Dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 9 là dạng toán tương đối nâng cao. Do đó, rất nhiều bạn học sinh sợ phải làm bài tập dạng này. Vậy có những phương pháp nào có thể sử dụng để giải quyết dạng toán này?
Có rất nhiều kiến thức Toán có thể dùng để giải quyết dạng toán này. Nhưng phổ biến nhất có lẽ là bất đẳng thức. Có hai bất đẳng thức thường dùng là cosi và bất đẳng thức bunhiakopxki. Bất đẳng thức cosi có thể cso cosi hai chữ số hoặc cosi 3 chữ số.
Một phương pháp nữa đó là sử dụng hằng đẳng thức. Sau đó, áp dụng những tính chất của các biểu thức để tìm GTNN. Phương pháp này đòi hỏi sự biến đổi khéo léo để đưa về dạng có thể biết rõ dấu.
Các dạng bài toán thường gặp
Dạng tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức lớp 9 có rất nhiều ứng dụng. Chúng thậm chí còn có trong những đề thi học kì quan trọng. Chuyên đề này có rất nhiều dạng toán. Bao gồm:
- Dạng 1: Tìm GTNN của các đa thức
- Dạng 2: Tìm GTNN của phân thức
- Dạng 3: Tìm GTNN của biểu thức có chứa căn
Có thể bạn quan tâm: Chuyên đề số chính phương THCS
Đây có thể nói là 3 dạng toán thường gặp nhất. Mỗi dạng đều có những phương pháp và lưu ý riêng. Chi tiết cách giải từng dạng chúng tôi đã đưa ra chi tiết ở trong tài liệu phía dưới. Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra hệ thống bài tập thực hành với từng dạng. Việc của các bạn là áp dụng theo phương pháp đã nêu để vận dụng thành thục hơn thôi. Chúc các bạn học tốt!
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Sưu tầm: Trần Thị Nhung
15.729 lượt xem
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn
GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn. Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Đại số Toán 9. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.
Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm
Phương pháp:
- Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta cần chỉ ra:
- Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta cần chỉ ra:
3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số a, b không âm ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích
B. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải
a] Điều kiện xác định x ≥ 0
Do
=> max A = 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0
b] Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x ∈ [-3; 3]
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ: Cho biểu thức
a] Rút gọn biểu thức A
b] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Hướng dẫn giải
a] Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta rút gọn biểu thức được kết quả như sau:
b] Có hai cách giải bài toán như sau:
Cách 1: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:
Như vậy P ≤ -5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
Cách 2: Dùng miền giá trị để đánh giá
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
Để tổn tại P thì phương trình [*] phải có nghiệm, tức là:
∆ = [P - 1]2 - 36 ≥ 0 ⇔ [P - 1]2 ≥ 36 ⇔ P - 1 ≤ -6 [Do P < 1] ⇔ P ≤ -5
Như vậy P ≤ -5 khi
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
C. Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
Bài 3: Cho biểu thức:
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b. Rút gọn biểu thức B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 4: Cho biểu thức:
Bài 5: Cho biểu thức:
a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 6: Cho biểu thức:
a. Rút gọn B
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
-------------------------------------------------
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn là phần kiến thức quan trọng thường xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra môn Toán lớp 9, chính vì vậy việc nắm vững các kiến thức là rất quan trọng giúp các em học sinh có thể đạt điểm cao trong các bài thi của mình. Hy vọng tài liệu trên sẽ giúp các em học sinh ghi nhớ lý thuyết và cách áp dụng từ đó vận dụng giải các bài toán về biểu thức chứa căn lớp 9 một cách dễ dàng hơn. Chúc các em học tốt.
Ngoài ra để có thể ôn tập hiệu quả nhất môn Toán 9 chuẩn bị thi vào lớp 10, các bạn học sinh có thể tham khảo thêm tài liệu:
Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:
- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [C] và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
- Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn [O; R] vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của [O] [với A, B là các tiếp điểm] và cát tuyến MDE không qua tâm O [D, E thuộc [O], D nằm giữa M và E].
- Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
- Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
- Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
- Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
- Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn [ thuộc đất của vườn] rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m2 . Tìm diện tích vườn lúc đầu.
- Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
- Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb. c. CA là tia phân giác của góc SCB.
- Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI [K khác C và I] tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.Chứng minh:a] Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường trònb] CK.CD = CA.CBc] Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàngd] Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI