§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a. b, được xác định bởi công thức sau:
a.b = |a|.|b|cos[a,b]
Các tính chất của tích vô hưổng
Với ba vectơ a, b, C bất kì và mọi số k ta có:
a.b = b.a [tính chất giao hoán];
a.[b + c] = a.b + a.c [tính chất phân phối];
[ka].b = k[a.b] = a.[kb];
-2 _ -.2 _ - a > 0, a=0 o a = 0.
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
[a + b]2 = a2 + 2.a.b + b2 ;
[a-b]2 =a2-2.a.b + b2;
[a + b].[a- b] = a2 -E]2.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho a - [ai ; a2], b = [bi; b2]
a.b = a1b1+a2b2
Nhận xét: a, b đều khác ỏ thì a 1 b a1b1 +a2b2 = 0
4.
ứng dụng
Độ dài của vectơ
Cho a = [ai; a2] thì la! = ựa2 + a2
Góc giữa hai vectơ
Cho a = [ai; a2], b= [bi; b2] đều khácõ
Khi đó cos[a,b] :
a.b
a1b1 + a2b2
|b| +a2.ựbf +b
Khoảng cách giữa hai điểm Cho A[xa; Ya] và B[xb; Yb]
AB = ự[xB-XA]2+[yB-yA]2.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích võ hướng AB.AC, AC.CB.
2. Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp:
Điểm o nằm ngoài đoạn AB;
Điểm o nằm trong đoạn AB.
tỹiải
Khi o nằm ngoài đoạn AB ta có: Q Ạ B
OA.OB = a.b.cosO0 = a.b
Khi o nằm giữa hai điểm A và B ta có:
ÕẨ.ÕB = a.b.cosl80° = -a.b * 2 ?
Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa dường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA;
Hãy dùng kết quả câu a] để tính AI.AM+ BI.BN theo R.
tỹiải
a] Ta có AI.AM = AI.AM.COS[AI.AM]
= AI.AM.cosO0 = AI. AM và AI.AB = AI.AB. cos IAB AM
= AI.AB.^= AI.AM
AB
Từ [1] và [2] suy ra ÃĨ.ĂM = ÃỈ.ÃB Tương tự BI.BN = BI.BN
BI.BA = BI.BA.COSÍBẦ
BN "
= BI.BA.^-= BI.BN
BA
Từ đó suy ra BI.BN = BI.BA .
* Cách khác:
Ta có: ÃỈ.ÃM-ÃỈ.ĂB = ÃỈ[ÃM - Ãẽ] = AI.BM = 0 [vì Ãỉ 1 BM ]
=> ÃĨ.ÃM = ÃĨ.ÃB
Tương tự: BI.BN = BI.BA.
b] Ap dụng câu a] ta có
ALAM + BI.BN = AI.AB + BỈ.BÁ = AI.AB + IB.AB = AB.[AI + IB] = AB2 = 4R2
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A[1; 3], B[4; 2].
Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;
Tính chu vi tam giác OAB;
Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đố tính diện tích tam giác OAB.
[ỹiẦi
a] Giả sử D[xd; 0] nằm trên trục Ox.
Ta có: DA = DB DA2 = DB2 o [1 - XD]2 + 32 = [4 - XD]2 + 22
X2 - 2xd + 1 + 9 = Xp - 8xd + 16 + 4 XD =
VâyD[|;o].
Ta có: OA = 7l2 +32 = 7ĨÕ ; OB = V42 + 22 = 720
AB = ự[4 -1]2 + [2 - 3]2 = 7ĨÕ Chu vi tam giác OAB là:
2p = OA + OB + AB = 7ĨÕ + 720 + 7ĨÕ = 27ĨÕ + 72.7ĨÕ = 7ĨÕ[2 + 72]
Vì OA = AB = 7ĨÕ và OB = 720 nên OB2 = OA2 + AB2 Vậy tam giác OAB vuông cân tại A.
Diện tích tam giác OAB là: s = OA.AB = i.TĨÕ.TĨÕ = 5 [đvdt].
2 2
* Cách khác:
Ta có ÕA = [1; 3]; ÃB = [3; -1] => ÕẨ . Ãỗ = 1.3 - 3.1 = 0 => OA ± AB.
Trên mặt phẳng Oxy hãy tinh góc giữa hai vectơ a và b trong các trường hợp sau :
ă = [2; -3], b = [6; 4];
ã= [3; 2], b = [5; -1];
a = [-2; -2^3], b= [3; 73 ].
Ta có: a
Ta có: a
. b = 2.6 + -3.4 = 0 => a 1 b hay [a, b ] = 90°. . b = 3.5 + 2.[-l] = 13
|ẵ| = 732 + 22 = 7Ĩ3 ; |b| = 726
=> cos[a,b]
- f, a.b 13
,|b| 713.726 7Ĩ3.713.72 72
1 ^[a,b] = 45°
a.b = [-2].3 + [-2731.73 =-6 - 6 =-12
|a| = 4; |b| = 2.73
=> cos[a,b] = a'b = 12 = => [a, b] = 150° .
;.b 4.273 2
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A[7; -3]; B[8; 4]; C[1; 5]; D[0; -2]. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Ta có: |Ãb| = ự[8 - 7]2 + [4 + 3]2 =750 = 572 |bc| = 7[1 - 8]2 + [5 - 4]2 = 750 = 572 |cd| = 7[0 - l]2 + [-2 - 5]2 = 750 = 572
|ÕÃ| = y/72 + [-1]2 = 750 = 572
=> AB = BC = CD = DA nên tứ giác ABCD là hình thoi.
Mặt khác ÃB= [1; 7]; ÃD = [-7; 1]
nên Ãẽ.ÃD= l.[-7] + 7.1 = 0 AB 1 AD
Vậy hình thoi ABCD có một góc vuông nên tứ giác ABCD là hình vuông.
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A[ 2; 1]. Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ o.
Tìm tọa độ của điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c.
$úỉi
Ta có B[2; -1] là điểm đỗì xứng với A qua o.
Gọi C[x; 2] ta có: CA = [-2 - x; -1]; CB = [2 - x; -3]
AABC vuông tại c CA.CB =0 [-2 - x][2 - x] + 3 = 0
X2 - 1 X = ±1
Vậy có hai điểm cần tìm là: C[l; 2] và C'[-l; 2].
c
1.
2.
3.
4.
BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, Â = 60°
a] Tính AB.CA ; b] Tính BC.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm o. Tính AB.AC và AO.BC Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 8.
a] Tính AB.AC và góc A. b] Tính độ dài trung tuyến AM.
c] Xác định điểm I thỏa 5IA + 3IC = õ. d] Tính AB.IA và BI.
Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 4, CA = 6.
Tính AB.BC + BC.CA + CA.AB .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c. Chứng minh
rằng: GA2 + GB2 + GC2 = [a2 + b2 + c2].
3
Wert*? dắt: GA2= |aM2=|.ỉ[ÃB + ÃC]2 =j[b2+c2+2ÃB.ÃC]
Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
[mã + 2MB].[mC + 3MD] = 0
dẩti.: Gọi I, J là điểm thỏa: IA + 2IB = õ và JC + 3JD = õ Tập hợp M là đường tròn đường kính IJ.
Video liên quan