Đánh giá lý thuyết hình học lớp 9

• I. Các dạng toán 9 nâng cao hình học
  • 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
    • Các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông
    • Một số tính chất của tỉ số lượng giác cần nắm vững
    • Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
  • 2. Đường tròn
    • 3 vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn
    • Các vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
    • Vị trí tương đối giữa 2 đường tròn
  • 3. Góc với đường tròn
    • Số đo của cung
    • So sánh độ lớn 2 cung
    • Lý thuyết về mối liên hệ giữa cung và dây
    • Góc nội tiếp
    • Hệ quả
    • Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
    • Lý thuyết về độ dài đường tròn và cung tròn
  • 4. Hình trụ – Hình nón – Hình cầu
    • 4.1. Hình trụ
    • 4.2. Hình nón
    • 4.3. Hình cầu
• II. Một số bài tập cụ thể và lời giải
  • Bài tập 1
  • Bài tập 2
  • Bài tập 3
• Kết luận

Nội dung chương trình học lớp 9 chiếm tỉ lệ lớn trong bài thi tuyển sinh vào lớp 10. Vì vậy, học tốt và nắm vững kiến thức trọng tâm sẽ giúp bạn đọc đạt được điểm số cao hơn. Trong bài viết ngày hôm nay, Kiến Guru sẽ tổng hợp tất tần tật kiến thức toán hình 9 nâng cao và gợi ý giải một số bài tập điển hình dùng làm tài liệu tham khảo trong quá trình học tập, nghiên cứu môn học này.

Mời các bạn cùng theo dõi!

Kiến Guru hướng dẫn ôn tập toán 9 nâng cao hình học

I. Các dạng toán 9 nâng cao hình học

Phần toán hình 9 nâng cao thường xuất hiện ở những câu cuối trong bài thi tuyển sinh, là tiêu chuẩn để phân loại năng lực của học sinh. Tổng hợp lý thuyết và phương pháp giải các bài tập toán 9 nâng cao hình học điển hình một cách ngắn gọn, đầy đủ nhất là tài liệu tham khảo, hỗ trợ bạn đọc trên hành trình chinh phục điểm số tối đa môn Toán. Mời các bạn cùng theo dõi!

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông là nội dung quan trọng chương trình toán hình 9 nâng cao, cùng chúng mình điểm lại những công thức cơ bản về cạnh – đường cao qua bài toán dưới đây nhé!

Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và ký hiệu độ dài các cạnh như hình vẽ. Khi đó, ta có các hệ thức về cạnh và đường cao như sau:

Bên cạnh lý thuyết về cạnh – đường cao trong tam giác vuông, các công thức tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn cũng xuất hiện nhiều trong các bài kiểm tra, đánh giá toán hình 9 nâng cao. Mời các bạn cùng chúng mình hệ thống những công thức cần nhớ nhé!

Các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

• sin ∝ = cạnh đối/ cạnh huyền
• cos ∝ = cạnh kề/ cạnh huyền
• tan ∝ = cạnh đối/ cạnh kề
• cot ∝ = cạnh kề/ cạnh đối
• tan ∝ = sin ∝ / cos ∝
• cot ∝ = cos ∝/ sin ∝

Một số tính chất của tỉ số lượng giác cần nắm vững

1. Với ∝ và β là hai góc phụ nhau [Tổng 2 góc cộng lại bằng 90 độ, hoặc là 2 góc trong 1 tam giác vuông], thì khi đó ta có:

• sin ∝ = cos β và sin β = cos ∝
• tan ∝ = cot β và tan β = cot ∝

1. Cho ∝ là góc nhọn [∝ < 900], ta có các tính chất sau:

• Sin ∝ và cos ∝ luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1, hay: 0 < sin ∝ < 1 và 0 < cos ∝ < 1.
• Tan ∝ và cot ∝ luôn là số dương, hay tan ∝ > 0 và cot ∝ >0.
• Tổng bình phương của sin ∝ và cos ∝ luôn bằng 1.
• Tích của tan ∝ và cot ∝ bằng 1 với mọi giá trị ∝.

Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Cần nắm rõ công thức liên hệ giữa cạnh và góc nhọn sau trong quá trình giải bài tập toán hình 9 nâng cao:

• b = a. sin B = a. cos C = c. tan B = c. cot C
• c = a. sin C = a. cos B= b. tan C= b. cot C

Trong chương trình toán hình 9 nâng cao, lý thuyết và bài tập vận dụng đường tròn cũng chiếm vai trò quan trọng. Trước khi đi vào giải các bài tập liên quan đến chủ đề này, bạn đọc hãy cùng Kiến Guru điểm lại những kiến thức cần nắm rõ nhé!

2. Đường tròn

Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta vẽ được 1 và chỉ 1 đường tròn. Đường tròn tâm O bán kính R được định nghĩa là hình gồm các điểm cách đều tâm O một khoảng bằng bán kính R.

3 vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn

Giả sử: với điểm M và đường tròn tâm O bán kính R, ta xác định được các vị trí tương đối giữa điểm M và đường tròn như sau:

• OM = R → M thuộc đường tròn tâm O, bán kính R.
• OM < R → M là điểm nằm trong đường tròn tâm O, bán kính R.
• OM > R → Điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính R.

Các vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn khi đường thẳng ấy tiếp xúc với đường tròn [cắt đường tròn tại 1 điểm], và điểm tiếp xúc ấy được gọi là tiếp điểm.

Để nhận biết một đường thẳng có phải là tiếp tuyến của 1 đường tròn không, ta áp dụng dấu hiệu sau: Nếu như có 1 đường thẳng đi qua 1 điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính của đường tròn tại giao điểm đó thì nó được gọi là tiếp tuyến của đường tròn.

Vị trí tương đối giữa 2 đường tròn

3. Góc với đường tròn

Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Số đo của cung

Số đo của cung nhỏ bằng số đi của góc ở tâm chắn cung đó, trong khi số đo

của cung lớn bằng hiệu giữa 360 độ và cung nhỏ có chung 2 đầu mút đối với cung lớn. Cả đường tròn có và 1 nửa đường tròn có số đo lần lượt là 360 và 180 độ. Trong trường hợp 2 đầu mút của cung là trùng nhau, thì số đo cung đó là 0 độ.

So sánh độ lớn 2 cung

• 2 cung có số đo bằng nhau thì được gọi là 2 cung bằng nhau.
• Trong 2 cung, cung nào có số đo lớn hơn thì lớn hơn.
• Nếu B là 1 điểm nằm trên cung AC thì số đo cung AC = số đo cung AB + số đo cung BC.

Lý thuyết về mối liên hệ giữa cung và dây

• Với 2 cung nhỏ trong 1 đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau thì cung lớn hơn căng dây lớn hơn và dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
• Hai cung bị chắn bởi 2 dây song song trong cùng 1 đường tròn thì bằng nhau.
• Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Góc nội tiếp

• Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
• Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn.

Hệ quả

Trong một đường tròn:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
• Góc nội tiếp [nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ] có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Cho đường tròn tâm [O] có Ax là tia tiếp tuyến tại tiếp điểm A và dây cung AB. Khi đó, góc BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung/

Tính chất:

• Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
• Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Lý thuyết về độ dài đường tròn và cung tròn

Tính chu vi [độ dài] đường tròn:

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Chu vi của đường tròn là:

Hệ thống kiến thức về diện tích cung tròn, quạt tròn:

Trên đây là tổng hợp kiến thức chương 3 – góc với đường tròn toán hình 9 nâng cao. Tiếp theo mời bạn đọc cùng Kiến Guru ôn tập các dạng toán 9 nâng cao hình học chương 4 – Hình trụ, hình nón, hình cầu.

4. Hình trụ – Hình nón – Hình cầu

4.1. Hình trụ

Các công thức tổng hợp về hình trụ:

4.2. Hình nón

Cần nắm rõ các công thức tổng hợp về hình nón

4.3. Hình cầu

Khái niệm hình cầu là gì?

Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định ta thu được một hình cầu. Trong đó, nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu. Điểm O gọi là tâm, R là bán kính của hình cầu [mặt cầu] đó.

Các công thức liên quan đến tính toán các yếu tố của hình cầu [mặt cầu]

II. Một số bài tập cụ thể và lời giải

Vừa rồi, Kiến Guru đã chia sẻ đến bạn tổng hợp đầy đủ, chi tiết nhất lý thuyết toán hình 9 nâng cao, để vận dụng những kiến thức vừa được ôn luyện vào quá trình giải bài tập, sau đây mời bạn đọc cùng tham khảo những bài toán điển hình có đáp án. Hy vọng với những ví dụ minh họa mẫu này, các bạn sẽ nắm được quy trình làm bài, từ đó vận dụng vào những bài tập sau này.

Caption: Hướng dẫn giải bài tập toán hình 9 nâng cao

Bài tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm. AH là đường cao, hãy xác định độ dài BH, CH, AH, AC.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Áp dụng các công thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

Bài tập 2

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CH. Chứng minh rằng:

MD ⊥ BE

Hướng dẫn giải

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta có:

Trong tam giác AED vuông tại E có EM là trung tuyến

⇒ MB = ME = AB/2

Trong tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến

⇒ BD = DE = BC/2

Từ đó suy ra: MD là đường trung trực của BE, do đó MD ⊥ BE

Bài tập 3

Từ 1 giờ đến 3 giờ kim giờ quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ?

Hướng dẫn giải

Sử dụng tính chất: Góc ở có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Vì trên đồng hồ có 12 chữ số nên mặt đồng hồ được chia thành 12 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn tương ứng với góc ở tâm bằng 30 độ.

Từ 1 giờ đến 3 giờ kim giờ quay được 1 góc ở tâm bằng 60 độ.

Kết luận

Như vậy, Kiến Guru đã tổng hợp các nội dung lý thuyết toán hình 9 nâng cao và hướng dẫn giải chi tiết 1 số bài tập minh họa. Bạn đọc có thể tham khảo bài viết này để ôn tập, tự luyện kiến thức chuẩn bị cho các kì thi đánh giá sắp tới.

Ngoài ra, chúng mình còn chọn lọc, biên soạn rất nhiều tài liệu hỗ trợ toán 9 nâng cao hình học phục vụ các bạn học sinh.

Kiến Guru chúc các bạn có thành tích cao trong học tập và giành được điểm số tối đa trong các kỳ thi.