1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giácPhương trình có dạng:
af2[x] + bf[x] + c = 0, a, b, c ∈ R, a ≠ 0
f[x] là hàm số có một trong các dạng sinu[x], cosu[x], tanu[x], cotu[x]Cách giải
+ Bước 1: Đặt ẩn phụ f[x] = t.
+ Bước 2: Giải phương trình theo ẩn t: at2 + bt + c = 0
+ Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản đối với mỗi nghiệm của phương trình theo t.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx asinx + bcosx = c [a2 + b2 > 0]
Điều kiện có nghiệm a2 + b2 > c2
Cách giải:
+ Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm.
+ Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho thì phương trình có dạng:
+ Bước 3: Đặt [ hoặc ]
thì phương trình trở thành
+ Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản.
3. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx a[sinx + cosx] + bsinxcosx = c
Cách giải
Ta được phương trình theo t.
4. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d
Cách giải• Xét cosx = 0
• Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x, ta đưa về phương trình theo tanx.
[Cũng có thể xét sinx = 0; còn khi sinx ≠ 0, chia hai vế phương trình cho sin2x, ta đưa về phương trình theo cotx].
Thi đại học Toán học Thi đại học - Toán học
Cho phương trình \[a\sin x+b\cos x=c\], trong đó \[a,b,c\in\mathbb{R}\], \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\]. Để giải phương trình này, ta chia 2 vế cho \[\sqrt{a^2+b^2}\] rồi áp dụng công thức cộng đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản dạng \[\sin[x+\alpha]=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
Xem thêm: Biến đổi asinx + bcosx về một giá trị lượng giác.
Ví dụ 1. Giải phương trình \[\cos x-\sqrt{3}\sin x=-2.\]
Giải.
\[\begin{array}{ll}&\cos x-\sqrt{3}\sin x=-2\\ \Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x=-1\\ \Leftrightarrow&\sin\dfrac{\pi}{6}\cos x-\cos\dfrac{\pi}{6}\sin x=-1\\ \Leftrightarrow&\sin\left[\dfrac{\pi}{6}-x\right]=-1\\ \Leftrightarrow&\dfrac{\pi}{6}-x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\ \Leftrightarrow&x=\dfrac{2\pi}{3}-k2\pi\quad [k\in\mathbb{Z}]\end{array}\]
Ví dụ 2. Giải phương trình \[3\sin x+4\cos x=2.\]
Giải.
\[\begin{array}{ll}&3\sin x+4\cos x=2\\ \Leftrightarrow&\dfrac{3}{5}\sin x+\dfrac{4}{5}\cos x=\dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow&\cos\alpha\sin x+\sin\alpha\cos x=\dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow&\sin\left[x+\alpha\right]=\dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x=-\alpha+\arcsin\frac{2}{5}+k2\pi\\ x=-\alpha+\pi-\arcsin\frac{2}{5}+k2\pi\end{array}\right.\quad [k\in\mathbb{Z}]\end{array}\]
Trong đó \[\cos\alpha=\dfrac{3}{5}, \sin\alpha=\dfrac{4}{5}.\]
Bài 1. Giải các phương trình sau
- \[3\sin x-\cos x=-4\]
- \[12\sin2x-5\cos2x=-12\]
- \[3\cos^2x+\sin2x=2\]
- \[\sin x+\cos x=-1\]
- \[\sin 2x-\cos 2x=0\]
- \[\cos x-\sin x=\sqrt{2}\]
Bài 2. Giải các phương trình sau
- \[\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos 2x\]
- \[\sin 8x+\sqrt{3}\cos 7x=\sin 7x+\sqrt{3}\cos 8x\]
- \[\sqrt{2}\left[\cos^4x-\sin^4x\right]=\sin x+\cos x\]
- \[\cos 7x\cos5x-\sqrt{3}\sin 2x=1-\sin 7x\sin 5x\]
Những câu hỏi liên quan
Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm?
A. a 2 + b 2 > c 2
B. a 2 + b 2 ≤ c 2
C. a 2 + b 2 = c 2
D. a 2 + b 2 ≥ c 2
Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình a . sin x + b . cos x = c có nghiệm?
Xét phương trình bậc hai az2+bz+c=0 trên tập C a ≠ 0 , a , b , c ∈ R . Tìm điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm z1 và z2 là số phức liên hợp với nhau.
Nêu cách giải phương trình lượng giác cơ bản , cách giải phương trình a sin x + b cos x = c .
Biết điều kiện cần và đủ của m để phương trình log 2 1 2 x - 2 2 + 4 m - 5 log 1 2 1 x - 2 - 8 m - 4 = 0 . Có nghiệm thuộc 5 4 ; 4 là m ∈ a ; b . Tính T=a+b
A. 10 3
B. 4
C. -4
D. - 10 3
Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m,n để phương trình z 4 + m z 2 + n = 0 không có nghiệm thực
Để hệ phương trình x + y = S x . y = P có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:
A. S 2 − P < 0
B. S 2 − P ≥ 0
C. S 2 − 4 P < 0
D. S 2 − P ≥ 0
Để hệ phương trình x + y = S x y = P có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:
A. S 2 – P < 0
B. S 2 – P ≥ 0
C. S 2 – 4 P < 0
D. S 2 – 4 P ≥ 0
Video liên quan
Lý thuyết giải các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp
Các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp
Đây là các dạng phương trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11
1. Phương phápgiải phương trình lượng giác bậc nhất
Chỉ cần thực hiên 2phép biến đổi tương đương: bằng cách chuyển số hạng không chứa $x$ sang vế phải và đổi dấu, sau đó chia 2vế của phương trình cho một số #0 là ta có thể đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.
2. Phương phápgiải phương trình lượng giác bậc hai
Đặt ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Sau đó giải phương trình bậc hai này. Nếu phương trình bậc hainàycó nghiệm thì thế giá trị của nghiệm này với phương trình ẩn phụ ta sẽ tìm đượcnghiệm cho phương trình
3. Phương pháp giải phương trình dạng asinx + bcosx = c với a, b đều # 0
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{x^2+y^2}$ và gọi α là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vectơ$\overrightarrow{OM}$= [a ; b] thì phương trình trên trở thành một phương trình mà ta đãbiết cách giải: sin[x + α] = $\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng $\dfrac{a}{b}$sinx + cosx = $\dfrac{c}{b}$ và đặt α = arctan$\dfrac{a}{b}$ thì tanα =$\dfrac{a}{b}$ , phương trình trở thành :
tanαsinx + cosx = ⇔ cos[x – a] = $\dfrac{c.cos\alpha}{b}$
Phương trình này chúng ta đã biết cách giải.
Chú ý : Để phương trình sin[x + α] = $\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là
$\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$≤ 1 $c$ ≤$\sqrt{a^2+b^2}$ $c^2$≤$a^2$ +$b^2$
Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm
4. Phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Bằng việcsử dụng các công thức, phép biến đổi lượng giác chúng ta sẽđưa các phương trình khó và phức tạp về dạng phương trình bậc hai, bậc nhấtnhư trên. Ví dụ vớiphương trình bậc hai đối với sinx vàcosx:
a.$sin^{2}x$ + b.sinx.cosx + $cos^{2}x$ = d
thì chúng ta có thể đưa về dạng phươngtrình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho $cos^{2}x$.
Bên trên là những phương trình lượng giác cơ bản. Ngoài ra còn có nhiều dạngphương trìnhlượng giác khác, Trung tâm Gia sư Hà Nội sẽ tiếp tục giới thiệu với các em ở các bài viết sau.
Lý thuyết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Kiến thức lượng giác cơ bản lớp 11
Tổng hợp lý thuyết về mệnh đề
a] Cách giải các phương trình lượng giác cơ bản:
+ Phương trình sin x = a.
Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho sin α = a.
Khi đó phương trình trở thành sin x = sin α
⇒ Phương trình có nghiệm:
+ Phương trình cos x = a.
Nếu |a| > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1 ⇒ tìm một cung α sao cho cos α = a.
Khi đó phương trình trở thành cos x = cos α.
⇒ Phương trình có nghiệm: x = ±α + k2π [k ∈ Z].
+ Phương trình tan x = a.
Tìm một cung α sao cho tan α = a.
Khi đó phương trình trở thành tan x = tan α.
⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ [k ∈ Z].
+ Phương trình cot x = a
Tìm một cung α sao cho cot α = a.
Khi đó phương trình trở thành cot x = cot α.
⇒ Phương trình có nghiệm x = α + kπ [k ∈ Z].
b] Cách giải phương trình a.sin x + b.cos x = c.
+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ⇒ Phương trình lượng giác cơ bản .
+ a ≠ 0 và b ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Ta giải phương trình trên như phương trình lượng giác cơ bản.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
Xem đáp án » 04/04/2020 6,002
Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và tập giá trị của từng hàm số đó.
Xem đáp án » 04/04/2020 5,076
Viết tất cả các quy tắc tính đạo hàm đã học
Xem đáp án » 04/04/2020 1,018
Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y=fx tại x=xo.
Xem đáp án » 04/04/2020 650
Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.
Xem đáp án » 04/04/2020 559
Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một số không đổi d.
Xem đáp án » 04/04/2020 522
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Với loạt bài Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx Toán lớp 11 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.
Bài viết Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx gồm 4 phần: Lý thuyết, Công thức, Ví dụ minh họa và Bài tập tự luyện có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx Toán 11.
1. Lý thuyết
[Điều kiện: a2 + b2 ≠ 0 ]
[sinxcosα + cosxsin α]
Công thức đặc biệt:
2. Công thức
a] Giải phương trình asinx + bcosx = c. Phương trình có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2 .
[Bấm máy tính để tìm góc α ].
Sau đó, đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải.
b] Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số có dạng y = asinx + bcosx + c
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là -
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
a] sin 2x + √3 cos 2x = √2
b] cosx – sinx = 1
Lời giải
a] sin 2x + √3 cos 2x = √2
Vậy họ nghiệm của phương trình là:
b] cosx – sinx = 1
Vậy họ nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau: y = √3 sin5x + cos5x + 1
Lời giải
Cách 1: Áp dụng công thức ta có: .
Cách 2: Giải chi tiết
Ta có: y = √3 sin5x + cos5x + 1
Ta có -1 ≤ sin[5x + ] ≤ 1 ∀x ∈ R
⇔
-2 ≤ 2sin[5x + ] ≤ 2 ∀x ∈ R
⇔
-1 ≤ 2sin[5x + ] + 1 ≤ 3 ∀x ∈ R
⇔ -1 ≤ y ≤ 3
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là -1.
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 3sinx + cosx = 3 B. √3sinx - cosx = -3
C. √3sin2x - cos2x = 2 D. 3sinx – 4cosx = 5
Câu 2. Phương trình sinx + √3cosx = 2 có tập nghiệm là.
Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = sin3x – cos3x + 3 lần lượt là
A. √2 + 3 và -√2 - 3 B. √2 + 3 và -√2 + 3
C. √2 - 3 và -√2 - 3 D. √2 - 3 và -√2 + 3
Đáp án: 1 – B, 2 – C, 3 – B
Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack