Dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong vector

Ba điểm A, B, C được gọi là thẳng hàng nếu chúng cùng nằm trên một đường thẳng hay có một đường thẳng đi qua 3 điểm này. Từ cơ sở này chúng ta sẽ đưa bài toán trên về việc chứng minh 2 vectơ cùng phương.

Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Cho 3 điểm A, B, C 3 điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ $ \displaystyle \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ hoặc $ \displaystyle \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC}$ hoặc $ \displaystyle \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{BC}$ … với k là hệ số bất kì. Các em nên xem qua ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn về phương pháp.

Bài tập ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ

Tin tức - Tags: vectơ

• 50 câu trắc nghiệm lượng giác lớp 10 có đáp án

• ### Cách giải phương trình bậc 4 dạng tổng quát
• ### Phương pháp giải dạng toán: Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
• ### Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến và cách giải
• ### 5 bí quyết làm bài thi môn Ngữ Văn đạt điểm cao
• ### Phương pháp viết bài văn miêu tả lớp 6
• ### Các kĩ năng cần thiết để viết bài tập làm văn hay

+ Để chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ cùng phương, tức là tồn tại số thực $k$ sao cho: $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .$

+ Để chứng minh đường thẳng $AB$ đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm $A$, $B$, $H$ thẳng hàng với $H$ là một điểm cố định.

2. Ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt $A$, $B.$ Chứng minh rằng $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi có hai số thực $\alpha $, $\beta $ có tổng bằng $1$ sao cho: $\overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + \beta \overrightarrow {OB} .$

Nếu $A$, $B$, $M$ thẳng hàng $ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {OQ} + \overrightarrow {ON} $ $ = [k + 1][\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {OR} ]$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {O{O_2}} = [k + 1]\overrightarrow {O{O_1}} .$

Lên lớp 10 các em được học các quy tắc về vectơ, và vectơ tỏ ra khá hữu dụng để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

Trong vectơ, 3 điểm

thẳng hàng ⇔

kR.

Sử dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Chứng minh:

kR bằng cách

– Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.

– Xác định vectơ

và thông qua các tổ hợp trung gian.

* Chú ý:

– Cho ba điểm

. Điều kiện cần và đủ để thẳng hàng là:

–

Với điểm

tùy ý và số thực bất kì.

Đặc biệt khi

thì thuộc đoạn .

Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài toán 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số

. Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Giải

Ta có:

[1]

Theo giả thiết, ta suy ra:

Từ đây ta có:

[2]

Từ [1] và [2] suy ra:

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Bài toán 2: Cho

ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

Giải

Ta có:

[1]

Gọi E là trung điểm BC và

là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

là hình bình hành

, E, H thẳng hàng

Ta có:

[2]

Từ [1] và [2] suy ra:

thẳng hàng.

Bài toán 3: Cho ba dây cung song song

của đường tròn [O]. Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác nằm trên một đường thẳng.

Giải

Gọi

lần lượt là trực tâm của các tam giác

Ta có:

Suy ra:

Vì các dây cung

song song với nhau

Nên ba vectơ

có cùng phương

Do đó hai vectơ

cùng phương hay ba điểm thẳng hàng.

Bài tập

Bài 1: Cho

ABC. Đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.

Bài 2: Cho

ABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn [O] theo thứ tự là . Chứng minh trực tâm của ba tam giác thẳng hàng.

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF.

Bài 4: Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.