Cách tính trung điểm của tam giác

Ôn tập Toán 10

Công thức tính độ dài đường trung tuyến là tài liêu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em lớp 10 tham khảo.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về đường trung tuyến là gì, tính chất đường trung tuyến trong tam giác, công thức tính đường trung tuyến và các dạng bài kèm theo. Qua đó giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải nhanh các bài Toán 10.

Công thức đường trung tuyến

- Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

2. Đường trung tuyến của tam giác

- Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

3. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

- Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

Ví dụ:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

- Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ:

Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC

Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.

4. Công thức đường trung tuyến

Trong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác

ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác

5. Bài tập về cách tính độ dài đường trung tuyến

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Hướng dẫn giải

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pitago ta có:

AC2 = AM2 + MC2 ⇒ 172 = AM2 + 82 ⇒ AM2 = 172 - 82 = 225 ⇒ AM = 15cm

Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Hướng dẫn giải

Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC

Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên (1)

CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên (2)

BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên (3)

Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CG

Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = BC.

Hướng dẫn giải

a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC , GN cắt CM ở O. Chứng minh:

a) O là trọng tâm của tam giác GKC ;

b) GO = BC

Học sinh tự giải

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết AM = BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A.

Học sinh tự giải

Bài 7: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh

Hướng dẫn giải

Học sinh tự vẽ hình.

Xét tam giác BGC có:

BG + CG > BC

⇒

⇒ BD + CE >

....................

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Cập nhật: 26/08/2021

Đường trung tuyến là kiến thức khá quan trọng trong môn toán. Hôm nay góc hạnh phúc sẽ giúp các em ôn tập lý thuyết, công thức tính độ dài đường trung tuyến và bài tập để các em hiểu rõ hơn nhé.

>>Xem thêm

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó

Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến

Tính chất của đường trung tuyến

Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.

Đường trung tuyến trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:

• 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
• Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm
• Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:

• Đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
• Trong tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông

Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân

• Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối.

Trong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác

                 ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác

Bài tập có lời giải về cách tính độ dài đường trung tuyến

Bài tập 1: Cho tam giác MNP biết NP = 20cm, PM = 16cm, MN = 14cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác MNP

Lời giải

a = NP = 20cm, b = PM = 16cm, c = MN = 14cm

Gọi độ dài đường trung tuyến từ những đỉnh M, N, P của ∆MNP lần lượt là ma, mb, mc

Áp dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác ta có:

Vì độ dài các đường trung tuyến là độ dài đoạn thẳng do đó:

Bài tập 2: Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Chứng minh MI ﬩ NP

Lời giải

Ta có MI là đường trung tuyến của ∆MNP nên IN = IP

Mặt khác ∆MNP là tam giác cân tại M

=> MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

=> MI ﬩ NP

Trên đây là toàn bộ kiến thức về đường trung tuyến trong tam giác để các bạn học sinh, bậc phụ huynh, và các thầy cô giáo cùng tham khảo. Những kiến thức về môn toán sẽ được góc hạnh phúc cập nhật liên tục. Do vậy, nếu như có bài tập gì khó, hoặc có phần nào không hiểu hãy để lại bình luận bên dưới chúng tôi sẽ giải đáp thắc mắc của bạn trong thời gian sớm nhất.