Viết lại đề cho nó dễ hiểu nhé: Cho $A \in {M_n}\left[ K \right]$ có:
\[\left| {{a_{ii}}} \right| > \sum\limits_{1 \leqslant j \ne i \leqslant n} {\left| {{a_{ij}}} \right|} \]
thì $A$ khả nghịch.
Ta chứng minh bằng phản chứng:
Ta giả sử $A$ không khả nghịch khi đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau đây có vô số nghiệm.
\[\left\{ \begin{gathered}
{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \cdots + {a_{1n}}{x_n} = 0 \\
{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \cdots + {a_{2n}}{x_n} = 0 \\
\cdots \\
{a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + \cdots + {a_{nn}}{x_n} = 0 \\
\end{gathered} \right.\]
Trong đó sẽ có không có nghiệm không tầm thường, giả sử nghiệm đó là: ${X_0}\left[ {x_1^0,x_2^0, \ldots ,x_n^0} \right]$ và đặt $\left| {x_i^0} \right| = \max \left\{ {\left| {x_1^0} \right|,\left| {x_2^0} \right|, \ldots ,\left| {x_n^0} \right|} \right\}$ khi đó:
Xét phương trình thứ $i$ của hệ trên ta sẽ có:
\begin{align*}
{a_{i1}}x_1^0 + {a_{i2}}x_2^0 + \cdots + {a_{in}}x_n^0 = 0 &\Leftrightarrow {a_{ii}}x_i^0 = - \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^n {{a_{ij}}x_j^0} \\
& \Rightarrow \left| {{a_{ii}}} \right|\left| {x_i^0} \right| \leqslant \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^n {\left| {{a_{ij}}} \right|\left| {x_j^0} \right|} \\
& \Leftrightarrow \left| {{a_{ii}}} \right| \leqslant \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^n {\left| {{a_{ij}}} \right|}
\end{align*}
Vô lý. Do đó $A$ khả nghịch.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
__________________
- Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị -