|
Quan tâm
18
Đưa vào sổ tay
|
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
$1.$ Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
Đường thẳng $d$ đi qua $M_0[x_0;y_0;z_0]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=[a;b;c]$ có :
- Phương trình tham số của $d:\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\z=z_0+ct\end{cases} [t \in \mathbb{R}] $
- Phương trình chính tắc của $d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} [abc \ne 0]$
$2.$ Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Đường thẳng $d$ đi qua $M_0[x_0;y_0;z_0]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=[a;b;c]$ và đường thẳng $d'$ đi qua $M'_0[x'_0;y'_0;z'_0]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}=[a';b';c']$ . Khi đó:
+ $d$ và $d'$ cùng nằm trong một mặt phẳng $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0$ .
+ $d$ và $d'$ cắt nhau $\Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}}
\right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0\\ \left[
{\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}$.
+ $d \parallel d' \Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}}
\right]=\overrightarrow{0}\\ \left[
{\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}$.
+ $d \equiv d' \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}}
\right]=\left[
{\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right]=\overrightarrow{0}$
+ $d$ và $d’$ chéo nhau $\Leftrightarrow\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}}
\right]\overrightarrow{M_0M'_0}=\overrightarrow{0}$
$3.$ Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng.
Đường thẳng $d$ đi qua $M_0[x_0;y_0;z_0]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=[a;b;c]$ và mặt phẳng $[P] : Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[A;B;C]$ . Khi đó:
+ $d$ cắt $[P]\Leftrightarrow Aa+Bb+Cc \ne 0$
+ $d \parallel [P]\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D \ne 0 \end{cases}$
+ $d \subset [P]\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D = 0 \end{cases}$
+ $d \perp [P] \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{n} \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}}
\right]=\overrightarrow{0}$
$4.$ Góc giữa hai đường thẳng.
Cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=[a;b;c]$ và đường thẳng $d'$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}=[a';b';c']$. Gọi $0^\circ \le\phi \le 90^\circ$ là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:
$\cos \phi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}} \right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{u'}|}=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}$
$5.$ Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=[a;b;c]$ và mặt phẳng $[P]$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[A;B;C]$ . Gọi $0^\circ \le \psi \le 90^\circ$ là góc hợp bởi đường thẳng $d$ và mặt phẳng $[P]$ ta có:
$\sin \psi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}}
\right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{n}|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
$6.$ Khoảng cách từ điểm $M_1[x_1;y_1;z_1]$ đến đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ :
+ Cách $1:$
- Viết phương trình mặt phẳng $[Q]$ qua $M_1$ và vuông góc với $\Delta$.
- Tìm tọa độ giao điểm $H$ của $\Delta$ và mặt phẳng $[Q]$ .
- d$[M_1, \Delta]=M_1H$ .
+ Cách $2:$ Sử dụng công thức: d$[M_1, \Delta]=\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{M_1M_0},\overrightarrow{u}} \right]} \right|}{|\overrightarrow{u}|}$
$7.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau $\Delta$ đi qua $M_0[x_0;y_0;z_0]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và đường thẳng $\Delta'$ đi qua $M'_0[x'_0;y'_0;z'_0]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}$ .
+ Cách $1:$
- Viết phương trình mặt phẳng $[Q]$ chứa $\Delta$ và song song với $\Delta'$.
- Tính khoảng cách từ $M'_0$ tới mặt phẳng $[Q]$ .
- d$[\Delta,\Delta']=$d$[M'_0,[Q]]$ .
+ Cách $2:$ Sử dụng công thức: d$[\Delta,\Delta']=\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}} \right|}{\left| {\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}}
\right]} \right|}$ .
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng I: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
$d
:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng $P : x - y - z
-1 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A[1;1;-2]$ ,
song song với mặt phẳng $[P]$ và vuông góc với đường thẳng $d .$
Lời giải :
Để tìm một VTCP của $\Delta$ ta phải tìm hai VTPT không cùng phương của nó rồi tìm tích có hướng của hai vectơ này.
Như vậy, $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[ {\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{P}}}\right]=[2;5;-3]$
Trong đó $\overrightarrow{u_{d}}=[2;1;3];\overrightarrow{n_{P}}=[1;-1;-1]$
$\Delta$ đi qua $A[1;1;-2]$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{\Delta}}=[2;5;-3]$ nên có phương trình
$\Delta : \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-3}$
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
$\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$
và mặt phẳng $P : x - y - z -1 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng
$d$ đi qua $M[2;1;0]$ , cắt và vuông góc với $\Delta$.
Lời giải :
$
\overrightarrow{u_{\Delta}}=[2;1; -1] $ . Gọi $H = d \cap \Delta$.
Do $H \in \Delta$ nên có thể giả
sử $H[1+ 2t;-1+ t;-t]\Rightarrow \overrightarrow{MH} = [2t -1;t -
2;-t]$.
$\overrightarrow{MH} \perp \overrightarrow{u_{\Delta}}
\Leftrightarrow 2[2t -1] + [ t- 2] - [-t ] = 0 \Leftrightarrow
t=\frac{2}{3} \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{d}} =
3\overrightarrow{MH} = [1;-4;-2]$
$\Rightarrow d : \begin{cases}x=2+t \\ y= 1-4t\\z=-2t\end{cases}$
Bài tập tương tự
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $[d]$ có phương trình:
$
\begin{cases}x = -t \\ y = -1+ 2t \\ z = 2 + t \end{cases} [ t \in
\mathbb{R} ]$ và mặt phẳng $[P]: 2x - y - 2z - 3 = 0 $.Viết phương trình
tham số của đường thẳng $\Delta$ nằm trên $[P]$, cắt và vuông góc với
$[d].$
Đáp số :
$\Delta: \begin{cases}x = 1+t \\ y =-3\\ z =1 + t \end{cases} [ t \in \mathbb{R} ]$.
Dạng II: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác.
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
$d : \frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{2}$
và
mặt phẳng $[P]: x + 3y + 2z + 2 = 0$. Lập phương trình đường thẳng
$\Delta$ song song với mặt phẳng $[P],$ đi qua $M[2; 2; 4]$ và cắt đường
thẳng $[d].$
Lời giải :
Đường thẳng $[d]$ có PT tham số : $\begin{cases}x=-1+3t \\ y=2-2t\\z=2+2t \end{cases}$.
Mặt phẳng $[P]$ có VTPT $\overrightarrow{n} = [1; 3; 2]$
Giả sử $N[-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t] \in d\Rightarrow \overrightarrow{MN}= [3t - 3;-2t;2t - 2]$
Để $MN \parallel [P] $ thì $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow 1.[-1+3t]+3.[2-2t]+2.[2+2t]=0\Leftrightarrow t = 7 \Rightarrow \overrightarrow{MN}= [18;-14;12]$
Do $\Delta \parallel MN$ nên chọn $\overrightarrow{u_{\Delta}}= [9;-7;6]$
Phương trình đường thẳng $\Delta : \frac{x-2}{9}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z-4}{6}$
Câu hỏi tương tự:
$d : \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}, [P] : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M[2;2;4].$ Đáp số :
$\Delta : \frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-3}{1}$
Dạng III: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác.
Ví dụ $1.$ Trong
không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua
điểm $M[-4;-5;3]$ và cắt cả hai đường thẳng: $d_1 :
\begin{cases}2x+3y+11=0 \\ y-2z+7=0 \end{cases}$ và $d_2 :
\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-5}$
Lời giải :
Viết
lại phương trình các đường thẳng: $d_1:\begin{cases}x=5-3t_1 \\
y=-7+2t_1 \\z=t_1\end{cases} [t_1 \in \mathbb{R}] ,
d_2:\begin{cases}x=2+2t_2 \\ y=-1+3t_2 \\z=1-5t_2\end{cases} [t_2
\in \mathbb{R}] $
Gọi $A = d \cap d_1,B = d \cap d_2\Rightarrow A[5 - 3t_1;-7 + 2t_1;t_1] , B[2 + 2t_2;-1+ 3t_2;1- 5t_2].$
$\overrightarrow{MA} = [-3t_1 + 9;2t_1 - 2;t_1 - 3], \overrightarrow{MB} = [2t_2 + 6;3t_2 + 4;-5t_2 - 2]$
$\left[
{\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}} \right] = [-13t_1t_2 - 8t_1
+13t_2 +16;-13t_1t_2 + 39t_2;-13t_1t_2 - 24t_1 + 31t_2 + 48]$
$M, A,
B$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$
cùng phương $\Leftrightarrow \left[
{\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}} \right] =\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow A[-1;-3;2],B[2;-1;1]\Rightarrow \overrightarrow{AB} = [3;2;-1]$
Đường thẳng $d$ qua $M[–4; –5; 3]$ và có VTCP $\overrightarrow{AB} = [3;2;-1]$
$\Rightarrow d:\begin{cases}x=-4-3t \\ y=-5+2t \\z=3-t\end{cases} [t \in \mathbb{R}] $
Câu hỏi tương tự:
$M[3;10;1]$, $d_1 :
\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+3}{2}$ và $d_2 :
\frac{x-3}{1}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z-1}{-1}$
Đáp số : $ d:\begin{cases}x=3+2t \\ y=10-10t \\z=1-2t\end{cases} [t \in \mathbb{R}] $
Dạng IV: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách.
Ví dụ $1.$ Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $[d]:
\begin{cases}x=2+4t \\ y=3+2t \\z=-3+t\end{cases}$ và mặt phẳng $[P]: -x
+ y + 2z + 5 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $[\Delta]$ nằm trong
$[P],$ song song với $[d]$ và cách $[d]$ một khoảng là $\sqrt{14}$ .
Lời giải :
Chọn $A[2;3; -3], B[6;5; -2] \in [d],$ mà thấy rằng $A, B \in [P]$ nên $[d] \subset [P] .$
Gọi
$\overrightarrow{u}$ là VTCP của $[ d_1] \subset [P]$, qua $A$ và vuông
góc với $[d]$ thì $\begin{cases}\overrightarrow{u} \perp
\overrightarrow{u_d} \\ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_P}
\end{cases}$
nên ta chọn $\overrightarrow{u} = [\overrightarrow{u_d} ,\overrightarrow{u_P} ] = [3;-9;6]$ .
Phương trình của đường thẳng $[ d_1] : \begin{cases}x=2+3t \\ y=3-9t \\z=-3+6t\end{cases}$
Lấy $M[2+3t; 3 -9t; -3+6t] \in [ d_1]$ . $[\Delta]$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $[d].$
Theo đề : $AM=\sqrt{14}\Leftrightarrow \sqrt{9t^2+81t^2+36t^2}=\sqrt{14}\Leftrightarrow 9t^2=1\Leftrightarrow t=\pm \frac{1}{3}$
Với $t= \frac{1}{3}\Rightarrow M[1;6;-5]\Rightarrow [\Delta] :\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{2}=\frac{z+5}{1}$
Với $t= -\frac{1}{3}\Rightarrow M[3;0;-1]\Rightarrow [\Delta] :\frac{x-3}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$
Ví dụ $2.$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
đường thẳng $[d]: \begin{cases}x=2+t \\ y=1-t \\z=1-3t\end{cases}$ và
mặt phẳng $[P]: x + y -z + 1= 0$ . Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và
$[P].$ Viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ nằm trong $[P]$, vuông
góc với $d$ sao cho khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ bằng $3 \sqrt 2$.
Lời giải :
$[P]$ có VTPT $ \overrightarrow{n_P}= [1;1;-1]$ và $d$ có VTCP $ \overrightarrow{u}= [1;-1;-3] . $
$I = d \cap [P]\Rightarrow I[x=2+t ; y=1-t ;z=1-3t] \in [P] \Rightarrow I[1;2;4]$
Vì $\Delta \subset [P]; \Delta \perp d \Rightarrow \Delta$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{u}]=[-4;2;-2]$
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\Delta \Rightarrow H \in mp[Q] $ qua $I$ và vuông góc $\Delta$
$\Rightarrow $ Phương trình $[Q]: -4[x -1] + 2[y - 2] -2[z - 4] = 0\Leftrightarrow -2x + y - z + 4 = 0$
Gọi
$d_1 = [P] \cap [Q]\Rightarrow d_1$ có VTCP
$\overrightarrow{u_{d_1}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}] =
[0;3;3] = 3[0;1;1]$ và $d_1$ qua $I\Rightarrow d_1 : \begin{cases}x=1
\\ y=2+t \\z=4+t\end{cases}$
Giả sử $H \in d_1\Rightarrow H[1;2 + t;4 + t] \Rightarrow\overrightarrow{IH} = [0;t;t]$
Ta có:
$IH=3\sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt{2t^2}=3\sqrt 2\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=3\\t=-3 \end{matrix}} \right.$
Với $t=3\Rightarrow H[1;5;7]\Rightarrow [\Delta] :\frac{x-1}{-2}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-7}{-1}$
Với $t= -3\Rightarrow M[1;-1;1]\Rightarrow [\Delta] :\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}$
Câu hỏi tương tự:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $[P]: 2x + y - 2z + 9 = 0$ và đường thẳng
$d : \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $[P]$ và cắt $d$ tại một điểm $M$ cách $[P]$ một khoảng bằng $2.$
Đáp số :
$\Delta : \begin{cases}x=-\frac{19}{11}+2t \\ y=-\frac{45}{11}+t \\z=\frac{41}{11}-2t\end{cases} [t \in \mathbb{R}]$
hoặc $ \Delta: \begin{cases}x=-\frac{7}{11}+2t \\ y=\frac{39}{11}+t \\z=\frac{29}{11}-2t\end{cases} [t \in \mathbb{R}] $
Phương trình đường thẳng...
Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng
Khoảng cách giữa 2 đường...
Góc giữa hai đường thẳng...
|