Trong toán học, vật lý và kỹ thuật, véctơ [tiếng Anh: vector hay Hán-Việt: hướng lượng] là một đoạn thẳng có hướng. Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều, độ lớn [chiều dài của vectơ]. Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được vectơ A B {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} trong hình học được đo bằng độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu giống như ký hiệu giá trị tuyệt đối: | A B | {\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|} đọc là độ dài của vectơ AB
Góc giữa 2 vectơSửa đổi
Cho 2 vectơ a 0 {\displaystyle {\vec {a}}\neq {\vec {0}}} và b 0 {\displaystyle {\vec {b}}\neq {\vec {0}}} . Từ điểm O vẽ O A = a {\displaystyle {\vec {OA}}={\vec {a}}} và O B = b {\displaystyle {\vec {OB}}={\vec {b}}} . Khi đó A O B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}} chính là góc giữa a {\displaystyle {\vec {a}}} và b {\displaystyle {\vec {b}}} . Ký hiệu [ a ; b ] = A O B ^ {\displaystyle [{\vec {a}};{\vec {b}}]={\widehat {AOB}}}
Quy ước trong hình học
- 0 [ a ; b ] 180 {\displaystyle 0^{\circ }\leq [{\vec {a}};{\vec {b}}]\leq 180^{\circ }}
- Góc hợp bởi 2 vectơ cùng phương và cùng hướng là 0 {\displaystyle 0^{\circ }}
- Góc hợp bởi 2 vectơ cùng phương và ngược hướng là 180 {\displaystyle 180^{\circ }}
Phép toán trên vectơSửa đổi
Phép cộng hai vectơSửa đổi
Quy tắcSửa đổi
Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ A B {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} và C D {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} là một vectơ được xác định theo quy tắc:
- Quy tắc 3 điểm: di chuyển vectơ C D {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} sao cho điểm đầu C của C D {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} trùng với điểm cuối B của A B {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} : C B {\displaystyle C\equiv B} . Khi đó vectơ A D {\displaystyle {\overrightarrow {AD}}} có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
- Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ C D {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ A B {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} . Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần A B {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} và C D {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} , chiều từ gốc A đến điểm cuối
Tính chất VectơSửa đổi
- Tính chất giao hoán
a + b = b + a {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}
- Tính chất kết hợp
[ a + b ] + c = a + [ b + c ] {\displaystyle [{\vec {a}}+{\vec {b}}]+{\vec {c}}={\vec {a}}+[{\vec {b}}+{\vec {c}}]}
- Tính chất của vectơ-không a + 0 = 0 + a = a {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {a}}={\vec {a}}}
- Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có: A B + B C = A C {\displaystyle {\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}}
- I là trung điểm đoạn thẳng AB A I + B I = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {AI}}+{\vec {BI}}={\vec {0}}}
- G là trọng tâm A B C {\displaystyle \vartriangle ABC} G A + G B + G C = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}={\vec {0}}}
Hiệu hai vectơSửa đổi
Ta có: A B {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} - C D {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} = A B {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} +[- C D {\displaystyle {\overrightarrow {CD}}} ]=. A B {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} + D C {\displaystyle {\overrightarrow {DC}}}
Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C, ta có A B A C = C B = C A B A {\displaystyle {\vec {AB}}-{\vec {AC}}={\vec {CB}}={\vec {CA}}-{\vec {BA}}}
Tích vectơ với một sốSửa đổi
Quy tắcSửa đổi
- Phép nhân vectơ với một số: tích của vectơ
a
{\displaystyle {\vec {a}}}
với một số thực
r
R
{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
là một vectơ có gốc và phương trùng với gốc và phương của
a
{\displaystyle {\vec {a}}}
, cùng chiều nếu
r
>
0
{\displaystyle r>\ 0}
và ngược chiều nếu
r
<
0
{\displaystyle r