Đề bài - đề số 7 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12

Đề bài

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[M\left[ {2;1; - 2} \right];N\left[ {4; - 5;1} \right]\]. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. \[\sqrt {41} \] B. 7.

C. 49. D. \[\sqrt 7 \]

Câu 2: Họ các nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = {\left[ {2x + 3} \right]^5}\] là

A. \[F\left[ x \right] = 10{\left[ {2x + 3} \right]^4} + C.\]

B. \[F\left[ x \right] = 5{\left[ {2x + 3} \right]^4} + C.\]

C. \[F\left[ x \right] = \frac{{{{\left[ {2x + 3} \right]}^6}}}{{12}} + C.\]

D. \[F\left[ x \right] = \frac{{{{\left[ {2x + 3} \right]}^6}}}{6} + C.\]

Câu 3: Cho số phức \[z = 2 - i\]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, điểm biểu diễn của số phức \[\overline z \] có tọa độ là

A. \[\left[ {2; - 1} \right].\] B. \[\left[ {2;1} \right].\]

C. \[\left[ {1;2} \right].\] D. \[\left[ { - 2;1} \right].\]

Câu 4: Số phức z thỏa mãn \[2z - 3\left[ {1 + i} \right] = iz + 7 - 3i\] là

A. \[z = \frac{{14}}{5} + \frac{8}{5}i.\]

B. \[z = 4 - 2i.\]

C. \[z = 4 + 2i.\]

D. \[z = \frac{{14}}{5} - \frac{8}{5}i.\]

Câu 5: Cho hai hàm số \[f\left[ x \right];g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right]\] và các đường thẳng \[x = a,x = b\] bằng

A. \[\int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] + g\left[ x \right]} \right|dx} \]

B. \[\int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]

C. \[\int\limits_a^b {\left[ {f\left[ x \right] + g\left[ x \right]} \right]dx} \]

D. \[\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left[ x \right] + g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|.\]

Câu 6: Tích phân \[\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \] bằng:

A. \[\frac{{{e^2} + 1}}{2}\]

B. \[\frac{1}{2}\]

C. \[ - \frac{1}{2}\]

D. \[\frac{{{e^2} - 1}}{2}\]

Câu 7: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm \[I\left[ { - 1;1; - 2} \right]\] và đi qua điểm \[A\left[ {2;1;2} \right]\] là

A. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 25.\]

B. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 5.\]

C. \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 25.\]

D. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 25.\]

Câu 8: Tích phân \[\int\limits_0^1 {\left[ {3x + 1} \right]\left[ {x + 3} \right]dx} \] bằng

A. 6. B. 12.

C. 9. D. 5.

Câu 9: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - z + 1 = 0\] có một vecto pháp tuyến là

A. \[\overrightarrow n = \left[ {2; - 1;1} \right]\].

B. \[\overrightarrow n = \left[ {2;0; - 1} \right]\]

C. \[\overrightarrow n = \left[ {2;0;1} \right]\]

D. \[\overrightarrow n = \left[ {2;1; - 1} \right]\]

Câu 10: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {\left[ {x - 2} \right]^2} - 1\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 1;\] \[x = 2\] bằng

A. \[\frac{7}{3}.\] B. \[\frac{2}{3}.\]

C. \[\frac{3}{2}.\] D. \[\frac{1}{3}.\]

Câu 11: Biết rằng \[\left[ {2 + 3i} \right]a + \left[ {1 - 2i} \right]b = 4 + 13i\] với \[a,\,\,b\] là các số thực. Giá trị của \[a + b\] bằng

A. 1. B. 9.

C. 5. D. \[ - 3.\]

Câu 12: Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = 2x + 3\] và các đường thẳng \[y = 0,\] \[x = 0,\] \[x = m\] bằng 10 là

A. \[m = 5\] B. \[m = 1.\]

C. \[m = \frac{7}{2}.\] D. \[m = 2.\]

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left[ {1;3;5} \right]\] và \[B\left[ {1; - 1;1} \right]\]. Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. \[\left[ {2;2;6} \right]\]

B. \[\left[ {0; - 4; - 4} \right]\]

C. \[\left[ {0; - 2; - 2} \right]\]

D. \[\left[ {1;1;3} \right]\]

Câu 14: Hai số phức \[\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 7 }}{2}i\] và \[\frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{2}i\] là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. \[{z^2} - 3z - 4 = 0\]

B. \[{z^2} + 3z + 4 = 0\]

C. \[{z^2} - 3z + 4 = 0\]

D. \[{z^2} + 3z - 4 = 0\]

Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = \sin 2x\] là

A. \[F\left[ x \right] = - \frac{1}{2}\cos 2x + C.\]

B. \[F\left[ x \right] = - \cos 2x + C.\]

C. \[F\left[ x \right] = - 2\cos 2x + C.\]

D. \[F\left[ x \right] = \frac{1}{2}\cos 2x + C.\]

Câu 16: Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \[M\left[ {2;0; - 1} \right]\] và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow a = \left[ {2; - 3;1} \right]\] là

A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\]

B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = - 6\\z = 2 - t\end{array} \right.\]

C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 3t\\z = 2 - t\end{array} \right.\]

D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = - 6t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\]

Câu 17: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 2x\], trục hoành, đường thẳng \[x = 0;\] \[x = 1\] quanh trục hoành bằng

A. \[\frac{{2\pi }}{3}.\] B. \[\frac{{4\pi }}{3}.\]

C. \[\frac{{8\pi }}{{15}}.\] D. \[\frac{{16\pi }}{{15}}.\]

Câu 18: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục có đạo hàm trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right],\] \[f\left[ { - 1} \right] = 8;\] \[f\left[ 2 \right] = - 1\]. Tích phân \[\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left[ x \right]dx} \] bằng

A. \[ - 9\] B. 9.

C. 1. D. 7.

Câu 19: Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,x + 2y - 2z - 2 = 0\] và điểm \[I\left[ {1;2; - 3} \right]\]. Bán kính của mặt cầu có tâm \[I\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] bằng:

A. \[1\] B. \[\frac{{11}}{3}\]

C. \[3\] D. \[\frac{1}{3}\]

Câu 20: Trong không gian Oxyz, mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\] có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là

A. \[I\left[ { - 4;1;0} \right];\,\,R = 4.\]

B. \[I\left[ {8; - 2;0} \right];\,\,R = 2\sqrt 7 .\]

C. \[I\left[ {4; - 1;0} \right];\,\,R = 4.\]

D. \[I\left[ {4; - 1;0} \right];\,\,R = 16.\]

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho điểm \[I\left[ {1;2;0} \right]\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - 2y + z - 7 = 0\]. Gọi \[\left[ S \right]\] là mặt cầu có tâm I và cắt mặt phẳng \[\left[ P \right]\] theo giao tuyến là một đường tròn \[\left[ C \right]\]. Biết rằng hình tròn \[\left[ C \right]\] có diện tích bằng \[16\pi \]. Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có phương trình là

A. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 16.\]

B. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 7.\]

C. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 25.\]

D. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 9.\]

Câu 22: Tích phân \[\int\limits_0^1 {\left[ {x - 2} \right]{e^{2x}}dx} \] bằng

A. \[\frac{{5 - 3{e^2}}}{4}.\]

B. \[\frac{{5 - 3{e^2}}}{2}.\]

C. \[\frac{{5 + 3{e^2}}}{4}.\]

D. \[\frac{{ - 5 - 3{e^2}}}{4}.\]

Câu 23: Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = x\sin x\] là

A. \[F\left[ x \right] = x\cos x + \sin x + C.\]

B. \[F\left[ x \right] = x\cos x - \sin x + C.\]

C. \[F\left[ x \right] = - x\cos x - \sin x + C.\]

D. \[F\left[ x \right] = - x\cos x + \sin x + C.\]

Câu 24: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \[y = 4x - {x^2}\] và \[y = 2x\] bằng

A. \[\frac{{20}}{3}.\] B. \[\frac{{16}}{3}\]

C. 4. D. \[\frac{4}{3}\]

Câu 25: Cho \[\int {f\left[ x \right]dx = F\left[ x \right] + C} \]. Khi đó \[\int {f\left[ {2x - 3} \right]dx} \]

A. \[F\left[ {2x - 3} \right] + C.\]

B. \[\frac{1}{2}F\left[ {2x - 3} \right] + C.\]

C. \[\frac{1}{2}F\left[ {2x} \right] - 3 + C.\]

D. \[F\left[ {2x} \right] - 3 + C.\]

Câu 26: Gọi \[{z_1};\,\,{z_2}\] lần lượt là nghiệm của phương trình \[{z^2} - 2z + 5 = 0\]. Giá trị \[{\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\] bằng

A. 10. B. \[2\sqrt 5 \]

C. 2. D. 20.

Câu 27: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \[M\left[ {2; - 3;4} \right]\] và có vecto pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ { - 2;4;1} \right]\] là

A. \[2x - 4y - z - 12 = 0.\]

B. \[2x - 3y + 4z - 12 = 0\]

C. \[2x - 4y - z + 12 = 0\]

D. \[2x - 3y + 4z + 12 = 0\]

Câu 28: Phần ảo của số phức\[z = 2019 + {i^{2019}}\] bằng

A. 2019 B. -1

C. -2019 D. 1

Câu 29: Mô đun của số phức \[z = - 1 + i\] bằng

A. 2. B. 1.

C. 0. D. \[\sqrt 2 .\]

Câu 30: Tìm số phức z thỏa mãn \[\overline z = 2 - i\] là

A. \[z = 2 + i\].

B. \[z = 1 - 2i\]

C. \[z = - 2 - i\]

D. \[z = - 2 + i\]

Câu 31: Biết số phức thỏa mãn \[\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\] và \[\left| z \right|\] có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng

A. \[\frac{2}{5}.\] B. \[\frac{1}{5}.\]

C. \[ - \frac{2}{5}.\] D. \[ - \frac{1}{5}.\]

Câu 32: Biết \[F\left[ x \right] = - \frac{{\left[ {x - a} \right]{\rm{cos3}}x}}{b} + \frac{1}{c}\sin 3x + 2019\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = \left[ {x - 2} \right]\sin 3x,\]\[a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\] . Giá trị của \[ab + c\] bằng

A. 18. B. 14.

C. 15. D. 10.

Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \[\overrightarrow m = \left[ {4;3;1} \right]\] và \[\overrightarrow n = \left[ {0;0;1} \right]\]. Gọi \[\overrightarrow p \] là vecto cùng hướng với \[\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\] và \[\left| {\overrightarrow p } \right| = 15\]. Tìm tọa độ của \[\overrightarrow p \] là

A. \[\left[ { - 9;12;0} \right]\]

B. \[\left[ {9; - 12;0} \right]\]

C. \[\left[ {0;9; - 12} \right]\]

D. \[\left[ {0; - 9;12} \right]\]

Câu 34: Trong không gian Oxyz cho hình thang cân ABCD có đáy AB và CD. Biết \[A\left[ {3;1; - 2} \right],\] \[B\left[ { - 1;3;2} \right],\] \[C\left[ { - 6;3;6} \right];\] \[D\left[ {a;b;c} \right];\] \[a,b,c \in \mathbb{R}\]. Giá trị \[a + b + c\] bằng

A. \[ - 1\]. B. 1.

C. 3. D. \[ - 3.\]

Câu 35: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị hàm số \[y = f'\left[ x \right]\] như hình vẽ dưới. mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \[f\left[ 0 \right] > f\left[ 2 \right] > f\left[ { - 1} \right].\]

B. \[f\left[ 0 \right] > f\left[ { - 1} \right] > f\left[ 2 \right].\]

C. \[f\left[ 2 \right] > f\left[ 0 \right] > f\left[ { - 1} \right].\]

D. \[f\left[ { - 1} \right] > f\left[ 0 \right] > f\left[ 2 \right].\]

Câu 36: Cho số phức \[z = m - 2 + \left[ {{m^2} - 1} \right]i,\,\,m \in \mathbb{R}\]. Gọi \[\left[ C \right]\] là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[\left[ C \right]\] và trục hoành bằng

A. \[\frac{4}{3}.\] B. \[\frac{{32}}{3}.\]

C. \[\frac{8}{3}.\] D. 1.

Câu 37: Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong \[\left[ C \right]\] có phương trình \[y = \frac{1}{4}{x^2}\]. Gọi \[{S_1};\,\,{S_2}\] lần lượt là diện tích phần không bị gạch và phần bị gạch như hình bên dưới. Tỉ số \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\] bằng.

A. \[\frac{3}{2}.\] B. 3.

C. \[\frac{1}{2}.\] D. 2.

Câu 38: Biết tích phân \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \frac{{a\sqrt 3 + b}}{c}} \]\[;a,\,\,b,\,\,c\] là các số nguyên. Giá trị \[a + b + c\] bằng

A. \[ - 1.\] B. 12.

C. 7. D. 5.

Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\] với m là tham số; và đường thằng \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 3 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\]. Biết đường thẳng \[\Delta \] cắt mặt cầu \[\left[ S \right]\] tại hai điểm phân biệt A ,B sao cho \[AB = 8\]. Giá trị của m là

A. \[m = 12.\]

B. \[m = - 12.\]

C. \[m = - 10.\]

D. \[m = 5.\]

Câu 40: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người ta nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left[ t \right] = - 2t + 20\], trong đó t là thời gian [tính bằng giấy] kể từ lúc đạp phanh. Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng bằng

A. 125 m. B. 75 m.

C. 200 m. D. 100 m.

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - y + 2z + 1 = 0\] và hai điểm \[A\left[ {1;0; - 2} \right],\] \[B\left[ { - 1; - 1;3} \right]\]. Mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có phương trình là

A. \[3x + 14y + 4z - 5 = 0.\]

B. \[2x - y + 2z - 2 = 0.\]

C. \[2x - y + 2z + 2 = 0.\]

D. \[3x + 14y + 4z + 5 = 0.\]

Câu 42: Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục, có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\], \[f\left[ 2 \right] = 16\] và \[\int\limits_0^8 {f\left[ x \right]dx = 4} \]. Tích phân \[\int\limits_0^4 {xf'\left[ {\frac{x}{2}} \right]dx} \] bằng:

A. 112. B. 12.

C. 56. D. 144.

Câu 43: Biết rằng \[\int\limits_0^1 {x{e^{{x^2} + 2}}dx = \frac{a}{2}\left[ {{e^b} - {e^c}} \right]} \] với \[a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\]. Giá trị của \[a + b + c\] bằng

A. 4. B. 7.

C. 5. D. 6.

Câu 44: Biết rằng \[z = {m^2} - 3m + 3 + \left[ {m - 2} \right]i\] \[\left[ {m \in \mathbb{R}} \right]\] là một số thực. Giá trị của biểu thức \[1 + z + {z^2} + {z^3} + ... + {z^{2019}}\] bằng

A. 2019. B. 0.

C. 1. D. 2020.

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\] và điểm \[A\left[ {1;0; - 1} \right]\]. Gọi \[{d_2}\] là đường thẳng đi qua A và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {a;1;2} \right]\]. Giá trị của a sao cho đường thẳng \[{d_1}\] cắt đường thẳng \[{d_2}\] là

A. \[a = - 1.\]

B. \[a = 2.\]

C. \[a = 0.\]

D. \[a = 1.\]

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left[ {3;5; - 1} \right]\] và \[B\left[ {1;1;3} \right]\]. Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \[\left[ {Oxy} \right]\] sao cho \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\] nhỏ nhất là

A. \[M\left[ { - 2;3;0} \right].\]

B. \[M\left[ {2;3;0} \right].\]

C. \[M\left[ { - 2; - 3;0} \right].\]

D. \[M\left[ {2; - 3;0} \right].\]

Câu 47: Trong không gian Oxyz, biết mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]:x - 2y + 2z + 9 = 0\] tại điểm \[H\left[ {a;b;c} \right]\]. Giá trị tổng \[a + b + c\] bằng

A. 2. B. \[ - 1.\]

C. 1. D. \[ - 2.\]

Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:x - y + 2z - 6 = 0\]. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng \[\left[ P \right]\], cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là

A. \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{7} = \frac{{z - 5}}{3}.\]

B. \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{7} = \frac{{z + 1}}{3}.\]

C. \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{7} = \frac{{z - 1}}{3}.\]

D. \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{7} = \frac{{z + 5}}{3}.\]

Câu 49: Biết \[F\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = {x^2} + x\] và \[F\left[ 1 \right] = 1\]. Giá trị của \[F\left[ { - 1} \right]\] bằng

A. \[\frac{1}{3}.\] B. 1.

C. \[\frac{1}{2}.\] D. \[\frac{1}{6}.\]

Câu 50: Biết số phức z thỏa mãn điều kiện \[\frac{{5\left[ {\overline z + i} \right]}}{{z + 1}} = 2 - i\]. Mô đun số phức \[{\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\] bằng

A. 13. B. 2.

C. \[\sqrt {13} .\] D. \[\sqrt 2 \]

Lời giải chi tiết

Câu 1 [NB]

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng: \[MN = \] \[\sqrt {{{\left[ {{x_N} - {x_M}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_N} - {y_M}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_N} - {z_M}} \right]}^2}} \]

Cách giải:

\[MN = \sqrt {{{\left[ {4 - 2} \right]}^2} + {{\left[ { - 5 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {1 + 2} \right]}^2}} \]\[ = 7\]

Chọn B.

Câu 2 [TH]

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm số mũ: \[\int {{{\left[ {ax + b} \right]}^c}dx = \frac{1}{a}\frac{{{{\left[ {ax + b} \right]}^{c + 1}}}}{{c + 1}}} \]

Cách giải:

Ta có \[\int {{{\left[ {2x + 3} \right]}^5}dx = \frac{1}{2}.\frac{{{{\left[ {2x + 3} \right]}^6}}}{6} + C} \]\[ = \frac{{{{\left[ {2x + 3} \right]}^6}}}{{12}} + C\]

Chọn C.

Câu 3 [NB]

Phương pháp:

- Số phức liên hợp của số phức \[z = a + bi\] là \[\overline z = a - bi\].

- Điểm biểu diễn số phức \[\overline z = a - bi\] trong mặt phẳng tọa độ là \[M\left[ {a; - b} \right]\].

Cách giải:

Ta có: \[z = 2 - i \Rightarrow \overline z = 2 + i\]

\[ \Rightarrow \] Điểm biểu diễn của số phức \[\overline z \] trong mặt phẳng tọa độ là \[\left[ {2;1} \right].\]

Chọn B.

Câu 4 [TH]

Phương pháp:

Đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với \[z\] và tìm \[z\].

Cách giải:

\[\begin{array}{l}2z - 3\left[ {1 + i} \right] = iz + 7 - 3i\\ \Leftrightarrow \left[ {2 - i} \right]z = 7 - 3i + 3\left[ {1 + i} \right]\\ \Leftrightarrow \left[ {2 - i} \right]z = 10\\ \Leftrightarrow z = \frac{{10}}{{2 - i}} = 4 + 2i\end{array}\]

Chọn C.

Câu 5 [NB]

Phương pháp:

Cho hai hàm số \[f\left[ x \right];g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right]\] và các đường thẳng \[x = a,x = b\] bằng \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Cho hai hàm số \[f\left[ x \right];g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right]\] và các đường thẳng \[x = a,x = b\] bằng \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

Chọn B.

Câu 6 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tính phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].

Cách giải:

Ta có \[I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{{dx}}{x}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \ln x\end{array} \right.\]

Khi đó ta có:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,I = \left. {{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \\ \Leftrightarrow I = {\ln ^2}e - {\ln ^2}1 - I\\ \Leftrightarrow 2I = 1 \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}\end{array}\]

Chọn B.

Câu 7 [TH]

Phương pháp:

- Mặt cầu tâm \[I\] đi qua điểm \[A\] có bán kính \[R = IA\].

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

\[IA = \]\[\sqrt {{{\left[ {{x_A} - {x_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_A} - {y_I}} \right]}^2} + {{\left[ {{z_A} - {z_I}} \right]}^2}} \]

- Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R\] là: \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\].

Cách giải:

Ta có \[I\left[ { - 1;1; - 2} \right];A\left[ {2;1;2} \right]\] \[ \Rightarrow IA = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {4^2}} = 5\]

Vì mặt cầu tâm \[I\] đi qua điểm \[A\] có bán kính \[R = IA = 5\].

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 25.\]

Chọn A.

Câu 8 [NB]

Phương pháp:

- Nhân phá ngoặc biểu thức dưới dấu tích phân.

- Sử dụng nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left[ {n \ne - 1} \right]\].

Cách giải:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\int\limits_0^1 {\left[ {3x + 1} \right]\left[ {x + 3} \right]dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {3{x^2} + 10x + 3} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right]} \right|_0^1 = 9\end{array}\]

Chọn C.

Câu 9 [NB]

Phương pháp:

Mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\].

Cách giải:

Mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - z + 1 = 0\] có 1 vecto pháp tuyến là \[\left[ {2;0; - 1} \right].\]

Chọn B.

Câu 10 [TH]

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các nghiệm thuộc \[\left[ {1;2} \right]\].

- Cho hai hàm số \[f\left[ x \right];g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right]\] và các đường thẳng \[x = a,x = b\] bằng \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{\left[ {x - 2} \right]^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 = - 1\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {\left[ {x - 2} \right]^2} - 1\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 1,x = 2\] bằng: \[S = \int\limits_1^2 {\left| {{{\left[ {x - 2} \right]}^2} - 1} \right|dx} \]\[ = \int\limits_1^2 {\left[ { - {x^2} + 4x - 3} \right]dx} = \frac{2}{3}.\]

Chọn B.

Câu 11 [TH]

Phương pháp:

- Hai số phức bằng nhau \[{a_1} + {b_1}i = {a_2} + {b_2}i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\].

- Giải hệ phương trình tìm \[a,\,\,b\] sau đó tính tổng \[a + b\].

Cách giải:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left[ {2 + 3i} \right]a + \left[ {1 - 2i} \right]b = 4 + 13i\\ \Leftrightarrow \left[ {2a + b} \right] + \left[ {3a - 2b} \right]i = 4 + 13i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 4\\3a - 2b = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy \[a + b = 3 + \left[ { - 2} \right] = 1.\]

Chọn A.

Câu 12 [TH]

Phương pháp:

Cho hai hàm số \[f\left[ x \right];g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right]\] và các đường thẳng \[x = a,x = b\] bằng \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = 2x + 3\] và các đường thẳng \[y = 0,\] \[x = 0,\] \[x = m\] bằng là: \[S = \int\limits_0^m {\left| {2x + 3} \right|dx} \]\[ = \left| {\left. {\left[ {{x^2} + 3x} \right]} \right|_0^m} \right| = \left| {{m^2} + 3m} \right|.\]

Theo bài ra ta có: \[S = 10\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{m^2} + 3m} \right| = 10\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 3m = 10\\{m^2} + 3m = - 10\,\,\left[ {VN} \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 5\end{array} \right.\end{array}\]

Mà \[m\] là số nguyên dương. Vậy \[m = 2\].

Chọn D.

Câu 13 [NB]

Phương pháp:

Điểm \[I\] là trung điểm của \[AB\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\].

Cách giải:

Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\]\[ \Rightarrow I\left[ {\frac{{1 + 1}}{2};\frac{{3 + \left[ { - 1} \right]}}{2};\frac{{5 + 1}}{2}} \right]\]\[ \Rightarrow I\left[ {1;1;3} \right].\]

Chọn D.

Câu 14 [TH]

Phương pháp:

- Tính tổng \[S = {z_1} + {z_2}\] và tích \[P = {z_1}{z_2}\] của hai số phức.

- Khi đó \[{z_1},\,\,{z_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[{X^2} - SX + P = 0.\]

Cách giải:

Đặt \[{z_1} = \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 7 }}{2}i;{z_2} = \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{2}i\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = {z_1} + {z_2} = 3\\P = {z_1}.{z_2} = 4\end{array} \right..\]

Vậy \[{z_1};\,\,{z_2}\] là nghiệm của phương trình \[{z^2} - 3z + 4 = 0.\]

Chọn C.

Câu 15 [NB]

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm lượng giác: \[\int {\sin kxdx} = - \frac{1}{k}\cos kx + C\].

Cách giải:

\[\int {f\left[ x \right]dx = \int {\sin 2xdx} } \]\[ = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\]

Chọn A.

Câu 16 [NB]

Phương pháp:

Phương trình đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\].

Cách giải:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \[M\left[ {2;0; - 1} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow a = \left[ {2; - 3;1} \right]\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right..\]

Chọn A.

Câu 17 [NB]

Phương pháp:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], trục hoành, đường thẳng \[x = a;\] \[x = b\] quanh trục hoành bằng \[V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left[ x \right]dx} \].

Cách giải:

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 2x\], trục hoành, đường thẳng \[x = 0,\] \[x = 1\] quanh trục hoành là: \[V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {{x^2} - 2x} \right]}^2}dx} = \frac{{8\pi }}{{15}}.\]

Chọn C.

Câu 18 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng công thức tích phân Newton Leibniz: \[\int\limits_a^b {f'\left[ x \right]dx} = f\left[ b \right] - f\left[ a \right]\].

Cách giải:

\[\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left[ x \right]dx} = \left. {f\left[ x \right]} \right|_{ - 1}^2\]\[ = f\left[ 2 \right] - f\left[ { - 1} \right] = - 1 - 8 = - 9\]

Chọn A.

Câu 19 [TH]

Phương pháp:

- Bán kính của mặt cầu có tâm \[I\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] chính bằng khoảng cách từ \[I\] đến \[\left[ P \right]\].

- Khoảng cách từ \[I\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là: \[d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].

Cách giải:

Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]\] nên \[R = d\left[ {I;\left[ P \right]} \right].\]

Ta có \[d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.\left[ { - 3} \right] - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2}} }}\]\[ = \frac{9}{3} = 3\]

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là \[R = 3\].

Chọn C.

Câu 20 [TH]

Phương pháp:

Mặt cầu \[\left[ S \right]:\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \].

Cách giải:

Mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\] có tâm \[I\left[ {4; - 1;0} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{4^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} + {0^2} - 1} = 4.\]

Chọn A.

Câu 21 [TH]

Phương pháp:

- Tính khoảng cách từ I xuống : Khoảng cách từ \[I\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là: \[d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].

- Tính bán kính đường tròn giao tuyến \[r\], sử dụng công thức \[S = \pi {r^2}\].

- Áp dụng định lý Pytago để tính bán kính mặt cầu: \[{R^2} = {r^2} + {d^2}\].

- Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R\] là: \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\].

Cách giải:

Ta có \[I\left[ {1;2;0} \right];\] \[\left[ P \right]:2x - 2y + z - 7 = 0\]

\[ \Rightarrow d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {2.1 - 2.2 + 0 - 7} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3.\]

Đường tròn tâm A có \[S = 16\pi \]\[ \Rightarrow \pi .A{B^2} = 16\pi \Rightarrow AB = 4\]

Áp dụng định lý Pyatgo trong tam giác ABI có \[I{B^2} = I{A^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2}\]\[ \Rightarrow R = IB = 5\]

Mặt cầu tâm \[I\left[ {1;2;0} \right]\] bán kính \[R = 5\] có phương trình là: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {z^2} = 25.\]

Chọn C.

Câu 22 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].

Cách giải:

Gọi \[I = \int\limits_0^1 {\left[ {x - 2} \right]{e^{2x}}dx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x - 2\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right..\]

Khi đó ta có:

\[\begin{array}{l}I = \left. {\left[ {x - 2} \right]\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} \\\,\,\, = - \frac{1}{2}{e^2} + 1 - \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1\\\,\,\, = - \frac{1}{2}{e^2} + 1 - \frac{{{e^2}}}{4} + \frac{1}{4}\\\,\,\, = - \frac{3}{4}{e^2} + \frac{5}{4} = \frac{{5 - 3{e^2}}}{4}\end{array}\]

Chọn A.

Câu 23 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần: \[\int {udv} = uv - \int {vdu} + C\].

Cách giải:

Ta có \[\int {f\left[ x \right]dx = \int {x\sin x} dx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\]

Khi đó \[\int {f\left[ x \right] = - x\cos x + \int {\cos xdx} + C} \]\[ = - x\cos x + \sin x + C\]

Chọn D.

Câu 24 [TH]

Phương pháp:

- Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Cho hai hàm số \[f\left[ x \right];g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right]\] và các đường thẳng \[x = a,x = b\] bằng \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \[4x - {x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right..\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên là:

\[S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} \]\[ = \int\limits_0^2 {\left[ {2x - {x^2}} \right]dx} = \frac{4}{3}.\]

Chọn D.

Câu 25 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \[t = 2x - 3\].

Cách giải:

Đặt \[t = 2x - 3 \Rightarrow dt = 2xdx\].

Khi đó ta có: \[\int {f\left[ {2x - 3} \right]dx} = \frac{1}{2}\int {f\left[ t \right]dt} \].

Mà \[\int {f\left[ x \right]dx} = F\left[ x \right] + C\] nên \[\int {f\left[ t \right]dt} = F\left[ t \right] + C\]\[ = F\left[ {2x - 3} \right] + C\]

Vậy \[\int {f\left[ {2x - 3} \right]dx} = \frac{1}{2}F\left[ {2x - 3} \right] + C\].

Chọn B.

Câu 26 [TH]

Phương pháp:

Tìm nghiệm của phương trình rồi tìm tính.

Cách giải:

Ta có

\[\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i\\{z_2} = 1 - 2i\end{array} \right.\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = 5\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 10\end{array}\]

Chọn A.

Câu 27 [NB]

Phương pháp:

Mặt phẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTPT \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] có phương trình \[A\left[ {x - {x_0}} \right] + B\left[ {y - {y_0}} \right] + C\left[ {z - {z_0}} \right] = 0\].

Cách giải:

Mặt phẳng đi qua \[M\left[ {2; - 3;4} \right]\] và có vecto pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ { - 2;4;1} \right]\] có phương trình là

\[ - 2\left[ {x - 2} \right] + 4\left[ {y + 3} \right] + \left[ {z - 4} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0\]

Chọn A.

Câu 28 [TH]

Phương pháp:

Áp dụng \[{i^2} = - 1\].

Cách giải:

Ta có \[z = 2019 + {i^{2019}} = 2019 + i.{\left[ {{i^2}} \right]^{1009}}\]\[ = 2019 + i\left[ { - 1} \right] = 2019 - i\]

Vậy z có phần ảo bằng \[ - 1.\]

Chọn B.

Câu 29 [NB]

Phương pháp:

Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].

Cách giải:

Ta có \[z = - 1 + i\]\[ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left[ { - 1} \right]}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \]

Chọn D.

Câu 30 [NB]

Phương pháp:

Số phức \[z = a + bi\] có số phức liên hợp \[\overline z = a - bi\].

Cách giải:

Ta có \[\overline z = 2 - i \Rightarrow z = 2 + i.\]

Chọn A.

Câu 31 [VD]

Phương pháp:

- Đặt ẩn \[z = a + bi\], rút a theo b rồi tính.

- Tính \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \], thế \[a\] theo \[b\] và tìm GTNN bằng cách đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức.

Cách giải:

Đặt \[z = a + bi\,\,\left[ {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right]\]

Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {i\left[ {a + bi} \right] - 3} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left[ { - 3 - b} \right] + ai} \right| \\= \left| {\left[ {a - 2} \right] + \left[ {b - 1} \right]i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left[ {b + 3} \right]^2} + {a^2} \\= {\left[ {a - 2} \right]^2} + {\left[ {b - 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} \\= {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a = - 2b - 1\end{array}\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left[ {2b + 1} \right]}^2} + {b^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1} = \sqrt {5\left[ {{b^2} + \frac{4}{5}b} \right] + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left[ {{b^2} + 2.b.\frac{2}{5} + \frac{4}{{25}}} \right] - \frac{4}{5} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left[ {b + \frac{2}{5}} \right]}^2} + \frac{1}{5}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[b = - \frac{2}{5} \Rightarrow a = - \frac{1}{5}.\]

Vậy \[{\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a = - \frac{1}{5}\].

Chọn D.

Câu 32 [VD]

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần: \[\int {udv} = uv - \int {vdu} + C\].

- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b,\,\,c\].

Cách giải:

Ta có \[F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right]} = \int {\left[ {x - 2} \right]\sin 3x} \].

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x - 2\\dv = \sin 3xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \frac{1}{3}\cos 3x\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right]dx} \\ = - \frac{1}{3}\left[ {x - 2} \right]\cos 3x + \frac{1}{3}\int {\cos 3xdx} \\ = - \frac{{\left[ {x - 2} \right]\cos 3x}}{3} + \frac{1}{9}\sin 3x + C\end{array}\]

Mà \[F\left[ x \right] = - \frac{{\left[ {x - a} \right]\cos 3x}}{b} + \frac{1}{c}\sin 3x + 2019\]

Nên \[a = 2;\,\,b = 3;\,\,c = 9.\]

Vậy \[ab + c = 2.3 + 9 = 15.\]

Chọn C.

Câu 33 [VD]

Phương pháp:

- Tìm tích có hướng \[\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\].

- Vì \[\overrightarrow p \] cùng hướng với \[\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\] nên \[\overrightarrow p = k\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\] với \[k > 0\].

- Tìm \[\overrightarrow p \] và tính \[\left| {\overrightarrow p } \right|\], từ đó tìm được hằng số \[k\].

Cách giải:

Ta có \[\overrightarrow m = \left[ {4;3;1} \right];\,\,\overrightarrow n = \left[ {0;0;1} \right]\]\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right] = \left[ {3; - 4;0} \right].\]

Mà \[\overrightarrow p ;\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]\] cùng hường nên \[\overrightarrow p = \left[ {3k; - 4k;0} \right];\left[ {k > 0} \right]\]

Theo bài ra ta có: \[\left| {\overrightarrow p } \right| = 15\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left[ {3k} \right]}^2} + {{\left[ {4k} \right]}^2}} = 15\\ \Leftrightarrow \sqrt {25{k^2}} = 15\\ \Leftrightarrow 5k = 15\,\,\left[ {Do\,\,k > 0} \right]\\ \Leftrightarrow k = 3\end{array}\]

Vậy \[\overrightarrow p = \left[ {9; - 12;0} \right].\]

Chọn B.

Câu 34 [VD]

Phương pháp:

- Sử dụng tính chất hình thang cân: ABCD là hình thang cân nên \[\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\]

- \[\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} \] cùng hướng nên \[\overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {BA} \,\,\left[ {k > 0} \right]\], tham số hóa tọa độ điểm \[D\].

- Thay vào biểu thức \[AD = BC\] rồi tìm D.

- Loại trường hợp \[\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {BC} \] cùng phương.

Cách giải:

Vì \[ABCD\] là hình thang cân nên \[\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\]

Ta có: \[A\left[ {3;1; - 2} \right];\,\,\,B\left[ { - 1;3;2} \right];\]\[C\left[ { - 6;3;6} \right];\,\,\,D\left[ {a;b;c} \right]\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {BA} = \left[ {4; - 2; - 4} \right];\]\[\overrightarrow {CD} = \left[ {a + 6;b - 3;c - 6} \right]\]

Vì \[\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} \] cùng hướng nên \[\overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {BA} \,\,\left[ {k > 0} \right]\], khi đó ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + 6 = 4k\\b - 3 = - 2k\\c - 6 = - 4k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4k - 6\\b = - 2k + 3\\c = - 4k + 6\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow D\left[ {4k - 6; - 2k + 3; - 4k + 6} \right]\].

Vì \[ABCD\] là hình thang cân nên \[AD = BC \Leftrightarrow A{D^2} = B{C^2}\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {4k - 9} \right]^2} + {\left[ { - 2k + 2} \right]^2} + {\left[ { - 4k + 8} \right]^2}\\ = {\left[ { - 5} \right]^2} + {0^2} + {4^2}\\ \Leftrightarrow 36{k^2} - 144k + 108 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 3\\k = 1\end{array} \right.\,\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]

Với \[k = 3 \Rightarrow D\left[ {6; - 3; - 6} \right]\].

Khi đó ta có: \[\overrightarrow {AD} = \left[ {3; - 4; - 4} \right],\,\,\overrightarrow {BC} = \left[ { - 5;0;4} \right]\] không cùng phương [thỏa mãn].

Với \[k = 1 \Rightarrow D\left[ { - 2;1;2} \right]\].

Khi đó ta có: \[\overrightarrow {AD} = \left[ { - 5;0;4} \right],\,\,\overrightarrow {BC} = \left[ { - 5;0;4} \right]\] cùng phương [không thỏa mãn].

Vậy \[D\left[ {6; - 3; - 6} \right] \Rightarrow a + b + c = - 3.\]

Chọn D.

Câu 35 [VDC]

Phương pháp:

- Lập BBT của hàm số \[y = f\left[ x \right]\].

- So sánh \[f\left[ 0 \right]\] với \[f\left[ { - 1} \right],\,\,f\left[ 2 \right]\].

- Gọi \[{S_1}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f'\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = - 1,\,\,x = 0\] và trục hoành, \[{S_2}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f'\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = 0,\,\,x = 2\] và trục hoành.

- Giải bất phương trình \[{S_2} > {S_1}\].

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có \[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \[f\left[ 0 \right] > f\left[ { - 1} \right].\,\,f\left[ 0 \right] > f\left[ 2 \right]\].

Gọi \[{S_1}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f'\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = - 1,\,\,x = 0\] và trục hoành, ta có: \[{S_1} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {f'\left[ x \right]dx} \right|} = \int\limits_{ - 1}^0 {f'\left[ x \right]dx} \]\[ = f\left[ 0 \right] - f\left[ { - 1} \right] > 0\]

Gọi \[{S_2}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f'\left[ x \right]\], đường thẳng \[x = 0,\,\,x = 2\] và trục hoành, ta có:

\[\begin{array}{l}{S_2} = \int\limits_0^2 {\left| {f'\left[ x \right]dx} \right|} \\ = - \int\limits_0^2 {f'\left[ x \right]dx} \\ = - \left[ {f\left[ 2 \right] - f\left[ 0 \right]} \right]\\ = f\left[ 0 \right] - f\left[ 2 \right] > 0\end{array}\].

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy được:

\[\begin{array}{l}{S_2} > {S_1}\\ \Leftrightarrow f\left[ 0 \right] - f\left[ 2 \right] > f\left[ 0 \right] - f\left[ { - 1} \right]\\ \Leftrightarrow f\left[ 2 \right] < f\left[ { - 1} \right]\end{array}\].

Vậy \[f\left[ 0 \right] > f\left[ { - 1} \right] > f\left[ 2 \right]\].

Chọn B.

Câu 36 [VD]

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm \[M\] biểu diễn số phức \[z\].

- Tìm hàm số biểu thị mối liên hệ giữa tọa độ diểm \[M\] không phụ thuộc vào \[m\].

- Cho hai hàm số \[f\left[ x \right];g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right]\] và các đường thẳng \[x = a,x = b\] bằng \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Ta có điểm biểu diễn của số phức z là \[M\left[ {m - 2;{m^2} - 1} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 2\\y = {m^2} - 1\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow y + 1 = {\left[ {x + 2} \right]^2}\]\[ \Leftrightarrow y = {x^2} + 4x + 3\]

\[ \Rightarrow \left[ C \right]:\,\,y = {x^2} + 4x + 3\] là 1 parabol.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[y = {x^2} + 4x + 3\] với trục hoành là: \[{x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\end{array} \right.\]

Diện tích hình phẳng cần tìm là \[S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|dx} \]\[ = - \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left[ {{x^2} + 4x + 3} \right]} = \frac{4}{3}.\]

Chọn A.

Câu 37 [VD]

Phương pháp:

- \[{S_2}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{4}{x^2}\], trục hoành, đường thẳng \[x = 0\] và \[x = 4\].

- Cho hai hàm số \[f\left[ x \right];g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right]\] và các đường thẳng \[x = a,x = b\] bằng \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \].

- Tính \[{S_1} = {S_{OABC}} - {S_2}\].

- Tính tỉ số \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\].

Cách giải:

Ta thấy \[{S_2}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{4}{x^2}\], trục hoành, đường thẳng \[x = 0\] và \[x = 4\] nên \[{S_2} = \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}dx} = \frac{{16}}{3}.\]

Ta có: \[OABC\] là hình vuông cạnh \[4\] nên \[{S_{ABCO}} = {4^2} = 16\].

\[ \Rightarrow {S_1} = {S_{OABC}} - {S_2} = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}.\]

Vậy \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{32}}{3}:\frac{{16}}{3} = 2.\]

Chọn D.

Câu 38 [VD] Tích phân

Phương pháp:

- Biến đổi lượng giác: \[\frac{1}{{1 + \sin x}} = \frac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}}\]\[ = \frac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\]

- Tách thành 2 tích phân, sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \[\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C\] và phương pháp đổi biến.

- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b,\,\,c\] và tính tổng \[a + b + c\].

Cách giải:

Ta có \[\frac{1}{{1 + \sin x}} = \frac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}}\]\[ = \frac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\]

Khi đó:

\[\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left[ {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right]dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{6}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \\ \Leftrightarrow I = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - {I_1}\end{array}\]

Đặt \[t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\].

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\].

Khi đó \[{I_1} = - \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dt}}{{{t^2}}}} = \left. {\frac{1}{t}} \right|_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\]\[ = \frac{2}{{\sqrt 3 }} - 1 = \frac{{2\sqrt 3 - 3}}{3}\]

Vậy \[I = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{2\sqrt 3 - 3}}{3}\] \[ = \frac{{\sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 3}}{3} = \frac{{ - \sqrt 3 + 3}}{3}\]

Mà \[I = \frac{{a\sqrt 3 + b}}{c}\]\[ \Rightarrow a = - 1;\,\,b = 3;\,\,c = 3.\]

Vậy \[a + b + c\] \[ = - 1 + 3 + 3 = 5.\]

Chọn D.

Câu 39 [VD]

Phương pháp:

- Tìm bán kính của mặt cầu: Mặt cầu \[\left[ S \right]:\,\,{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\] có bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \].

- Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến đường thẳng \[\left[ \Delta \right]\] dựa vào định lí Pytago.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách từ \[I\] đến \[\Delta \] là: \[d\left[ {I;\left[ \Delta \right]} \right] = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\] với \[\overrightarrow u \] là 1 VTCP của đường thẳng \[\Delta \], \[M\] là điểm bất kì trên đường thẳng \[\Delta \].

- Giải phương trình tìm \[m\].

Cách giải:

Mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\] có tâm \[I\left[ { - 2;3;0} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {4 + 9 - m} = \sqrt {13 - m} \] với \[m \le 13\].

Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB \Rightarrow IO \bot AB\] và \[OA = OB = \frac{1}{2}AB = 4\].

Đường thẳng \[\left[ \Delta \right]\] có 1 vecto chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2;1;2} \right]\] và \[M\left[ {4;3;3} \right] \in \left[ \Delta \right]\] bất kì.

Ta có: \[\overrightarrow {IM} = \left[ {6;0;3} \right]\]\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right] = \left[ { - 3; - 6;6} \right].\]

\[ \Rightarrow d\left[ {I;\left[ \Delta \right]} \right] = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow n } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\]\[ = \frac{{\sqrt {9 + 36 + 36} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3 = IO\]

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[OAI\] ta có:

\[\begin{array}{l}I{A^2} = I{O^2} + O{A^2}\\ \Leftrightarrow 13 - m = 9 + 16\\ \Leftrightarrow m = - 12\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]

Chọn B.

Câu 40 [TH]

Phương pháp:

Áp dụng công thức \[s = \int {v\left[ t \right]dt} \].

Cách giải:

Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng là:

\[s = \int\limits_0^{15} {\left[ { - 2t + 20} \right]dt} \]\[ = \left. {\left[ { - {t^2} + 20t} \right]} \right|_0^{15} = 75.\]

Chọn B.

Câu 41 [TH]

Phương pháp:

- \[\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left[ Q \right]\\\left[ Q \right] \bot \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\] với \[\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}} \] lần lượt là 1 VTPT của \[\left[ P \right],\,\,\left[ Q \right]\].

- Mặt phẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] là \[A\left[ {x - {x_0}} \right] + B\left[ {y - {y_0}} \right] + C\left[ {z - {z_0}} \right] = 0\].

Cách giải:

Mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {2; - 1;2} \right]\].

Ta có: \[A\left[ {1;0; - 2} \right];B\left[ { - 1; - 1;3} \right]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left[ { - 2; - 1;5} \right].\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left[ { - 3; - 14; - 4} \right].\].

Gọi \[\overrightarrow {{n_Q}} \] là 1 VTPT của mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left[ Q \right]\\\left[ Q \right] \bot \left[ P \right]\end{array} \right. \]

\[\Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left[ { - 3; - 14; - 4} \right]\] là 1 VTPT của mặt phẳng \[\left[ Q \right]\].

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left[ Q \right]\] là:

\[ - 3\left[ {x - 1} \right] - 14\left[ {y - 0} \right] - 4\left[ {z + 2} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow 3x + 14y + 4z + 5 = 0\]

Chọn D.

Câu 42 [VD]

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \[\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \].

Cách giải:

Gọi \[I = \int\limits_0^4 {xf'\left[ {\frac{x}{2}} \right]dx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left[ {\frac{x}{2}} \right]dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = 2f\left[ {\frac{x}{2}} \right]\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {2xf\left[ {\frac{x}{2}} \right]} \right|_0^4 - 2\int\limits_0^4 {f\left[ {\frac{x}{2}} \right]dx} \\ \Leftrightarrow I = 8f\left[ 2 \right] - 4\int\limits_0^4 {f\left[ {\frac{x}{2}} \right]d\left[ {\frac{x}{2}} \right]} \\ \Leftrightarrow I = 8.16 - 4\int\limits_0^8 {f\left[ x \right]dx} \\ \Leftrightarrow I = 128 - 4.4 = 112.\end{array}\]

Chọn A.

Câu 43 [VD]

Phương pháp:

- Đổi biến \[t = {x^2} + 2\].

- Đồng nhất hệ số tìm \[a,\,\,b\].

Cách giải:

Đặt \[{x^2} + 2 = t \Rightarrow 2xdx = dt\]

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\].

Khi đó ta có:

\[\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {x{e^{{x^2} + 2}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_2^3 {{e^t}dt} \\I = \left. {\frac{1}{2}{e^t}} \right|_2^3 = \frac{1}{2}\left[ {{e^3} - {e^2}} \right]\end{array}\]

Mà \[I = \frac{a}{2}\left[ {{e^b} - {e^c}} \right]\]\[ \Rightarrow a = 1;\,\,\,b = 3;\,\,c = 2\]

Vậy \[a + b + c = 1 + 3 + 2 = 6.\]

Chọn D.

Câu 44 [VD]

Phương pháp:

- Số phức là một số thực khi nó có phần ảo bằng 0. Từ đó tìm \[m\] và suy ra số phức \[z\].

- Thay số phức \[z\] tìm được tính giá trị biểu thức đề bài yêu cầu.

Cách giải:

Vì \[z = {m^2} - 3m + 3 + \left[ {m - 2} \right]i\] là số thực nên \[m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2.\]

Suy ra \[z = {m^2} - 3m + 3 = 1.\]

Vậy \[1 + z + {z^2} + ... + {z^{2019}}\]\[ = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 2020\] [có 2020 số 1].

Chon D.

Câu 45 [TH]

Phương pháp:

Hai đường thẳng \[{d_1},\,\,{d_2}\] cắt nhau khi và chỉ khi \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AM} = 0\] với \[\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \] lần lượt là 1 VTCP của đường thẳng \[{d_1},\,\,{d_2}\], \[M\] là điểm bất kì thuộc đường thẳng \[{d_1}\].

Cách giải:

Đường thẳng \[{d_1}\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {1; - 2;1} \right]\] và đi qua điểm \[M\left[ {1;2;3} \right]\].

Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow u } \right] = \left[ { - 5;a - 2;1 + 2a} \right]\] và \[\overrightarrow {AM} = \left[ {0;2;4} \right]\].

Để \[{d_1},\,\,{d_2}\] cắt nhau thì \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AM} = 0\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 5.0 + \left[ {a - 2} \right].2 + \left[ {1 - 2a} \right].4 = 0\\ \Leftrightarrow 2a - 4 + 4 - 8a = 0\\ \Leftrightarrow a = 0.\end{array}\]

Chọn C.

Câu 46 [VD]

Phương pháp:

- Tìm điểm \[I\] sao cho \[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 0\]

- Phân tích và chứng minh \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \].

- Khi đó \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\] nhỏ nhất thì \[MI\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow M\] là hình chiếu của \[I\] trên \[\left[ {Oxy} \right]\].

Cách giải:

Ta tìm điểm I sao cho \[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 0\]\[ \Rightarrow I\] là trung điểm của \[AB\].

Ta có \[A\left[ {3;5; - 1} \right];B\left[ {1;1;3} \right] \Rightarrow I\left[ {2;3;1} \right].\]

Ta có: \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 2\overrightarrow {MI} \] \[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\].

Khi đó \[{\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\] là hình chiếu của \[I\] trên \[\left[ {Oxy} \right]\].

Mà \[I\left[ {2;3;1} \right] \Rightarrow M\left[ {2;3;0} \right]\].

Chọn B.

Câu 47 [VD]

Phương pháp:

- Mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]:x - 2y + 2z + 9 = 0\] tại điểm \[H\left[ {a;b;c} \right]\] nên \[H\] là hình chiếu của \[O\] lên \[\left[ P \right]\].

- Viết phương trình đường thẳng \[OH\] đi qua \[O\] và vuông góc với \[\left[ P \right]\].

- Tìm \[H = OH \cap \left[ P \right]\].

- Xác định \[a,\,\,b,\,\,c\] và tính tổng.

Cách giải:

Vì mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left[ P \right]:x - 2y + 2z + 9 = 0\] tại điểm \[H\left[ {a;b;c} \right]\] nên \[H\] là hình chiếu của \[O\] lên \[\left[ P \right]\].

\[ \Rightarrow OH \bot \left[ P \right]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {1; - 2;2} \right]\].

Phương trình đường thẳng \[OH\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2t\\z = 2t\end{array} \right.\].

Vì \[H \in OH \Rightarrow H\left[ {t; - 2t;2t} \right]\].

Lại có \[H \in \left[ P \right] \Rightarrow t - 2.\left[ { - 2t} \right] + 2.2t + 9 = 0\] \[ \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\].

\[ \Rightarrow H\left[ { - 1;2; - 2} \right]\].

\[ \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 2,\,\,c = - 2\]

Vậy \[a + b + c = - 1 + 2 + \left[ { - 2} \right] = - 1.\]

Chọn B.

Câu 48 [VD]

Phương pháp:

- Gọi \[H = d \cap \left[ P \right]\], khi đó \[H = d \cap d'\]. Xác định tọa độ điểm \[H\].

- \[\left\{ \begin{array}{l}d' \subset \left[ P \right]\\d \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\].

- Viết phương trình đường thẳng đi qua \[H\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] là \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\].

Cách giải:

Gọi \[H = d \cap \left[ P \right]\].

Vì \[H \in d \Rightarrow H\left[ {2t;3 + t;2 - 3t} \right].\]

Mà \[H \in \left[ P \right]\]\[ \Rightarrow 2t - \left[ {3 + t} \right] + 2\left[ {2 - 3t} \right] - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow - 5t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\]

\[ \Rightarrow H\left[ { - 2;2;5} \right]\]

Gọi đường thẳng cần tìm là \[d'\]. Vì \[d' \subset \left[ P \right]\] và \[d'\] cắt \[d\] nên \[H \in d'\] .

Gọi \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {2;1; - 3} \right]\] là 1 VTCP của \[d\], \[\overrightarrow n \left[ {1; - 1;2} \right]\] là 1 VTPT của \[\left[ P \right]\].

Ta lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}d' \subset \left[ P \right]\\d \bot d'\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left[ { - 1; - 7; - 3} \right]\] là 1 VTCP của đường thẳng \[d'\].

\[ \Rightarrow \left[ {1;7;3} \right]\] cũng là 1 VTCP của đường thẳng \[d'\].

Vậy phương trình đường thẳng \[d'\] cần tìm là: \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{7} = \frac{{z - 5}}{3}\].

Chọn A.

Câu 49 [TH]

Phương pháp:

- Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left[ {n \ne - 1} \right]\] để tìm \[F\left[ x \right].\]

- Sử dụng giả thiết \[F\left[ 1 \right] = 1\] để tìm hằng số \[C\].

- Suy ra hàm số \[F\left[ x \right]\] hoàn chỉnh và tính \[F\left[ { - 1} \right]\].

Cách giải:

Ta có \[F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right] = \int {\left[ {{x^2} + x} \right]dx} } \]\[ \Rightarrow F\left[ x \right] = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

Mà \[F\left[ 1 \right] = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + C = 1\]\[ \Leftrightarrow C = \frac{1}{6}.\]

\[ \Rightarrow F\left[ x \right] = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{6}.\]

Vậy \[F\left[ { - 1} \right] = - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.\]

Chọn A.

Câu 50 [VD]

Phương pháp:

- Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\].

- Thay vào biểu thức, nhân chéo sau đó tìm \[a,\,\,b\].

- Suy ra số phức \[z\] và tính \[{\rm{w}} = 1 + z + {z^2}\].

Cách giải:

Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\].

Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{5\left[ {\overline z + i} \right]}}{{z + 1}} = 2 - i\\ \Rightarrow \frac{{5\left[ {a - bi + i} \right]}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\\ \Leftrightarrow 5\left[ {a - \left[ {b - 1} \right]i} \right] \\= \left[ {a + 1 + bi} \right]\left[ {2 - i} \right]\\ \Leftrightarrow 5a - 5\left[ {b - 1} \right]i\\= 2\left[ {a + 1} \right] + b + \left[ {2b - a - 1} \right]i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a = 2a + 2 + b\\5 - 5b = 2b - a - 1\end{array} \right. \\\Rightarrow a = b = 1\\ \Rightarrow z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i\\ \Rightarrow {\rm{w}} = 1 + z + {z^2} = 1 + 1 + i + 2i \\= 2 + 3i\end{array}\]

Vậy \[\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} .\]

Chọn C.

Nguồn: Sưu tầm