08:56:4124/12/2020
Khi các em học tới phương trình bậc 2 một ẩn, thì việc ghi nhớ cách tính biệt thức delta là điều tất nhiên có vai trò chính để giải được phương trình bậc 2, cách tính biệt thức delta này các em đã ghi nhớ nằm lòng chưa?
Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta thỏa điều kiện gì?.
I. Phương trình bậc 2 - kiến thức cơ bản cần nhớ
• Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 [a≠0]
• Công thức nghiệm tính delta [ký hiệu: Δ]
Δ = b2 - 4ac
+ Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm.
• Công thức nghiệm thu gọn tính Δ' [chỉ tính Δ' khi hệ số b chẵn].
Δ = b'2 - ac với b = 2b'.
+ Nếu Δ' > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
+ Nếu Δ' = 0: Phương trình có nghiệm kép:
+ Nếu Δ' < 0: Phương trình vô nghiệm.
→ Vậy nếu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào?
- Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi biệt thức delta ≥ 0. [khi đó phương trình có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt].
> Lưu ý: Nếu cho phương trình ax2 + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ≥ 0.
• Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường [không chứa tham số], thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm.
II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm
* Phương pháp giải:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax2 + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0.
- Tính biệt thức delta: Δ = b2 - 4ac
- Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm.
* Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: 2x2 - [1 - 2a]x + a - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
* Lời giải:
- Xét phương trình: 2x2 - [1 - 2a]x + a - 1 = 0 có:
a = 2; b = -[1 - 2a] = 2a - 1; c = a - 1.
Δ = [2a - 1]2 - 4.2.[a - 1] = 4a2 - 12a + 9 = [2a - 3]2.
- Vì Δ ≥ 0 với mọi a nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a.
* Bài tập 2: Cho phương trình mx2 - 2[m - 1]x + m - 3 = 0 [*]. Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm.
* Lời giải:
- Nếu m = 0 thì phương trình đã cho trở thành: 2x - 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm x = 3/2.
- Xét m ≠ 0. Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn, khi đó, ta có:
a = m; b = -2[m - 1]; c = m - 3.
Và Δ = [-2[m-1]]2 - 4.m.[m-3] = 4[m2 - 2m + 1] - [4m2 - 12m]
= 4m2 - 8m + 4 - 4m2 + 12m = 4m + 4
- Như vậy, m = 0 thì pt [*] có nghiệm và với m ≠ 0 để phương trình [*] có nghiệm thì Δ≥0 ⇔ 4m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1.
⇒ Kết luận: Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -1.
* Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình x2 - 2[m + 4]x + 2m + 6 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
* Bài tập 4: Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: x2 - mx - 1 = 0.
* Bài tập 5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 3x2 + [m - 2]x + 1 = 0.
* Bài tập 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: x2 - 2mx - m + 1 = 0.
* Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau: mx2 - 4[m - 1]x + 4m + 8 = 0 có nghiệm.
Như vậy với bài viết đã giải đáp được thắc mắc: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta cần thỏa điều kiện gì? cùng các bài tập về tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm ở trên đã giúp các em dễ hiểu hơn hay chưa? Các em hãy cho góp ý và đánh giá ở dưới bài viết để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé, chúc các em học tốt.
Chứng minh rằng phương trình x^2-[m+1]x+m=0 luôn có nghiệm với mọi m
Cho phương trình: x2-[m+1]x+m=0
a] CMR: Pt luôn có nghiệm với mọi m.
b] Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 mà k phụ thuộc vào m
Cho phương trình x2+ [m + 2]x + 2m = 0 [*]
a] Chứng minh phương trình [*] luôn có hai nghiệm x1, x2với mọi m
b] Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2không phụ thuộc vào m.
3.702 lượt xem
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Cách chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Bước 1: Tính Delta
Bước 2: Biến đổi biểu thức Delta, chứng minh Delta luôn dương thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bước 3: Kết luận.
B. Ví dụ chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Ví dụ 1: Cho phương trình
a] Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b] Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn giải
a] Ta có:
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m
b] Theo hệ thức Vi – et ta có:
không phụ thuộc vào tham số m
Ví dụ 2: Cho phương trình
a] Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b] Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2
Hướng dẫn giải
a] Ta có:
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
b] Theo hệ thức Vi – et ta có:
Theo giả thiết ta có:
x1 < 1 < x2 =>
=> [x1 – 1][x2 – 1] < 0
=> x1x2 – [x1 + x2] + 1 < 0 [**]
Từ [*] và [**] ta có:
[2m – 5] – [2m – 2] + 1 < 0
=> 0.2m – 2 < 0, đúng với mọi giá trị của m
Vậy với mọi giá trị của tham số m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2
C. Bài tập chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
Bài tập 1: Cho phương trình
Bài tập 2: Cho phương trình
a] Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b] Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A = [2x1 – x2][2x2 – x1] đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài tập 3: Cho phương trình
a] Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
b] Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
-----------------------------------------------------
Hy vọng tài liệu Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các bài tập từ cơ bản đến nâng cao phần Phương trình bậc hai chứa tham số đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
- Luyện tập Toán 9
- Giải bài tập SGK Toán 9
- Đề thi giữa học kì môn Toán 9
Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức: