SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN
A. Lý thuyết cơ bản
1. Số phức
Số phứclà một biểu thức có dạngtrong đóvà.
Trong đó:
-
+là đơn vị ảo.
-
+là phần thực của.
-
+là phần ảo.
Tập hợp các số phức, kí hiệu là.
Chú ý:
-
+ 0 là số phức có phần thực và phần ảo đều bằng 0.
-
+ Số phứclà số thực nếu.
-
+ Số phứclà số thuần ảo nếu.
Hai số phứcbằng nhau.
2. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp củalà.
Nhận xét:
-
+.
-
+.
-
+.
3. Mô đun của số phức
Mô đun của số phứclà.
Nhận xét:+. +.
+. +.
4. Biểu diễn hình học số phức
Điểmtrong một hệ tọa độ Oxy được gọi là một điểm biểu diễn số phức.
5. Các phép toán
Chovàta có:
.
.
.
B. Bài tập
Dạng 1. Các phép toán trên tập số phức
A. Phương pháp
-
- Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.
-
- Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1:Tìm số phức liên hợp của:.
Lời giải:
Ta có :.
Suy ra số phức liên hợp của z là:.
Ví dụ 1.2:Tìm mô đun của số phức.
Lời giải:
Ta có :.
Vậy, mô đun của z bằng:.
Ví dụ 1.3:Cho số phức z =. Tính các số phức sau:; z2; []3; 1 + z + z2
Lời giải:
Vì z =Þ=
Ta có z2===
[]2=
[]3=[]2.=
Ta có: 1 + z + z2=
Ví dụ 1.4:Tìm phần ảo của z biết:
Lời giải:
Giả sử z = a+bi.
.
Vậy phần ảo của z bằng -10.
Ví dụ 1.5:Cho.Tính
Lời giải:
Ví dụ 1.6:Cho. Tính;;
Lời giải:
+]
+]
+]
Ví dụ 1.7 [THPT Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2017]
Cholà các số thực và. Giá trị củabằng
A.. B..
C.. D. 0.
Lời giải:
Ta cóvà.
Khi đó
Chọn B.
Dạng 2. Tínhvà áp dụng
A. Phương pháp
-
- Nếunguyên dương thì.
-
- Nếunguyên âm thì.
B. Bài tập ví dụ
Lời giải:
Ta có: [1 + i]2= 1 + 2i 1 = 2iÞ[1 + i]14= [2i]7= 128.i7= -128.i
z = [1+i]15= [1+i]14[1+i] = -128i [1+i] = -128 [-1 + i] = 128 128i.
Lời giải:
Ta có:
. Vậy=i16+[-i]8=2.
Ví dụ 2.3:Tính.
Lời giải:
Cách 1:
Ta có.
Suy ra.
Cách 2:
Dãy sốlập thành một cấp số nhân gồm 2013 số hạng, có công bội là, số hạng đầu là 1.
Do đó.
Ví dụ 2.4:Cho số phức. Tính.
A.. B. 1. C. 0. D..
Lời giải:
Ta có.
.
Chọn A.
Ví dụ 2.5:Phần thực của số phứccó dạngvớibằng
A. 1007. B. 1006. C. 2012. D. 2013.
Lời giải:
.
Chọn A.
Ví dụ 2.6:Phần ảo của số phứcbằng
A.. B.. C.. D. 0.
Lời giải:
Ta có.
Chọn A.
Ví dụ 2.7 [THPT Hai Bà Trưng Huế]Tính.
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Ta có
Chọn C.
Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
A. Phương pháp
-
+ Gọi. Thay vào giả thiết ta được hệ hai phương trình hai ẩn.
-
+ Giải hệ phương trình để tìm.
-
+ Kết luận.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 3.1[THPT Chuyên KHTN Hà Nội]
Cho số phứcthỏa mãn. Tìm mô đun của.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Đặt. Ta có:
Vậy.
Chọn A.
Ví dụ 3.2 [THPT Hai Bà Trưng Huế]Có bao nhiêu số phứcthỏa mãn.
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Lời giải:
Gọi.
Khi đó
Vậy có 3 số phức thỏa mãn đề bài là.
Chọn A.
Ví dụ 3.3 [THPT Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa]Có bao nhiêu số phứcthỏa mãn đồng thời điều kiệnvà.
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Lời giải:
Giả sử. Ta có:
Vậy có đúng một số phức thỏa mãn đề bài.Chọn D.
Ví dụ 3.4:Tìm số phứcthỏa mãn các điều kiện sau:
a]và. b]vàlà số thuần ảo.
Lời giải:
a] Gọi.
Ta có
.
b]vàlà số thuần ảo.
Gọi.
Ta có
là số thuần ảo[3]
Từ [2] suy rathay vào [3] ta được:
Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài là.
Dạng 4. Biểu diễn số phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức
A. Phương pháp
Giả sửlà điểm biểu diễn số phức. Thay, từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữavà.
Các dạng quỹ tích thường gặp:
- - Đường thẳng.
- - Đường tròn:, trong đólà tâm và bán kính.
- - Elip.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 4.1 [Đề minh họa 2017 Lần 1]
Cho số phứcthỏa mãn. Hỏi điểm biểu diễn
củalà điểm nào trong các điểmở hình bên?
A. Điểm M. B. Điểm N.
C. Điểm P. D. Điểm Q.
Lời giải:
Gọi. Khi đó
Chọn D.
Ví dụ 4.2 [THPT Gia Lộc II]Cho số phứcthỏa mãn. Xác định điểm A biểu diễn số phức liên hợp.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Ta có
.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 4.3 [THPT Gia Lộc II]Cho số phức. Tìmđể điểm biểu diễn của số phứcnằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
.
Chọn A.
Ví dụ 4.4:Cho hình vuôngcó tâmvàlần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức. Biếtvà số phứccó phần ảo dương. Khi đó, mô đun của số phứclà
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Dolà hình vuông và có tâmnên ta có.
Do điểmbiểu diễn số phức, điểmbiểu diễn số phức
Đường thẳngnhậnlàm VTPT nên có phương trình là
.
Do.
Ta có:
.
Vậy.
Chọn D.
Ví dụ 4.5 [THPT Chuyên Quang Trung Bình Phước]
Chothỏa mãn. Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phứclà đường tròn, bán kính. Khi đó:
A.. B..
C.. D..
Lời giải:
Giả sửvàvới.
Lại có.
Gọi. Khi đó:
.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phứclà đường tròn.
Khi đó chỉ có chọn C là có khả năng đúng và theo đó.
Thửvào phương trình thì thỏa mãn.
Chọn C.
Ví dụ 4.6 [THPT Gia Lộc II]Cho số phứcthỏa mãn. Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số phứclà một đường tròn. Hãy xác định tọa độ tâmcủa đường tròn đó.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Giả sử, suy ralà điểm biểu diễn cho số phức.
Ta có
Chọn D.
Ví dụ 4.7 [THPT Hai Bà Trưng Huế]Tìm tập hợp các điểmbiểu diễn hình học số phứctrong mặt phẳng phức, biết số phứcthỏa mãn điều kiện.
A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâmvà có bán kính.
B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình.
C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểmtrong mặt phẳngthỏa mãn phương trình.
D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình là.
Lời giải:
Gọilà điểm biểu diễn của số phức.
Gọilà điểm biểu diễn số phức.
Gọilà điểm biểu diễn số phức.
Khi đó.
Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểmlà elip nhậnlà các tiêu điểm.
Gọi phương trình của elip là.
Từ [*] ta có.
.
Quỹ tích các điểmlà.
Chọn D.
Ví dụ 4.8:Cho các số phứcthỏa mãn. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phứclà một đường tròn. Tính bán kínhcủa đường tròn đó.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Gọi. Ta có:
.
Mànên.
Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phứclà một đường tròn nên ta có.
Chọn C.
Dạng 5. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất
A. Phương pháp
- - Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.
-
- Các bất đẳng thức thường gặp:
- +, dấu = xảy ra khivới.
- +, dấu = xảy ra khivới.
- +, dấu = xảy ra khivới.
- +, dấu = xảy ra khivới.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 5.1 [THPT Gia Lộc II]Cho số phứcthỏa mãn. Tìm giá trị nhỏ nhất của.
A. 6. B. 4. C. 3. D. 5.
Lời giải:
Cách 1:
Ta có.
Chọn B.
Cách 2:
Giả sử.
Ta có
Ta có.
Suy ra tập hợp các điểmbiểu diễn số phức
đã cho là đường tròn tâmvà có bán kính.
nhỏ nhấtnhỏ nhất [tức làgầnnhất].
.
Hỏi thêm:Tìm.
lớn nhấtlớn nhất [tức làxanhất].
Ví dụ 5.2 [THPT Hà Huy Tập Nghệ An]Cho số phứcthỏa mãn. Tìm mô đun nhỏ nhỏ nhất của số phức.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Giả sử. Khi đó:
.
Chọn C.
Ví dụ 5.3 [THPT Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa]Cho số phức, tìm giá trị lớn nhất củabiết rằngthỏa mãn điều kiện.
A. 3. B.. C.. D. 1.
Lời giải:
Gọi. Ta có.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phứclà đường tròn tâm, bán kính.
Gọilà điểm biểu diễn số phức, ta có.
Ta có.
Chọn C.
Ví dụ 5.4:Cho số phức. Biết tập hợp các điểmbiểu diễn hình học số phứclà đường tròncó tâmvà có bán kính. Đặtlà giá trị lớn nhất,là giá trị nhỏ nhất của. Tính giá trị của.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Cách 1:
Phương trình đường tròn.
Do điểmnằm trên đường trònnên ta có.
Mặt khác.
.
Ta có.
.
Khi đó.
Vậy.
Chọn B.
Cách 2:
Ta có.
Ví dụ 5.5 [THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai]Cho số phứcthỏa mãn. Tínhvới.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Ta có.
Khi đó, giả thiết
.
-
Vớita có.
-
Với, đặt, ta có
Do đó.
Chọn A.
Ví dụ 5.6:Trong các số phứcthỏa mãn điều kiện. Biết rằng số phứccó mô đun nhỏ nhất. Tính.
A.. B.. C.. D..
Lời giải:
Gọi. Ta có.
Do đó.
Đẳng thức xảy ra. Vậy.
Chọn B.