Luỹ thừa của luỹ thừa là một dạng đặc biệt trong phần kiến thức luỹ thừa lớp 12. Có công thức phức tạp hơn, cách biến đổi cần nhiều bước và sáng tạo hơn luỹ thừa dạng cơ bản, tuy nhiên nếu nắm được phương pháp giải thì các bài toán dạng này không hề khó giải.
Đầu tiên, các em cùng VUIHOC nhận định mức độ khó của các bài toán luỹ thừa của luỹ thừa tại bảng sau đây:
Để dễ dàng hơn trong việc theo dõi bài viết cũng như ôn tập sau này, các em tải file tổng hợp lý thuyết luỹ thừa - luỹ thừa của luỹ thừa theo link dưới đây nhé!
\>>>Tải xuống file lý thuyết luỹ thừa của luỹ thừa đầy đủ và chi tiết ay x > y với 0 < a < 1 thì ax > ay x < y
9. Với 0 < a < b và m là số nguyên dương thì am < bm, nếu số m nguyên âm thì am > bm
Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức Toán 12 thi tốt nghiệp THPT
1.3. Tính chất và công thức luỹ thừa cơ bản
Các tính chất của luỹ thừa góp phần không nhỏ trong việc hình thành cách so sánh luỹ thừa trong các bài tập cụ thể. Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa áp dụng để biến đổi và so sánh luỹ thừa sau:
- Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:
+] am.an = am + n
+]
+] [am]n = am.n
+] [a.b]m = am. bm
+]
Tính chất về bất đẳng thức:
Dưới đây là bảng công thức luỹ thừa cơ bản giúp các em biến đổi các phép tính luỹ thừa của luỹ thừa:
an = a.a.a.....a [n thừa số a] a0 = 1
Ngoài ra còn có một số công thức khác trong các trường hợp đặc biệt, cụ thể như sau:
- Luỹ thừa của số e:
Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được định nghĩa qua giới hạn sau:
Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa
Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.
Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ek như sau:
Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
- Hàm luỹ thừa với số mũ thực:
Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.
Logarit tự nhiên ln[x] là hàm ngược của hàm ex. Theo đó lnx là số b sao cho
Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:
Điều này dẫn tới định nghĩa với mọi số thực x và số thực dương a
2. Luỹ thừa của luỹ thừa
2.1. Luỹ thừa của một luỹ thừa là gì?
Để hiểu được luỹ thừa của luỹ thừa là gì,đơn giản nhất ta có thể suy ra từ định nghĩa của luỹ thừa như sau:
Luỹ thừa của luỹ thừa là biểu thức luỹ thừa trong đó phần cơ số là một biểu thức luỹ thừa khác. Luỹ thừa của luỹ thừa có ký hiệu là $[a^n]^m$
2.2. Công thức luỹ thừa của luỹ thừa
Theo định nghĩa trên, công thức luỹ thừa của luỹ thừa có dạng như sau:
2.3. Ứng dụng công thức luỹ thừa của luỹ thừa trong các bài toán luỹ thừa
VD1:
Lời giải
Chọn A
Ta có
VD2.
Lời giải
3. Bài tập luỹ thừa của luỹ thừa
Để thành thạo các bài tập luỹ thừa của luỹ thừa, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu tổng hợp các dạng bài áp dụng công thức biến đổi luỹ thừa của một luỹ thừa thường gặp nhất. Các em tải theo link dưới đây nhé!
\>>>Tải xuống file bài tập luỹ thừa của luỹ thừa có giải chi tiết