + = + π ∈¢ ( )kx x k 2x k2 loại , 4 2 4 kx , k 4 2 π π π⇔ = + ∨ == − + π∨ = π + π ∈ π π⇔ = + ∈ ¢ ¢ k Bài 98 : Giải phương trình ( ) ( )4 44 sin x cos x 3 sin 4x 2 + + = Ta có : () ( )22 2 2 24 sin x cos x 2sin x cos x 3 sin 4x 2⎡ ⎤⇔ + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ = ⎡ ⎤⇔ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ 214 1 sin 2x 3 sin 4x 2 2 ⇔ + = − ⇔ + = π π⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ π π⇔ − = ± + π cos4x 3 sin 4x 1 1 3 1cos 4x sin 4x 2 2 2cos 4x cos 3 3 24x k2 3 3 − 2 4x k2 hay 4x k2 , k 3 x k hay x k ,k 4 2 12 2 π⇔ = π + π = − + π ∈ π π π π⇔ = + = − + ∈ ¢ ¢ Cách khác : ( )() 22 1 sin 2x 3 sin 4x 0⇔ − + = 22 cos 2x 2 3 sin 2x cos2x 0 cos2x 0 cos2x 3 sin 2x 0 cos2x 0 cot g2x 3 ⇔ + = ⇔ = ∨ + ⇔ = ∨ = − = 2x k 2x k , k 2 6 k kx x , k 4 2 12 2 π π⇔ = + π∨ = − + π ∈ π π π π⇔ = + ∨ = − + ∈ ¢ ¢ Bài 99 : Giải phương trình ( )3 3 11 sin 2x cos 2x sin 4x 2
• + = Ta có () ( )( ) 11 sin 2x cos2x 1 sin 2x cos2x sin 4x 2 ⇔ + + − = ( )1 11 sin 4x sin 2x cos2x 1 sin 4x 0 2 2 11 sin 4x 0 hay 1 sin 2x cos2x 0 2 ⎛ ⎞⇔ − + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇔ − = + + = ( )sin 4x 2 loại sin 2x cos2x 1 2 sin(2x ) 1 4 =⎡⇔ ⎢ + =⎣ π − ⇔ + = − ( ) sin 2x sin( ) 4 4 2x k2 4 4 k Z 52x k2 4 4 x k x k , k 4 2 π π⎛ ⎞⇔ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠ π π⎡ + = − + π⎢⇔ ∈⎢ π π⎢ + = + π⎢⎣ π π⇔ = − + π ∨ = + π ∈¢ Bài 100 : Giải phương trình ( )( )tgx 3cot gx 4 sin x 3 cos x − = + Điều kiện sin x 0 sin 2x 0 cos x 0 ≠⎧ ⇔ ≠⎨ ≠⎩ Lúc đó : () ( )sin x cosx3 4 sin x 3 cocos x sin x⇔ − = + sx ( ) ( )( ) 2 2sin x 3cos x 4sin x cos x sin x 3 cos x sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2sin 2x 0 sin x 3 cos x 1 3sin x cosx sin 2x 2 2 ⇔ − = + ⇔ + − − = ⎡ = −⎢⇔ ⎢ − =⎢⎣ tgx 3 tg 3 sin x sin 2x 3 x k x 2x k2 x 2x k2 , k 3 3 3 ⎡ π⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⇔ ⎢ π⎛ ⎞− =⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ π π π⇔ = − + π∨ − = + π∨ − = π − + π ∈Z ( ) 4 k2x k x k2 x ,k 3 3 9 3 4 k2x k x nhận do sin 2x 0 3 9 3 π π π π⇔ = − + π∨ = − − π∨ = + ∈ π π π⇔ = − + π∨ = + ≠ ¢ Bài 101 : Giải phương trình ( )3 3sin x cos x sin x cos x + = − Ta có : () 3 3sin x sin x cos x cosx 0⇔ − + + =( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 sin x sin x 1 cos x cosx 0 sin x cos x cos x cos x 0 cos x 0 hay sin x cos x cos x 1 0 cos x 0 sin 2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9 x 2k 1 , k Z 2 ⇔ − + + = ⇔ − + + = ⇔ = − + + = =⎡⇔ ⎢− + = − + <⎣ π⇔ = + ∈ Bài 102 : Giải phương trình ( )4 4 1cos x sin x 4 4 π⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ Ta có : () ( ) 2 21 11 cos2x 1 cos 2x 4 4 2 ⎡ π ⎤⎛ ⎞ 1 4 ⇔ + + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ = ( ) ( )2 21 cos2x 1 sin 2x 1 cos2x sin 2x 1 1 3cos 2x cos 4 42 32x k2 4 4 x k x k , k 2 4 ⇔ + + + = ⇔ + = − π π⎛ ⎞⇔ − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠ π π⇔ − = ± + π π π⇔ = + π∨ = − + π ∈Z Bài 103 : Giải phương trình ( )3 34sin x.cos3x 4 cos x.sin3x 3 3 cos4x 3 + + = Ta có : () ( ) ( )⇔ − + − +3 3 3 34sin x 4 cos x 3cosx 4 cos x 3sin x 4sin x 3 3 cos4x 3= ( ) ⇔ − + + = ⇔ − + + 3 3 2 2 12sin x cosx 12sin x cos x 3 3 cos4x 3 4sin x cosx sin x cos x 3 cos4x 1= 2sin 2x.cos2x 3 cos 4x 1 sin 3sin 4x cos 4x 1 cos 3 ⇔ + π ⇔ + =π = sin 4x.cos sin cos 4x cos 3 3 π π⇔ + = 3 π sin 4x sin 3 6 54x k2 4x k2 , k 3 6 3 6 k kx x , k 24 2 8 2 π π⎛ ⎞⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ π π π π⇔ + = + π∨ + = + π ∈ π π π π⇔ = − + ∨ = + ∈ ¢ ¢ Bài 104 : Cho phương trình : ( )2 22 sin x sin x cos x cos x m − − = a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -1 Ta có : () ( ) ( )1 11 cos2x sin 2x 1 cos2x m 2 2 ⇔ − − − + = sin 2x 3cos2x 2m 1⇔ + = − + 2 a/ () có nghiệm 2 2a b c⇔ + ≥ ( )2 2 1 9 1 2m 4m 4m 9 0 1 10 1 10m 2 2 ⇔ + ≥ − ⇔ − − ≤ − +⇔ ≤ ≤ b/ Khi m = -1 ta được phương trình ( )sin 2x 3cos2x 3 1+ = ( ) π• = + = =Nếu x 2k 1 thì sin 2x 0 và cos2x 1 2 − nên phương trình (1) không thỏa. ( ) π• ≠ + ≠ =Nếux 2k 1 thì cosx 0,đặt t tgx 2 (1) thành ( )2 2 2 3 1 t2t 3 1 t 1 t −+ =+ + ( ) (2 2 2 2t 3 1 t 3 t 1 6t 2t 0 t 0 t 3 ⇔ + − = + ⇔ − = ⇔ = ∨ = ) Vậy (1) ⇔ tgx 0 hay tgx 3 tg x k= = = ϕ⇔ = π hay x k , k= ϕ+ π ∈¢ Bài 105 : Cho phương trình ( )2 35 4sin x 6tg2 sin x 1 tg π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ α⎝ ⎠ = + α a/ Giải phương trình khi 4 πα = − b/ Tìm α để phương trình () có nghiệm Ta có : 3sin x sin x cos x 2 2 π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 6tg 6sin .cos 3sin 2 1 tg cos α α= α = α với cos 0+ α α α ≠ Vậy : ( ) ( )5 4 cosx* 3sin 2 điều kiện sin x 0 và cos 0 sin x −⇔ = α ≠ α ≠ 3sin 2 sin x 4 cosx 5⇔ α + = a/ Khi 4 πα = − ta được phương trình ( )3sin x 4 cos x 5 1− + = ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 3 4sin x cosx 1 5 5 ⇔ − + = Đặt 3 4cos và sin với 0 2 5 5 ϕ = − ϕ = < ϕ < π Ta có pt (1) thành : ( )sin x 1ϕ+ = x k2 2 x k 2 π⇔ ϕ+ = + π π⇔ = −ϕ+ + π2 ≠ b/ () có nghiệm ( )23sin 2 16 25 và cos 0⇔ α + ≥ α 2 2 sin 2 1 và cos 0 sin 2 1 cos2 0 k ,k 4 2 ⇔ α ≥ α ≠ ⇔ α = ⇔ α = π π⇔ α = + ∈¢ BÀI TẬP
• Giải các phương trình sau : a/ ( )2 2 sin x cosx cosx 3 cos2x+ = + b/ ( ) (2 cos x 1 sin x cos x 1− + ) = c/ ( )2 cos2x 6 cosx sin x= − d/ 3sin x 3 3 cos x= − e/ 2 cos3x 3 sin x cos x 0+ + = f/ cos x 3 sin x sin 2x cos x sin x+ = + + g/ 3cosx 3 sin x cosx 3 sin x 1
• = + + h/ si n x cos x cos2x+ = k/ 34sin x 1 3sin x 3 cos3x− = − i / 63cosx 4sin x 6 3cos x 4sin x 1
• + =+ + j/ cos7x cos5x 3 sin 2x 1 sin 7x sin 5x− = − m/ ( )4 44 cos x sin x 3 sin 4x 2+ + = p/ 2 2cos x 3 sin 2x 1 sin x− = + q/ ( )4sin 2x 3cos2x 3 4sin x 1− = − r/ 2tgx sin 2x cos2x 4 cosx cosx − − = − + s/ ( ) 2 x2 3 cosx 2sin 2 4 1 2 cosx 1 π⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠ =−
• Cho phương trình cosx + msinx = 2 (1) a/ Giải phương trình m 3= b/ Tìm các giá trị m để (1) có nghiệm (ĐS : m 3≥ )
• Cho phương trình : ( )m sin x 2 m cosx 2 1 m 2 cosx m 2sin x − −=− − a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 b/ Khi m 0 và m 2≠ ≠ thì (1) có bao nhiêu nghiệm trên [ ]π π20 ,30 ? (ĐS : 10 nghiệm)
• Cho phương trình ( )2sin x cosx 1 a 1 sin x 2 cosx 3
• + =− + a/ Giải (1)khi 1a 3 = b/ Tìm a để (1) có nghiệm Th.S Phạm Hồng Danh TT Luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn