Giải bài tập phép dời hình và hai hình bằng nhau
|
§6. KHÁI NIỆM VÊ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU KHÁI NIỆM VỂ PHÉP DỜI HÌNH Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều có một tính chất chung là bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Người ta dùng tính chất đó để định nghĩa phép biến hình sau đây. ; Định nghĩa I Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa I hai điểm bất kì. Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N’ thì MN = M’N'. Nhận xét Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình. Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình. Vídụl Tam giác A'B"C" là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình (h.l.39a). Ngũ giác MNPQR là ảnh của ngũ giác M'N'P'Q'R' qua phép dời hình (h. 1.39b). Hình là ảnh của hình ctâ qua phép dời hình (h. 1.40). Hình 1.40 ^1 Cho hình vuông ABCD, gọi o là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, o qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm o góc 90° và phép đối xứng qua đường thẳng BD (h.1.41). y Ví du 2. Trong hình 1.42 tam giác DEF là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm B góc 90° và phép tịnh tiến theo vectơ V=ỠF = (2 ;-4). A C' c \ \ / \ 1 \ \ \ / A' \ \ B \ F \ / D E Hình 1.42 II. TÍNH CHẤT Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ; Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó ; Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó ; Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Hãy chứng minh tính chất 1. Gợi ý. Sử dụng tính chất điểm B nằm giữa hai điểm A và c khi và chỉ khi AB + BC = AC (h.1.43). Gọi A', B’ lần lượt là ảnh của Â, B qua phép dời hình F. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M' - F(M) là trung điểm của A’B'. Chú ý. a) Nến một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C (h.1.44). Hình 1.44 b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh. Ví dụ 3. Cho lục giác đều ABCDEF, o là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó (h.1.45). Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm ơ, góc 60° và phép tịnh tiến theo vectơ OE. giải Gọi phép dời hình đã cho là F. Chỉ cần xác định ảnh của các đỉnh của tam giác OAB qua phép dời hình F. Ta có phép quay tâm ơ, góc 60° biến o, A và B lần lượt thành o, B và c. Phép tịnh tiến theo vectơ OE biến o, B và c lần lượt thành E, 0 và D. Từ đó suy ra F(ơ) = E, F(A) = o, F(JỈ) = D. Vậy ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình F là tam giác EOD. k A D B H c Hình 1.46 ^4 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi £, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH (h.1.46). KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU ryí , 'JV Hình 1.47 Quan sát hình hai con gà trong tranh dân gian (h. 1.47), vì sao có thể nói hai hình & và bằng nhau ? Chúng ta đã biết phép dời hình biến một tam giác thành tam giác bằng nó. Người ta cũng chứng minh được rằng với hai tam giác bằng nhau luồn có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Vậy hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Người ta dùng tiêu chuẩn đó để định nghĩa hai hình bằng nhau. Định nghĩa I Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Ví dụ 4 a) Trên hình 1.48, hai hình thang ABCD và A"B"C"D" bằng nhàu vì có một phép dời hình biến hình thang ABCD thành hình thang A"B"C"D". Hình 1.48 b) Phép tịnh tiến theo vectơ V biến hình thành hình ẩS, phép quay tâm o góc 90° biến hình ỔCỈ thành hình Do đó phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ V và phép quay tâm o góc 90° biến hình e//' thành hình Từ đó suy ra hai hình và ^bằng nhau (h.1.49). Hình 1.49 ^5 Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau. BÀI TẬP Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm Â(-3 ; 2), B(-4 ; 5) và C(-l ; 3). Chứng minh rằng các điểm A'(2 ; 3), B'(5 ; 4) và C'(3 ; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và c qua phép quay tâm o góc —90°. Gọi tam giác Xj-SjCl là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm o góc -90° và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác AjfijCj. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, o, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau. Chứng minh rằng : Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C thì nó cũng biến trọng* tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của' tam giầc A'B'C'. Show Phép dời hình là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Để làm bài tập thì các em cần ghi nhớ khái niệm, tính chất và các phép dời hình. Cùng VUIHOC điểm lại toàn bộ kiến thức về phép dời hình qua bài viết sau đây.
Phép dời hình là bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì. Nghĩa là với 2 điểm M, N tùy ý ta có ảnh của chúng M′,N′ tương ứng thì M′N′ = MN. Ví dụ: Xét phương trình đường thẳng d: 3x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng của d với ảnh là d’ qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng với tâm I(1;2) và phép tịnh tiến có $\vec{v}$ = (-2;1). Giải: Gọi là phép dời hình bằng cách thực hiện tiếp phép đối xứng tâm I và phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$. Do d' song song hoặc trùng với ddo đó phương trình của d' có dạng: 3x+y+c=0. Lấy M(0;3)$\in $d ta có: $T_{\vec{v}}$(M’) = M’’(2+(-2); 7+1) => M’’(0;8) nên F(M) = M’’(0;8) Mà M’’$\in $d => 8 + c = 0 <=> c = -8 Vậy d’: 3x + y - 8=0  1.2. Nhận xétMột số nhận xét quan trọng về phép dời hình cần phải nắm được đó là:
1.3. Tính chất của phép dời hìnhKhi học về phép dời hình cần nắm được một số tính chất cơ bản sau đây:
2. Khái niệm về hai hình bằng nhauNếu một phép dời hình biến hình này thành hình kia thì hai hình đó bằng nhau. Ví dụ: Cho tam giác ABC và A’B’C’ có các đường cao AH và A’H’ sao cho AH = A’H’; AB = A’B’; AC = A’C’ và $\widehat{A},\widehat{A'}$ đều là góc tù. Chứng minh 2 tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau. Giải: Vì các góc $\widehat{A},\widehat{A'}$ là các góc tù $\widehat{B},\widehat{C};\widehat{B'};\widehat{C'}$ đều là góc nhọn. => H nằm giữa B và C và H’ nằm giữa B’ và C’ . Vì 2 tam giác đều vuông nên: ABH và A’B’H’ bằng nhau nên có phép dời hình F biến A; B; H lần lượt thành các điểm A’; B’; H’. Khi đó C biến thành C’. Như vậy, phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Do đó hai tam giác bằng nhau. 3. Các phép dời hình đã họcSau đây là các phép dời hình lớp 11 mà các em cần nắm được để áp dụng khi làm bài tập. 3.1. Phép tịnh tiếnĐịnh nghĩa: Trong mặt phẳng cho $\vec{v}=(a;b)$. Phép tịnh tiến theo $\vec{v}=(a;b)$ là phép biến hình và biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM'}=\vec{v}$ Ký hiệu: $T_{\vec{v}}(M)=M'$ hoặc $T_{\vec{v}}:(M)\rightarrow M'$ Tính chất:
Hệ quả: Phép tịnh tiến sẽ biến đường thẳng thành đường thẳng, biến 1 tia thành 1 tia, biến đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng bằng nó, biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó, biến 1 đường tròn thành 1 đường tròn có cùng bán kính, biến 1 góc thành 1 góc bằng nó. 3.2. Phép đối xứng trụcĐịnh nghĩa: Cho đường thẳng d, phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó và biến M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực MM’, được gọi là phép đối xứng qua d (hay là phép đối xứng trục). d được gọi là trục và phép đối xứng d ký hiệu $Đ_{d}$. Nhận xét: $Đ_{d}$(M) = M’ => $Đ_{d}$(M’) = M M$\in $d => $Đ_{d}$(M) = M Tính chất:
3.3. Phép đối xứng tâmĐịnh nghĩa: Ký hiệu phép đối xứng tâm: $Đ_{I}$ Trong đó:
Ta có $Đ_{I}$(M) = M <=> M’ <=> $\overrightarrow{IM'}=\overrightarrow{IM}$ Tính chất:
4. Một số bài tập về phép dời hình trong mặt phẳng từ cơ bản đến nâng cao và cách giảiVí dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy vectơ $\vec{v}$=(1; -3) và có đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 5 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$. Giải: Ta sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến. Lấy tùy ý điểm M(x;y) thuộc d, ta có phương trình 2x - 3y + 5 = 0 (*)
Ví dụ 2: Qua phép tịnh tiến theo $\vec{v}$ viết phương trình đường thẳng d. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay: d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với Tính chất của phép tịnh tiến cực hay $\vec{v}$=(-2;-1). Giải: Gọi $\vec{v}$(d) = d'. Khi đó d // d’ nên phương trình đường thẳng d có dạng: 2x + 3y + C = 0. Chọn A’(2;-1) ∈ d’. Khi đó: $\vec{v}$(A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d nên 8 + 0 + C = 0 ⇔ C = -8 Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0 Ví dụ 3: Tìm tọa độ vectơ $\vec{v}$ sao cho $T_{\vec{v}}$(d) = d' với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0 Giải: Ta có d’ là ảnh của d qua phép $T_{\vec{v}}$ khi đó d’ trùng hoặc song song với d. Nhận thấy d song song với d’ nên với mỗi điểm $A\in d; B\in d'$ ta có: $T_{\vec{v}}$(d) = d’ <=> $T_{\vec{v}}$(A) = B => $\vec{v}$ = $\overrightarrow{AB}$ Chọn A(0; 1) ∈ d và B(0; 7) ∈ d’ => $\vec{v}$ = (0; 8) Ví dụ 4: Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$ = (3; m). Tìm m để đường thẳng d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$. Giải: Từ đường thẳng d => Vectơ của d là $\vec{u}$ = (-6; 4) Để $T_{\vec{v}}$(d) = d <=> $\vec{v}$ cùng phương $\vec{u}$ <=> $\frac{3}{-6}=\frac{m}{4}$ <=> 12 = -6m <=> m = -2 Ví dụ 5: Mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 7x + y - 3 = 0. Qua phép đối xứng trục Oy, tìm ảnh của Δ. Giải: Qua phép đối xứng trục ta có biểu thức: x’ = -x => x = -x’ hoặc y’ = y => y = y’ Thay vào Δ, ta được 7(-x') + y' - 3 = 0 hay 7x' - y' + 3 = 0. => Ảnh của Δ là: Δ': 7x - y + 3 = 0 Trên đây là toàn bộ kiến thức lý thuyết và bài tập về phép dời hình. Hy vọng rằng qua bài viết này các em có thể tự tin khi làm bài tập phần này. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 12, truy cập trang web vuihoc.vn ngay nhé! |
