Giải phương trình bằng phương pháp hạ bậc

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: Phương trình đối xứng [hay phương trình quy hồi]:

\[a{x^4} \pm b{x^3} \pm c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\,\,\left[ {k > 0} \right]\]

Với dạng này ta chia hai vế cho \[{x^2}\,\,\left[ {x \ne 0} \right]\] ta được:

\[a\left[ {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right] \pm b\left[ {x + \frac{k}{x}} \right] + c = 0\]

Đặt \[t = x + \frac{k}{x}\] với \[\left| t \right| \ge 2\sqrt k \] ta có : \[{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {\left[ {x + \frac{k}{x}} \right]^2} - 2k = {t^2} - 2k\], thay vào ta được phương trình : \[a\left[ {{t^2} - 2k} \right] \pm t + c = 0\]

Dạng 2 : Phương trình \[\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = e\]  trong đó \[a + b = c + d\]

Phương trình \[ \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + \left[ {a + b} \right]x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left[ {c + d} \right]x + cd} \right] = e\]

Đặt \[t = {x^2} + \left[ {a + b} \right]x\] ta có \[\left[ {t + ab} \right]\left[ {t + cd} \right] = e\]

Dạng 3: Phương trình \[\left[ {x + a} \right]\left[ {x + b} \right]\left[ {x + c} \right]\left[ {x + d} \right] = e{x^2}\], trong đó \[ab = cd\]. Với dạng nàu ta chia hai vế của phương trình cho \[{x^2}\,\,\left[ {x \ne 0} \right]\]. Phương trình tương đương:

\[\begin{array}{l}\left[ {{x^2} + \left[ {a + b} \right]x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left[ {c + d} \right]x + cd} \right] = {{\rm{?}}^2}\\ \Leftrightarrow \left[ {x + \frac{{ab}}{x} + a + b} \right]\left[ {x + \frac{{cd}}{x} + c + d} \right] = e\end{array}\]

Đặt \[t = x + \frac{{ab}}{x} = x + \frac{{cd}}{x}\]. Ta có phương trình \[\left[ {t + a + b} \right]\left[ {t + c + d} \right] = e\]

Dạng 4 : Phương trình \[{\left[ {x + a} \right]^4} + {\left[ {x + b} \right]^4} = c\]. Đặt \[x = t - \frac{{a + b}}{2}\] ta đưa về phương trình trùng phương.

Bài 1 : Giải các phương trình

\[\begin{array}{l}1]\,\,2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0\\2]\,\,{\left[ {x + 1} \right]^4} + {\left[ {x + 3} \right]^4} = 0\\3]\,\,x\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\left[ {x + 3} \right] = 24\\4]\,\,\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 4} \right]\left[ {x - 6} \right] + 6{x^2} = 0\end{array}\]

Lời giải 

1] Ta thấy \[x = 0\] không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho \[{x^2}\] ta được :

\[2\left[ {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right] - 5\left[ {x + \frac{1}{x}} \right] + 6 = 0\]. Đặt \[t = x + \frac{1}{x}\,\,\left[ {\left| t \right| \ge 2} \right] \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {\left[ {x + \frac{1}{x}} \right]^2} - 2 = {t^2} - 2\]

Có \[2\left[ {{t^2} - 2} \right] - 5t + 6 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Với \[t = 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]

2] Đặt \[x = t - 2\] ta được \[{\left[ {t - 1} \right]^4} + {\left[ {t + 1} \right]^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\]

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x =  - 2\].

Chú ý : Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác : Trước hết ta có bất đẳng thức :

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.