§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn A. Kiến thức cần nhỏ Một bất phương trình với ẩn X có dạng A[x] B[x], A[x] B[x]], trong đó vế trái A[x] và vế phái B[x] là hai biếu thức cúa cùng một biến X. Số X = a là nghiệm của bất phương trình A[x] < B[x] nếu khi thay X = a vào ta được một bất đẩng thức đúng. Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó. Giái bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. Biếu diễn tập nghiệm cứa bất phương trình trên trục số bằng cách - gạch bỏ các điểm không thuộc tập nghiệm. Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chứng có cùng một tập nghiệm. Ta dừng kí hiệu “ ” đê’ chí sự tương đương đó. B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Kiểm tra xem giá trị X = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau: -ịx-3>3; b]2x + 30; d]-2 + x 3 vì khi X = 3 ta có: 4X -3 = 4-3 = - 4 < 3; 2 2 2 2 Giá trị X = 3 không là nghiệm của bất phương trình 2x + 3 -5 ; 3 Giá trị x=3 là nghiệm của bất phương trình -Ị-x-l>0 vì khi x=3 ta có: 4 X -l = 4 .3-1 = — > 0; 4 4 4 Giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình -2 + x B[x] hoặc A[x] < B[x] hoặc A[x] ≤ B[x] hoặc A[x] ≥ B[x].
- Trong đó: A[x] gọi là vế trái; B[x] gọi là vế phải của bất phương trình.
- Nghiệm của bất phương trình là giá tri của ẩn thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.
* Ví dụ: a] Hãy cho biết vế trái, vế phải của bất phương trình x2 ≤ 6x –5.
b] Chứng tỏ các số 3; 4 và 5 đều là nghiệm, còn số 6 không phải là nghiệm của bất phương trình vừa nêu.
* Lời giải:
a] Vế trái: x2; Vế phải: 6x –5
b] Với x = 3, BPT trở thành 32 ≤ 6.3 –5 hay 9 ≤ 13 [Đúng]
Do đó x = 3 là nghiệm của bất phương trình.
+ Với x = 4, BPT trở thành: 42 ≤ 6.4 –5 hay 16 ≤ 19 [Đúng]
Do đó x = 4 là nghiệm của bất phương trình.
+ Với x = 5, BPT trở thành 52 ≤ 6.5 –5 hay 25 ≤ 25 [Đúng]
Do đó x = 5 là nghiệm của bất phương trình
+ Với x = 6 , BPT trở thành: 62 ≤ 6.6 –5 hay 36 ≤ 31 [Sai]
Do đó x = 6 không là nghiệm của bất phương trình.
2. Tập nghiệm của bất phương trình.
• Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.
* Ví dụ 1: Hãy cho biết vế trái [VT], vế phải [VP] và tập nghiệm của bất phương trình x > 3, bất phương trình 3 < x và phương trình x = 3.
* Lời giải:
- Bất phương trình x > 3 có VT = x; VP = 3
Nghiệm của bất phương trình x > 3 là tập hợp các số lớn hơn 3, {x|x > 3}
- Bất phương trình 3 < x có VT = 3; VP = x
Nghiệm của bất phương trình 3 < x là tập hợp các số lớn hơn 3, {x|x > 3}
- Phương trình x = 3 có VT = x; VP = 3
Nghiệm của phương trình x = 3 là 3.
* Ví dụ 2: Viết và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≥ -2 trên trục số.
* Lời giải:
- Tập nghiệm của bất phương trình x ≥ -2 là {x|x ≥ -2}
Biểu diễn trên trục số:
* Ví dụ 3: Viết và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x < 4 trên trục số.
* Lời giải:
- Tập nghiệm của bất phương trình x < 4 là {x|x < 4}
Biểu diễn trên trục số:
• Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm,
- Kí hiệu là: "⇔" đọc là tương đương.
* Ví dụ: 5 < x ⇔ x > 5
4. Bài tập về Bất phương trình một ẩn
* Bài 15 trang 43 SGK Toán 8 tập 2: Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:
a] 2x + 3 < 9; b] -4x > 2x + 5; c] 5 - x > 3x - 12
* Lời giải:
Thay x = 3 lần lượt vào từng vế của mỗi bất phương trình, ta được:
a] 2x + 3 = 2.3 + 3 = 9
Vậy x = 3 không là nghiệm của bất phương trình 2x + 3 < 9.
b] -4x = -4.3 = -12
2x + 5 = 2.3 + 5 = 11
-12 < 11 nên x = 3 không phải nghiệm của bất phương trình -4x > 2x + 5.
c] 5 – x = 5 – 3 = 2
3x – 12 = 3.3 – 12 = -3.
Vì 2 > -3 nên x = 3 là nghiệm của bất phương trình 5 – x > 3x – 12.
* Bài 16 trang 43 SGK Toán 8 tập 2: Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương trình sau:
a] x < 4 ; b] x ≤ -2
c] x > -3 ; d] x ≥ 1
* Lời giải:
a] Tập nghiệm của bất phương trình x < 4 là {x| x < 4}.
b] Tập nghiệm của bất phương trình x ≤ -2 là {x| x ≤ -2}
c] Tập nghiệm của bất phương trình x > -3 là {x | x > -3}
d] Tập nghiệm của bất phương trình x ≥ 1 là {x | x ≥ 1}
* Bài 17 trang 43 SGK Toán 8 tập 2: Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? [Chỉ nêu một bất phương trình].
* Lời giải:
a] Hình a biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≤ 6
b] Hình b biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 2
c] Hình c biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≥ 5
d] Hình d biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x < -1
* Bài 18 trang 43 SGK Toán 8 tập 2: Hãy lập bất phương trình cho bài toán sau:
Quãng đường từ A đến B dài 50km. Một ô tô đi từ A đến B, khởi hành lúc 7h. Hỏi ô tô phải đi với vận tốc bao nhiêu km/h để đến B trước 9 giờ cùng ngày?
* Lời giải:
Gọi x là vận tốc của ô tô [x > 0, km/h]
Thời gian ô tô đi từ A đến B là: 50/x [giờ].
Để ô tô đến trước 9h thì ô tô phải đi với thời gian ít hơn: 9 - 7 = 2h hay [50/x] 0]
⇔ 25 < x [chia cả hai vế cho 2].
Vậy để ô tô đến B trước 9 giờ thì ô tô phải chạy với vận tốc x thỏa mãn: x > 25.[km/h]
Tóm lại, với bài viết này các em đã có đủ kiến thức để trả lời câu hỏi bất phương trình một ẩn là gì? cách tìm tập nghiệm của bất phương trình và biểu diễn được trên trục số, hiểu được thế nào là bất phương trình tương đương.