Lý thuyết: Phương trình bậc nhất hai ẩn
- Xem
- Lịch sử chỉnh sửa
- Bản đồ
- Files
Phương trình bậc nhất hai ẩn
Mục lục
1. Định nghĩa [edit]
2. Nghiệm [edit]
3. Tập nghiệm [edit]
4. Các phép biến đổi [edit]
5. Cách giải [edit]
6. Khoảng cách từ đường thẳng đến gốc tọa độ [edit]
Định nghĩa [edit]
Phương trình bậc nhất hai ẩn \[x\] và \[y\] là hệ thức có dạng
\[ax+by=c\]
trong đó \[a,\ b\] và \[c\] là các số đã biết \[[a \neq 0\] hoặc \[b \neq 0]\], \[x\] và \[y\] là ẩn.
Ví dụ 1:
1] \[3x+y=2\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x\] và \[y\] với \[a=3,\ b=1\] và \[c=2\].
2] \[5x+0y=8\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x\] và \[y\] với \[a=5,\ b=0\] và \[c=8\].
3] \[-x^2+y=4\] không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn \[x\] có bậc \[2\].
Nghiệm [edit]
Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là các cặp giá trị \[[x_1; y_1],\ [x_2; y_2],\ \dots \] của hai ẩn số \[x\] và \[y\] thỏa mãn tính chất: khi thay vào phương trình thì giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế của phương trình bằng nhau.
Cặp \[[x_1; y_1]\] là một nghiệm của phương trình \[ax+by=c\] khi và chỉ khi \[ax_1+by_1=c.\]
Khi đó ta viết phương trình đã cho có nghiệm là \[[x; y]=[x_1; y_1].\]
Ví dụ 2:
1] Cặp số \[[2; -1]\] là nghiệm của phương trình \[x+3y=-1\] \[[1]\]
Thay \[x=2,\ y=-1\] vào biểu thức ở vế trái \[VT=x+3y\], ta được:
\[VT=2+3.[-1]=-1\].
Mà vế phải \[VP=-1\].
Suy ra \[VT=VP\].
Vậy \[[2; -1]\] là nghiệm của phương trình \[[1]\]. \[\square\]
2] Cặp số \[[5; -2]\] cũng là nghiệm của phương trình \[[1]\].
Thay \[x=5,\ y=-2\] vào biểu thức ở vế trái \[x+3y\], ta được:
\[VT=5+3.[-2]=-1\].
Mà vế phải \[VP=-1\].
Suy ra \[VT=VP\].
Vậy \[[5; -2]\] cũng là nghiệm của phương trình \[[1]\]. \[\square\]
Tập nghiệm [edit]
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là tập tất cả các nghiệm của phương trình.
Hai phương trình tương đương
Hai phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm [hoặc có tập nghiệm giống nhau].
Chú ý:
- Khi viết \[[x_1; y_1]\] là nghiệm của phương trình ta luôn hiểu rằng \[x=x_1\] và \[y=y_1\].
- Mỗi nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm \[[x_1; y_1]\] được biểu diễn bởi điểm có tọa độ là \[[x_1; y_1]\].
- Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.
Các phép biến đổi [edit]
Quy tắc chuyển vế
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân
Trong một phương trình, ta có thể nhân [chia] cả hai vế với cùng một số khác \[0\].
Cách giải [edit]
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm. Mỗi nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm. Tập hợp các nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn \[ax+by=c\ \ [2]\] với \[a \neq 0\] hoặc \[b \neq 0\].
+] TH1: \[a \neq 0\] và \[b \neq 0\].
Chia cả hai vế của \[[2]\] cho \[b\], ta được:
\[ax+by=c\]
\[\Leftrightarrow by=-ax+c\]
\[\Leftrightarrow y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\]
Với mỗi giá trị của \[x\] ta nhận được một giá trị tương ứng của \[y\].
Do đó phương trình \[[2]\] có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát của phương trình \[[2]\] là:
\[\left\{\begin{array}{ll} x \in \mathbb{R}\\ y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\end{array} \right. \]
Tập nghiệm của phương trình \[[2]\] được biểu diễn bởi đường thẳng \[y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\].
+] TH2: \[a=0\] và \[b \neq 0\].
Chia cả hai vế của \[[2]\] cho \[b\], ta được:
\[ax+by=c\]
\[\Leftrightarrow by=c\]
\[\Leftrightarrow y=\dfrac{c}{b}\]
Nghiệm tổng quát của phương trình \[[2]\] là:
\[\left\{\begin{array}{ll} x \in \mathbb{R}\\ y=\dfrac{c}{b} \end{array} \right. \]
Tập nghiệm của phương trình \[[2]\] được biểu diễn bởi đường thẳng \[y=\dfrac{c}{b}\] song song [hoặc trùng] với trục hoành.
+] TH3: \[a \neq 0\] và \[b=0\].
Chia cả hai vế cho \[a\], ta được:
\[ax+by=c\]
\[\Leftrightarrow ax=c\]
\[\Leftrightarrow x=\dfrac{c}{a}\]
Nghiệm tổng quát của phương trình \[[2]\] là:
\[\left\{\begin{array}{ll} x=\dfrac{c}{a} \\ y \in \mathbb{R} \end{array} \right. \]
Tập nghiệm của phương trình \[[2]\] được biểu diễn bởi đường thẳng \[x=\dfrac{c}{a}\] song song [hoặc trùng] với trục tung.
Khoảng cách từ đường thẳng đến gốc tọa độ [edit]
Xét đường thẳng \[[d]:\ ax+by=c\] giao với hai trục tọa độ tại điểm \[A\] và \[B\] như hình vẽ:
Ta có \[A\left[0; \dfrac{c}{b} \right]\] và \[B \left[\dfrac{c}{a}; 0 \right]\] \[\Rightarrow OA=\left| \dfrac{c}{b} \right|\] và \[OB=\left| \dfrac{c}{a} \right| \].
Kẻ đường cao \[OH \bot AC\] với \[H \in AC\].
Khi đó, hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông \[\Delta OAB\] là:
\[\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2} +\dfrac{1}{OB^2}\]
\[\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2}= \dfrac{b^2}{c^2} + \dfrac{a^2}{c^2}\]
\[\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{a^2+b^2}{c^2}\]
\[\Leftrightarrow OH=\dfrac{\sqrt{c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
\[\Leftrightarrow OH=\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. \]
Vậy khoảng cách từ đường thẳng \[ax+by=c\] đến gốc tọa độ là: \[\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\ \square\]
Tổng quát:
Khoảng cách từ đường thẳng\[ax+by=c\] đến gốc tọa độ \[O[0;0]\] được tính bởi công thức:\[\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]
- phương trình bậc nhất hai ẩn
- nghiệm tổng quát
- công thức tính khoảng cách từ đường thẳng đến gốc