Luyện tập tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

 Bài giảng của thầy Mạnh Cương mang đến những kinh nghiệm quý báu trong thiết kế bài dạy và triển khai dạy học theo hình thức trực tuyến cho giáo viên trong tổ chuyên môn và đặc biệt là kinh nghiệm ôn tập cho học sinh lớp 9 thi vào lớp 10 THPT.

Tại mỗi điểm nằm trên đường tròn ta có thể kẻ ra một đường tiếp tuyến. Mỗi đường này có thể cắt nhau tại một điểm. Vậy tính chất hai đường tiếp tuyến cắt nhau có điều gì đáng chú ý? Làm sao để giải bài tập ứng dụng cho tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau?

1. Ôn tập lý thuyết về Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Sự giao nhau của hai tiếp tuyến tạo ra một số tính chất đặc biệt phục vụ bài toán chứng minh hình học. Trước tiên bạn cần nắm và hiểu rõ định lý khi hai tiếp tuyến giao nhau sau đó đánh giá trên các dạng đường tròn nhất định để kiểm chứng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn.

1.1. Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau

Trước tiên chúng ta cần có một đường tròn sau đó ngẫu nhiên lấy hai tiếp tuyến thuộc đường tròn đó.

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Từ hình vẽ ta có thể nhận xét một cách trực quan các điểm xuất hiện. Có thể nhìn thấy AO chia góc CAB thành hai góc có số đo tương đương. Theo dự đoán ta có thể nghĩ đến trường hợp AO chính là tia phân giác của góc CAB. Trước tiên hãy cùng xem những tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đã được ghi nhận:

Định lý phát biểu về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Những định lý trên bạn nên chứng minh để hiểu rõ hơn về chúng thay vì học thuộc. Hãy nhìn lên hình ảnh phía trên ta xét hai tam giác OAB và OAC. Với hai đường tiếp tuyến ta luôn xác định chúng vuông góc với đường thẳng kẻ từ tâm đến tiếp điểm. Vì vậy hai tam giác OAB và OAC là tam giác vuông.

Những tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau theo định lý phát biểu sẽ dựa vào chứng minh tam giác bằng nhau để làm rõ. Xét tam giác OAC và tam giác OAB ta có cạnh AC là cạnh chung nằm trên cả hai tam giác, OB và OC là bán kính đường tròn tâm O. Như vậy hai tam giác bằng nhau dạng cạnh huyền cạnh góc vuông.

Sử dụng tính chất đã học của hai tam giác bằng nhau ta có góc BAO và góc CAO bằng nhau. Từ đó chứng minh đường AO chính là đường phân giác của góc CAB. Tương tự AB = AC nên ta có thể kết luận rằng điểm A là giao điểm 2 tiếp tuyến đồng thời cũng cách đều hai tiếp điểm B, C.

Tính chất thứ ba chính là ra ra tia kẻ từ tâm tới giao hai tiếp tuyến là tia phân giác góc tạo bởi 2 bán kính. Ta cũng dựa tam giác bằng nhau đã chứng minh thấy được góc BOA và góc COA bằng nhau. Như vậy các tính chất đều đã được chứng minh làm rõ sau khi ta có tam giác OAC và tam giác OAB bằng nhau.

1.2. Đường tròn nội tiếp của tam giác

Một đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn nằm bên trong tam giác. Tuy nhiên mỗi cạnh của tam giác đều tiếp xúc với đường tròn. Lúc này ta có thể gọi tam giác có đường tròn nội tiếp là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
Để vẽ một đường tròn nội tiếp tam giác, ban đầu cần xác định điểm các đều các cạnh của tam giác. Đồng thời từ điểm đó kẻ các đường vuông góc xuống mỗi cạnh đều cho số đo cạnh là bằng nhau. Như vậy ta sẽ xét đến đường cao ,đường phân giác, đường trung tuyến và đường trung trực để thử nghiệm.

Xác định đường tròn nội tiếp trong tam giác

Sau khi lần lượt thử ta thu được hình vẽ như trên với đường phân giác. Đây là mô phỏng dự đoán chưa hoàn toàn thuyết phục. Vì thế cần tiến hành chứng minh khả năng tìm ra điểm cách đều 3 cạnh của tam giác khi tìm giao điểm của đường phân giác kẻ từ góc trong của mỗi đỉnh.

Lấy điểm I tâm đường tròn nội tiếp là trung tâm chứng minh. Trước tiên là điểm I sẽ lần lượt hạ đường cao xuống các cạnh tam giác y như hình vẽ. Sau đó đặt tên điểm giao nhau. Ta lần lượt xét các cặp tam giác ( AFI và AEI); ( BFI và BDI); ( CDI và CEI).

Lần lượt chứng minh các cặp tam giác đã xác định bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn trong tam giác vuông. Từ đó ta thấy được các cạnh IE, IF và ID đôi một bằng nhau. Có thể nói rằng IE = IF= ID. Như vậy điểm I là điểm cần tìm và cách đều 3 cạnh của tam giác ABC( điều cần chứng minh).

1.3. Đường tròn bàng tiếp tam giác

Ta cần tìm hiểu thêm một kiến thức khá mới đó là đường tròn bàng tiếp tam giác. Đây là đường tròn khá đặc biệt nó nằm ngoài tam giác chỉ tiếp xúc với 1 cạnh. Nhưng gọi là đường tròn bàng tiếp vì 2 cạnh còn lại khi kéo dài sẽ tạo ra đường thẳng tiếp tuyến với đường tròn.

Đường tròn bàng tiếp tam giác

Đường tròn bàng tiếp sẽ tiếp xúc 1 cạnh và 2 cạnh kéo dài. Vì thế ta vẫn tìm ra 3 đường phân giác giao nhau. Tuy nhiên sẽ có 1 đường xuất phát từ góc trong và 2 đường còn lại xuất phát từ góc ngoài của tam giác.

Như hình vẽ ở trên đường tròn tiếp xúc ở cạnh BC góc A đối diện cạnh BC nên sẽ lấy tia phân giác trong của góc A. Với hai góc còn lại ta tìm đường phân giác của góc ngoài. Sau khi kéo dài các tia phân giác tìm ra K chính là giao điểm của tia phân giác đó. Ta lại chứng minh để xác định K là tâm đường tròn bàng tiếp.

Lấy điểm K tâm đường tròn nội tiếp là trung tâm chứng minh. Trước tiên là điểm K sẽ lần lượt hạ đường cao xuống các cạnh tam giác y như hình vẽ. Sau đó đặt tên điểm giao nhau. Ta lần lượt xét các cặp tam giác ( AKE và AKF); ( BKF và BKD); ( CKD và CKE).

Lần lượt chứng minh các cặp tam giác đã xác định bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn trong tam giác vuông. Từ đó ta thấy được các cạnh KE, KF và KD đôi một bằng nhau. Có thể nói rằng KE = KF= KD. Như vậy điểm K là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC( điều cần chứng minh).

2.Bài tập sgk toán 9 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

2.1. Bài 26 trang 115

Bài 26 sgk toán 9 tập 1 trang 115

Bước đầu tiên ta sẽ vẽ hình sau đó phân tích định hướng cách giải bài tập. Hãy kết hợp giữa hình vẽ tạo ra cùng đề bài và câu hỏi để suy luận tìm hướng giải quyết.

Hình vẽ

Câu a: Đề bài yêu cầu chứng minh rằng OA vuông góc BC

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có A cách đều B và C. Như vậy tam giác ABC cân tại. A có AO là đường phân giác và đường cao cũng trùng phân giác trong giác cân. Do vậy AO vuông góc với BC.

Câu b:

Tam giác CBD nội tiếp đường tròn tâm O có cạnh huyền trùng với đường kính nên CBD là góc vuông. Ta có BD vuông góc với BC và AO vuông góc với BC. Theo định lý từ vuông góc đến song song chứng minh được AO song song với BD.

Câu c: sử dụng tính chất cạnh bằng nhau và định lý py ta go có tính tìm độ dài cạnh của tam giác ABC.

3. Một số bài tập sbt toán 9 tập 1

Tương tự như bài tập trong sách giáo khoa. Bạn chỉ cần ứng dụng các tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau là có thể giải được bài tập trong sách bài tập và sách nâng cao.

Kết luận

Trong một đường tròn, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau sẽ giúp chứng minh tam giác cân, góc bằng , cạnh bằng nhau…. Đây là định lý sử dụng khá phổ biến giúp giải nhiều bài toán hình học phức tạp. Hãy cùng tham khảo thêm các dạng toán thường gặp ở kienguru.vn.

Nếu bạn đang thắc mắc vấn đề gì truy cập ngay Kienguru.vn để lại SĐT và thắc mắc đang gặp sẽ có các chuyên gia có chuyên môn giải đáp chi tiết giúp bạn.